Application s(n)

L'application s(n) est une fonctionnelle, c'est-à-dire une fonction qui fait correspondre des fonctions à des fonctions. Elle a été définie par le googologue japonais Fish en 2002 et utilisée pour définir le troisième nombre de Fish. Le nom de l'application a été tiré du mot japonais shazou, qui signifie mise en correspondance, qui signifie application.

Définition

• s(1)f = g; g(x)=f^x(x)
• s(n)f = g; g(x)=[s(n-1)^x]f(x) (si n>1)

Analyse

Soit f(x) = x+1, et le taux de croissance peut être calculé comme suit :

• f²(x) = x+2
• f³(x) = x+3
• s(1)f(x) = f^x(x) = x+x = 2x
• s(1)²f(x) = g^x(x) = 2^x x > 2^x, where g(x)=2x
• s(1)³f(x) > h^x(x) > 2↑↑x , where h(x) = 2^x
• s(2)f(x) = s(1)^xf(x) > 2↑^xx > A(x,x) = A(1,0,x) ≈ f_ω(x)

Ici, A est la fonction d'Ackermann multivariable, où le taux de croissance dans la hiérarchie de croissance rapide (HCR) est :

A(..., a₃, a₂, a₁, a₀, n) ≈ $f_{...+\omega ^{3}\cdot ;a_{3}+\omega ^{2}\cdot ;a_{2}+\omega \cdot ;a_{1}+a_{0}}(n)$

Soit f(n) = A(X, b, n) (X est un vecteur de longueur quelconque), et : ${\begin{array}{rl}A(X,b+1,n)&=&A(X,b,A(X,b+1,n-1))\\&=&f(A(X,b+1,n-1))\\&=&f^{2}(A(X,b+1,n-2))\\&=&f^{n}(A(X,b+1,0))\\&\approx &f^{n}(n)\end{array}}$

Par conséquent, en comparant les 3 fonctions,

• s(1)f(x) = f^x(x)
• $f_{\alpha +1}(n)=f_{\alpha }^{n}(n)$
• A(X, b+1, n) = fⁿ(n) where f(n) = A(X, b, n)

ils ont tous un taux de croissance similaire. L'application de s(1) a le même effet que d'ajouter 1 à l'ordinal dans HCR et d'ajouter 1 au deuxième paramètre à partir de la droite dans la fonction d'Ackermann. On obtient ainsi :

• s(1)s(2)f(x) ≈ A(1,1,x) ≈ $f_{\omega +1}(x)$
• s(1)² s(2)f(x) ≈ A(1,2,x) ≈ $f_{\omega +2}(x)$
• s(1)ⁿ s(2)f(x) ≈ A(1,n,x) ≈ $f_{\omega +n}(x)$

et en diagonalisant s(1) une fois de plus,

s(2)² f(x) = s(1)^x s(2)f(x) ≈ A(1,x,x) = A(2,0,x) ≈ $f_{\omega \times 2}(x)$

Ici, le calcul de s(2)²f(3) se fait comme suit :

s(2)²f(3) = s(1)³s(2) f(3) = [s(1)² s(2)f]³(3) = [s(1)² s(2)f]²[[s(1)s(2)f]³(3)]

For this calculation, by changing \(s(2)^2 f\) to \(f_{\omega \times 2}\), \(s(1)^3 s(2)f\) to \(f_{\omega+3}\), \(s(1)^2s(2)f\) to \(f_{\omega+2}\), and \(s(1)s(2)f\) to \(f_{\omega+1}\), respectively, the following is obtained: Pour ce calcul, en remplaçant s(2)² f par $f_{\omega \times 2}$, s(1)³ s(2)f par $f_{\omega +3}$, s(1)²s(2)f à $f_{\omega +2}$, et s(1)s(2)f à $f_{\omega +1}$, respectivement, on obtient ce qui suit :

$f_{\omega \times 2}(3)=f_{\omega +3}(3)=f_{\omega +2}^{3}(3)=f_{\omega +2}^{2}(f_{\omega +1}^{3}(3))$

qui montre exactement comment le HCR est calculé.

Le calcul se fait de la même manière :

${\begin{array}{rl}s(2)^{n}f(x)&\approx &A(n,0,x)\approx f_{\omega \times n}(x)\\s(3)f(x)&=&s(2)^{x}f(x)\approx A(x,0,x)=A(1,0,0,x)\approx f_{\omega ^{2}}(x)\\s(3)^{2}f(x)&\approx &A(2,0,0,x)\approx f_{\omega ^{2}\times 2}(x)\\s(3)^{n}f(x)&\approx &A(n,0,0,x)\approx f_{\omega ^{2}\times n}(x)\\s(4)f(x)&=&s(3)^{x}f(x)\approx A(x,0,0,x)=A(1,0,0,0,x)\approx f_{\omega ^{3}}(x)\\s(1)^{4}s(2)^{3}s(3)^{2}s(4)f(x)&\approx &A(1,2,3,4,x)\approx f_{\omega ^{3}+\omega ^{2}\times 2+\omega \times 3+4}(x)\\s(5)f(x)&\approx &f_{\omega ^{4}}(x)\\s(6)f(x)&\approx &f_{\omega ^{5}}(x)\\s(n)f(x)&\approx &f_{\omega ^{n-1}}(x)\\s(x)f(x)&\approx &f_{\omega ^{\omega }}(x)\end{array}}$

Par conséquent, en appliquant l'application s(x), qui diagonise l'application s(n), à la fonction f(x)=x+1, le taux de croissance est $f_{\omega ^{\omega }}(x)$, similaire à la notation des puissances itérées et à la fonction d'Ackermann multivariable.

En fait, la carte s(n) correspond exactement à HCR comme suit.

${\begin{array}{rl}f_{\omega }&=&s(2)f_{0}\\f_{\omega ^{2}}&=&s(3)f_{0}\\f_{\omega ^{n}}&=&s(n+1)f_{0}\\f_{\omega ^{2}\times a_{2}+\omega \times a_{1}+a_{0}}&=&s(1)^{a_{0}}s(2)^{a_{1}}s(3)^{a+2}f_{0}\\f_{\omega ^{n}\times a_{n}...+\omega ^{2}\times a_{2}+\omega \times a_{1}+a_{0}}&=&s(1)^{a_{0}}s(2)^{a_{1}}s(3)^{a_{2}}...s(n+1)^{a_{n}}f_{0}\\\end{array}}$