π素数 (Pi-prime) とは、円周率の十進数展開と同じ数字の並びを持つ素数のことである[1]。つまり任意の自然数\(n\)に対し、\(\lfloor\pi\times10^{n-1}\rfloor\)が素数であるような数、または円周率の\(n\)桁目までの数字を並べてできる素数のことである。定数素数の1つ。
π素数の一覧[]
現時点でπ素数は8個知られている[2][3]。最大の素数は\(\lfloor\pi\times10^{613372}\rfloor\)である。
| \(n\) | \(\lfloor\pi\times10^{n-1}\rfloor\) | 値または近似値 |
|---|---|---|
| \(1\) | \(\lfloor\pi\times10^{0}\rfloor\) | \(3\) |
| \(2\) | \(\lfloor\pi\times10^{1}\rfloor\) | \(31\) |
| \(6\) | \(\lfloor\pi\times10^{5}\rfloor\) | \(314159\) |
| \(38\) | \(\lfloor\pi\times10^{37}\rfloor\) | \(31415926535897932384626433832795028841\) |
| \(16208\) | \(\lfloor\pi\times10^{16207}\rfloor\) | \(\underbrace{31415\cdots36307}_{16208}\) |
| \(47577\) | \(\lfloor\pi\times10^{47576}\rfloor\) | \(\underbrace{31415\cdots64953}_{47577}\) |
| \(78073\) | \(\lfloor\pi\times10^{78072}\rfloor\) | \(\underbrace{31415\cdots48541}_{78073}\) |
| \(613373\) | \(\lfloor\pi\times10^{613372}\rfloor\) | \(\underbrace{31415\cdots10789}_{613373}\) |
その他の円周率に関連する素数[]
定数素数の形式ではなく、これ自体に特定の名称はないものの、円周率に関連した素数は他にもある[1][4]。
円周率の冪乗の素数[]
円周率の冪乗が素数となるもの、つまり床関数で\(\lfloor\pi^{n}\rfloor\)、または天井関数で\(\lceil\pi^{n}\rceil\)と表される素数はいくつかある。
床関数の\(\lfloor\pi^{n}\rfloor\)で表される素数は現時点で13個知られている[5][6]。最大の素数は\(\lfloor\pi^{63698}\rfloor\approx2.83525\times10^{31667}\)である。
| \(n\) | \(\lfloor\pi^{n}\rfloor\) | 値または近似値 |
|---|---|---|
| \(1\) | \(\lfloor\pi^{1}\rfloor\) | \(3\) |
| \(3\) | \(\lfloor\pi^{3}\rfloor\) | \(31\) |
| \(4\) | \(\lfloor\pi^{4}\rfloor\) | \(97\) |
| \(12\) | \(\lfloor\pi^{12}\rfloor\) | \(924269\) |
| \(73\) | \(\lfloor\pi^{73}\rfloor\) | \(1958577254745770740635072198655932631\) |
| \(317\) | \(\lfloor\pi^{317}\rfloor\) | \(\approx3.94921\times10^{157}\) |
| \(2728\) | \(\lfloor\pi^{2728}\rfloor\) | \(\approx1.67824\times10^{1356}\) |
| \(6826\) | \(\lfloor\pi^{6826}\rfloor\) | \(\approx3.50777\times10^{3393}\) |
| \(7683\) | \(\lfloor\pi^{7683}\rfloor\) | \(\approx4.00380\times10^{3819}\) |
| \(7950\) | \(\lfloor\pi^{7950}\rfloor\) | \(\approx2.19527\times10^{3952}\) |
| \(14417\) | \(\lfloor\pi^{14417}\rfloor\) | \(\approx2.56871\times10^{7167}\) |
| \(44436\) | \(\lfloor\pi^{44436}\rfloor\) | \(\approx2.24772\times10^{22091}\) |
| \(63698\) | \(\lfloor\pi^{63698}\rfloor\) | \(\approx2.83525\times10^{31667}\) |
天井関数の\(\lceil\pi^{n}\rceil\)で表される素数は現時点で8個知られている[7][8]。最大の素数は\(\lceil\pi^{14357}\rceil\approx3.80822\times10^{7137}\)である。
| \(n\) | \(\lceil\pi^{n}\rceil\) | 値または近似値 |
|---|---|---|
| \(5\) | \(\lceil\pi^{5}\rceil\) | \(307\) |
| \(29\) | \(\lceil\pi^{29}\rceil\) | \(261424513284461\) |
| \(88\) | \(\lceil\pi^{88}\rceil\) | \(56129192858827520816193436882886842322337671\) |
| \(948\) | \(\lceil\pi^{948}\rceil\) | \(\approx1.98646\times10^{471}\) |
| \(1071\) | \(\lceil\pi^{1071}\rceil\) | \(\approx2.80229\times10^{532}\) |
| \(1100\) | \(\lceil\pi^{1100}\rceil\) | \(\approx7.32588\times10^{546}\) |
| \(1578\) | \(\lceil\pi^{1578}\rceil\) | \(\approx3.18053\times10^{784}\) |
| \(14357\) | \(\lceil\pi^{14357}\rceil\) | \(\approx3.80822\times10^{7137}\) |
円周率を反転させた回文素数[]
円周率を\(n\)桁目で反転させてできる回文素数は、探索範囲\(n\leqq56755\)において以下に限られる[9]。
| 反転桁数\(n\) | 表記 |
|---|---|
| \(1\) | \(3\) |
| \(2\) | \(313\) |
| \(27\) | \(\underbrace{31415926535897932384626433833462648323979853562951413}_{53}\) |
| \(151\) | \(\underbrace{314159265\cdots22317271322\cdots562951413}_{301}\) |
| \(461\) | \(\underbrace{314159265\cdots11854845811\cdots562951413}_{921}\) |
| \(2056\) | \(\underbrace{314159265\cdots72671917627\cdots562951413}_{4111}\) |
その他[]
ブログ『A googol is a tiny dot』には、\(\lfloor\pi\times10^{99}\rfloor=\underbrace{31415\cdots17067}_{100}\)に対してパイゴル (Pigol) という名称を付けているが、ジョークでの命名であると予想される[10]。パイゴルは合成数である[2][11]。
出典[]
- ↑ 1.0 1.1 Eric W. Weisstein. "Pi-Prime". Wolfram MathWorld.
- ↑ 2.0 2.1 "A060421: Numbers n such that the first n digits of the decimal expansion of Pi form a prime". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A005042: Primes formed by the initial digits of the decimal expansion of Pi". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ Eric W. Weisstein. "Palindromic Prime". Wolfram MathWorld.
- ↑ "A059792: Numbers n such that floor(Pi^n) is prime". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A077547: Primes of the form floor(Pi^n)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A111937: Integers k such that ceiling(Pi^k) is prime.". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A118843: Primes of the form ceiling(Pi^n)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A119351: Indices n of prime palindromic numbers formed by taking n digits in the decimal expansion of Pi and reflecting about the last digit". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ googology101. (Mar 19, 2009) "More large numbers?". A googol is a tiny dot.
- ↑ "\(\lfloor\pi\times10^{99}\rfloor\)は素数ですか？" WolframAlpha.