Notation hyper-E

La notation hyper-E (Hyper-E notation; E# en abrégé) est une notation pour les grands nombres imaginée par Sbiis Saibian, présentée pour la première fois dans son livre Web One to Infinity : A Finite Journey le 19 novembre 2011. Il s'agit de la première étape du système extensible-E. La notation hyper-E est équivalente à l'opérateur PT de l'hypercalc.

Définition

La notation hyper-E consiste en une séquence an d'un ou plusieurs arguments entiers positifs séparés par des hyperions (ou hyper marques) #. Nous notons E[b]a₁#a₂#...#a_n. b est appelé la base - s'il est omis, comme c'est souvent le cas, il prend la valeur 10 par défaut. "E[b]d" est également égal à "b^d".

$\textrm E[b]{a_1}\#{a_2}\cdots\#{a_n}$ où n et a₁ à a_n sont des entiers positifs est défini comme suit :

1. Si n = 1 : $\textrm E[b]x = b^x$
2. Si a_n = 1 : $\textrm E[b]{a_1}\#{a_2}\cdots\#{a_{n-1}}\#1 = E[b]{a_1}\#{a_2}\cdots\#{a_{n-1}}$
3. Autrement : $\textrm E[b]{a_1}\#{a_2}\cdots\#{a_n}$$= \textrm E[b]{a_1}\#{a_2}\cdots\#{a_{n-2}}\#(\textrm E[b]{a_1}\#{a_2}\cdots\#{a_{n-1}}\#{(a_n-1)})$

Comparaison avec d'autres notations

Pour la comparaison avec la notation des puissances itérées,

$a \uparrow^{c}b = E(a)\underbrace{1\#1\#...1\#}_{c-1 \text{exemplaires de} 1\#}b$

Par conséquent,

• a↑b = E(a)b
• a↑↑b = E(a)1#b
• a↑↑↑b = E(a)1#1#b
• a↑↑↑↑b = E(a)1#1#1#b

Exemples et googolismes

En appliquant les règles de définitions, E100#1 et E100#2 peuvent être calculés comme suit.

• E100#1 = E100 = E[10]100 = $10^{100}$ ; C'est Googol
• E100#2 = E#(E#100#1) = E#(google) = 10^google = $10^{10^{100}}$ ; C'est Googolplex

Sbiis Saibian a nommé différents googolismes avec la notation hyper-E. En voici quelques exemples.

Googol-n-plex

D'après la troisième règle, E100#(n+1) = E#(E100#n) = 10^(E100#n), et donc nous pouvons calculer inductivement le googol-n-plex = E100#(n+1) avec le nom latin de n comme suit. Saibian dit qu'il a vu les googolismes jusqu'au googolpetaplex (n=10¹⁵), c'est donc l'expression des googolismes existants avec la notation hyper-E.

n	Nom	Notation en hyper-E	Valeur équivalente
1	googolplex	E100#2	10^googol = $10^{10^{100}}$
2	googolduplex	E100#3	10^googolplex = $10^{10^{10^{100}}}$
3	googoltriplex	E100#4	10^googodulplex = $10^{10^{10^{10^{100}}}}$
4	googolquadriplex	E100#5	10^googotriplex = $10^{10^{10^{10^{10^{100}}}}}$
5	googolquintiplex	E100#6	10^googolquadriplex
6	googolsextiplex	E100#7	10^googolquintiplex
7	googolseptiplex	E100#8	10^googolsextiplex
8	googoloctiplex	E100#9	10^googolseptiplex
9	googolnoniplex	E100#10	10^googoloctiplex
10	googoldeciplex	E100#11	10^googolnoniplex

N-logue

Comme E1#n = E(10)1#n = 10↑↑n. Sbiis a nommé E1#n = 10↑↑n comme un nombre grec n et le suffixe -logue comme n-logue.

• monologue = E1#1 = 10
• dialogue = E1#2 = 10^10
• trialogue = E1#3 = 10↑↑3
• tetralogue = E1#4 = 10↑↑4
• pentalogue = E1#5 = 10↑↑5
• hexalogue = E1#6 = 10↑↑6
• heptalogue = E1#7 = 10↑↑7
• octalogue = E1#8 = 10↑↑8
• ennalogue = E1#9 = 10↑↑9
• dekalogue = E1#10 = 10↑↑10

N-taxis

Sbiis a nommé E1#1#n = E(10)1#1#n = 10↑↑↑n comme un nombre grec n et le suffixe -taxis comme n-taxis.

• tria-taxis = E1#1#3 = 10↑↑↑3
• tetra-taxis = E1#1#4 = 10↑↑↑4
• penta-taxis = E1#1#5 = 10↑↑↑5
• deka-taxis = E1#1#10 = 10↑↑↑10

N-petaxis

Sbiis a nommé E1#1#1#n = 10↑↑↑↑n comme un nombre grec n et le suffixe -petaxis comme n-petaxis.

• tria-petaxis = E1#1#1#3 = 10↑↑↑↑3
• tetra-petaxis = E1#1#1#4 = 10↑↑↑↑4
• penta-petaxis = E1#1#1#5 = 10↑↑↑↑5
• deka-petaxis = E1#1#1#10 = 10↑↑↑↑10

N-p-axis

De la même manière, le système de dénomination est présenté comme suit.

• E1#1#1#n = 10↑⁴n = n-petaxis
• E1#1#1#1#n = 10↑⁵n = n-exaxis
• E1#1#1#1#1#n = 10↑⁶n = n-eptaxis
• E1#1#1#1#1#1#n = 10↑⁷n = n-octaxis
• E1#1#1#1#1#1#1#n = 10↑⁸n = n-ennaxis
• E1#1#1#1#1#1#1#1#n = 10↑⁹n = n-dekaxis
• E1#1#1#1#1#1#1#1#1#n = 10↑¹⁰n = n-endekaxis
• E1#1#1#1#1#1#1#1#1#1#n = 10↑¹¹n = n-dodekaxis

Par exemple,

• E1#1#1#1#1#1#1#1#1#10 = 10↑¹⁰10 = deka-endekasis ( = tridecal )