ふぃっしゅ数バージョン3

ふぃっしゅ数バージョン3 (F₃)は、ふぃっしゅっしゅが考案し、2002年10月1日に公開した^[1]巨大数である^[2]^[3]。ふぃっしゅ数バージョン2を発展させたものであるが、定義が変わっている。

定義[]

[1] 関数から関数への写像s(n) (\(n>0\)) (s(n)変換) を以下のように定める。 \begin{eqnarray*} s(1)f & := & g;\ g(x)=f^x(x) \\ s(n)f & := & g;\ g(x)=[s(n-1)^x]f(x) \quad (n>1) \end{eqnarray*}

[2] 関数から関数への写像ss(n) (\(n>0\))を以下のように定める。 \begin{eqnarray*} ss(1)f & := & g;\ g(x)=s(x)f(x) \\ ss(n)f & := & g;\ g(x)=[ss(n-1)^x]f(x) \quad (n>1) \\ \end{eqnarray*}

[3] ふぃっしゅ関数 \(F_3(x)\) を以下のように定める。 \begin{eqnarray*} F_3(x):=[ss(2)^{63}]f(x);\ f(x)=x+1 \end{eqnarray*}

[4] ふぃっしゅ数 \(F_3:=F_3^{63}(3)\) とする。

計算[]

ふぃっしゅ数全般に共通することとして、関数を変換するシステムを採用しているという要素がある。このため、単純に表記を変形していく他のシステムと違って、ふぃっしゅ数バージョン3の計算を定義のまま把握するためには関数の変換に対する深い理解が求められる。代わりにここではss(n)変換と等価なp進大好きbotの定式化を表記の計算規則として与える。

表記系[]

記号\(s\)と正整数とカッコとコンマのみからなる文字列の集合\(T\)を以下のように再帰的に定める：

\(s \in T\)である。
いかなる\(t_0,t_1 \in T\)に対しても\(t_0 \frown t_1 \in T\)である。ただし\(t_0 \frown t_1\)は\(t_0\)と\(t_1\)の文字列としての結合である。
いかなる正整数\(n\)と\(t \in T\)に対しても\(s(n,t) \in T\)である。
いかなる正整数\(n\)と\(t \in T\)に対しても\(ss(n,t) \in T\)である。

\(T\)は再帰的集合である。\(s\)が後者関数\(x \mapsto x+1\)、\(s(n,-)\)がs(n)変換、\(ss(n,-)\)がss(n)変換の役割を持つように\(T\)に属する文字列の書き換えを定義することで、ふぃっしゅ数バージョン3を計算する。

基本列[]

\(f \in T\)が極限表記であるとは、\(f = s(n,t)\)または\(f = ss(n,t)\)を満たすような正整数\(n\)と\(t \in T\)が存在するということである。極限表記全体の集合を\(LT \subset T\)と置く。\(LT\)は再帰的集合である。

\(f \in LT\)と正整数\(x\)に対し、\(f[x] \in T\)を以下のように再帰的に定める：

\(f = s(n,t)\)を満たす正整数\(n\)と\(t \in T\)が存在するとする。
1. \(n = 1\)かつ\(x = 1\)ならば、\(f[x] = t\)である。
2. \(n = 1\)かつ\(x > 1\)ならば、\(f[x] = t \frown f[x-1]\)である。
3. \(n > 1\)かつ\(x = 1\)ならば、\(f[x] = s(n-1,t)\)である。
4. \(n > 1\)かつ\(x > 1\)ならば、\(f[x] = s(n-1,f[x-1])\)である。
\(f = ss(n,t)\)を満たす正整数\(n\)と\(t \in T\)が存在するとする。
1. \(n = 1\)ならば、\(f[x] = s(x,t)\)である。
2. \(n > 1\)かつ\(x = 1\)ならば、\(f[x] = ss(n-1,t)\)である。
3. \(n > 1\)かつ\(x > 1\)ならば、\(f[x] = ss(n-1,f[x-1])\)である。

極限表記は他の表記において極限順序数に対応する（基本列を持つ）項の類似である。

計算規則[]

\(f \in T\)と正整数\(x\)に対し、正整数\(\textrm{Eval}(f,x)\)を以下のように再帰的に定める：

\(f = s\)ならば、\(\textrm{Eval}(f,x) = x+1\)である。
\(f = t_0 \frown s\)を満たす\(t_0 \in T\)が存在するならば、\(\textrm{Eval}(f,x) = \textrm{Eval}(t_0,\textrm{Eval}(s,x))\)である。
\(f = t_0 \frown s(n,t_1)\)を満たす\(t_0,t_1 \in T\)と正整数\(n\)が存在するならば、\(\textrm{Eval}(f,x) = \textrm{Eval}(t_0,\textrm{Eval}(s(n,t_1),x))\)である。
\(f = t_0 \frown ss(n,t_1)\)を満たす\(t_0,t_1 \in T\)と正整数\(n\)が存在するならば、\(\textrm{Eval}(f,x) = \textrm{Eval}(t_0,\textrm{Eval}(ss(n,t_1),x))\)である。
\(f \in LT\)ならば、\(\textrm{Eval}(f,x) = \textrm{Eval}(f[x],x)\)である。

\(\textrm{Eval}(f,x)\)によって計算される値は、\(f\)に出現する\(s\)を後者関数\(x \mapsto x+1\)に、\(s(n,-)\)をs(n)変換に、\(ss(n,-)\)をss(n)変換に置き換えて得られる関数に\(x\)を代入したものと厳密に等しい。

正整数\(n\)に対し\(f_n \in T\)を以下のように再帰的に定める：

\(n = 1\)ならば、\(f_n = ss(2,s)\)である。
\(n > 1\)ならば、\(f_n = ss(2,f_{n-1})\)である。

\(f_{63}\)は\(s\)に\(ss(2,-)\)を\(63\)回入れ子にした表記であり、従って\(\textrm{Eval}(f_{63},x)\)は\(F_3(x)\)と厳密に等しい。

正整数\(n\)に対し\(g_n \in T\)を以下のように再帰的に定める：

\(n = 1\)ならば、\(g_n = f_{63}\)である。
\(n > 1\)ならば、\(g_n = f_{63} \frown g_{n-1}\)である。

\(g_{63}\)は\(f_{63}\)を\(63\)個結合した表記であり、従って\(\textrm{Eval}(g_{63},3)\)はふぃっしゅ数バージョン3に厳密に等しい。特にふぃっしゅ数バージョン3は計算可能巨大数である。

近似[]

s(n)変換は、\(f(x)=x+1\) とするとき、急増加関数で \(s(x)f(x) \approx f_{\omega^\omega}(x)\) と近似できる。したがって、

\(ss(1)f(x) = s(x)f(x) \approx f_{\omega^\omega}(x)\)

となる。ss(n) は ss(n-1) を対角化するので、

\begin{eqnarray*} ss(n)f(x) & \approx & f_{\omega^{\omega+n-1}}(x) \\ F_3(x) & = & ss(2)^{63}f \approx f_{\omega^{\omega+1}\times63}(x) \\ F_3 & \approx & f_{\omega^{\omega+1}\times63 + 1}(63) \end{eqnarray*}

と近似できる。

ふぃっしゅ数バージョン3は 2列配列表記レベルのGodekagoldgahlah \(\approx f_{(\omega^{\omega+1}) 9}(100)\) と同じ程度の大きさである^[4]。BEAFでは拡張配列表記を導入することで同じ程度の大きさになる。

表記	近似
BEAF	\(\{63,63 (1) 2,63\}\)
連鎖E表記	E63#^#*##63
バードの配列表記	\(\{63,63 [2] 2,63\}\)
超階乗配列表記	\(63![1,[63],1,2]\)
原始数列	(0,1,2,3,2,2)[8]
急増加関数	\(f_{(\omega^{\omega+1}) 63+1}(63)\)
ハーディー階層	\(H_{\omega^{(\omega^{\omega+1}) 63+1}}(63)\)
緩成長階層	\(g_{\vartheta((\Omega^{\Omega}) 63+1)}(63)\)

旧バージョン[]

現在のバージョンと2002年10月29日にふぃっしゅ数バージョン3という名称でふぃっしゅっしゅが投稿した数は異なり、現在のバージョンの方が巨大数としてはわずかに大きい^[5]。

プログラム[]

ふぃっしゅ数バージョン3および上述した旧バージョンのふぃっしゅ数バージョン3を計算するプログラムが書かれている。

ただし現実的には、扱う数が大きすぎるため計算し終えることができない。

出典[]

↑ ２ch 巨大数の探索スレ Part3 188
↑ ふぃっしゅっしゅ (2013) 『巨大数論』
↑ フィッシュ「巨大数の世界」『数学セミナー』2019年7月号 p. 28-31.
↑ ユーザー:Kyodaisuu/F3の展開
↑ Okkuu, 旧ふぃっしゅ数バージョン3について, 巨大数研究 Wiki ユーザーブログ, 2020.