ふにゃふにゃぜぇたかんすう

\(\newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\G}{\Gamma} \newcommand{\z}{\zeta} \newcommand{\w}{\omega} \newcommand{\*}{\times}\newcommand{\.}{\cdot} \newcommand{\x}{\chi} \newcommand{\f}{\varphi} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)ふにゃふにゃぜぇたかんすう^[1]はじぇいそん^[2]が2023年3月17日に第５回東方巨大数に投稿した^[3]巨大数表記である。

ふにゃふにゃぜぇたかんすうを用いて定義されたふにゃんどーるすう^[1]^[3]は第５回東方巨大数Extra部門において優勝した。^[4] 大きさは横ネスト段階配列表記を用いて\(f_{(0,(\w,0))+1}(495)\)程度の大きさになると予想されている。^[4]

ふにゃふにゃぜぇたかんすうはP進大好きbotによる拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記を参考に定義されており、^[1] 拡張ブーフホルツのψ関数(に伴う順序数表記)と互換性がある。^[4]

定義[]

非負整数全体の集合を\(\N\)とする。

特にことわりがない限り、\(n,m \in \N\)とする。

記法[]

\(Z\)と\(\z\)と\((\)と\()\)と\(+\)と\(0\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)と\(ZT\)と\(PZT\)を以下のように再帰的に定める：

\(0 \in T\)である。
\(ζ \in ZT\)かつ\(ζ \in PZT\)である。
\(T \subset{ZT}\)である。
\(PT \subset{PZT}\)である。
任意の\(x \in ZT\)と任意の\(y \in T\)に対して、\(Z_x(y) \in T\)かつ\(Z_x(y) \in PT\)である。
任意の\(X_1, X_2, \. , X_m \in PT (2 \leq m)\)に対して、\(X_1+X_2+ \.\.\. +X_m \in T\)である。
任意の\(X_1, X_2, \. , X_m \in PZT (2\leq m)\)に対して、\(X_1+X_2+ \.\.\. +X_m \in ZT\)である。

順序[]

\((X,Y) \in ZT^2\)に対し、\(2\)項関係\(X <_Z Y\)を以下のように再帰的に定める：

「\(X <_Z Y\)または\(X = Y\)」を\(X \leq_Z Y\)と略記する。

\(X = 0\)ならば、\(X <_Z Y\)は\(Y \neq 0\)と同値である。
\(X = \z\)とする。
1. \(Y \in T\)ならば、\(X <_Z Y\)は偽である。
2. そうでないならば、\(X <_Z Y\)は\(Y \leq_Z X\)でないことと同値である。
\(X = Z_x(y)\)を満たす\(x \in ZT, y \in T\)が存在するとする。
1. \(Y = Z_{x'}(y')\)を満たす\(x' \in ZT, y' \in T\)が存在するとする。
  1. \(x = x'\)ならば、\(X <_Z Y\)は\(y <Z y'\)と同値である。
  2. \(x \neq x'\)ならば、\(X <_Z Y\)は\(x <_Z x'\)と同値である。
2. そうでないならば、\(X <_Z Y\)は\(Y \leq_Z X\)でないことと同値である。
\(X = X_1+X_2+ \.\.\. +X_n\)を満たす\(X_1, X_2, \.\.\. , X_n \in PZT (2 \leq n)\)が存在するとする。
1. \(Y \in PZT\)ならば、\(X <_Z Y\)は\(X_1 <_Z Y\)と同値である。
2. \(Y = Y_1+Y_2+ \.\.\. +Y_m\)を満たす\(Y_1, Y_2, \.\.\. , Y_m \in PZT (2 \leq m)\)が存在するとする。
  1. \(X_1 = Y_1\)とする。
    1. \(n = 2\)かつ\(m = 2\)ならば、\(X <_Z Y\)は\(X_2 <_Z Y_2\)と同値である。
    2. \(n = 2\)かつ\(m > 2\)ならば、\(X <_Z Y\)は\(X_2 <_Z Y_2+ \.\.\. +Y_m\)と同値である。
    3. \(n > 2\)かつ\(m = 2\)ならば、\(X <_Z Y\)は\(X_2+ \.\.\. +X_n <_Z Y_2\)と同値である。
    4. \(n > 2\)かつ\(m > 2\)ならば、\(X <_Z Y\)は\(X_2+ \.\.\. +X_n <_Z Y_2+ \.\.\. +Y_m\)と同値である。
  2. \(X_1 \neq Y_1\)ならば、\(X <_Z Y\)は\(X_1 <_Z Y_1\)と同値である。
3. そうでないならば、\(X <_Z Y\)は\(Y \leq_Z X\)でないことと同値である。

略記[]

\(Z_0(0) = \overline{1}, Z_0(\overline{1}) = \overline{\w}\)と略記する。

共終数[]

\begin{eqnarray} dom : ZT & \to & ZT \\ X & \mapsto & dom(X)\\ \end{eqnarray}

を以下のように再帰的に定める：

\(X = 0\)ならば、\(dom(X) := 0\)である。
\(X = \z\)ならば、\(dom(X) := \z\)である。
\(X = Z_x(y)\)を満たす\(x \in ZT, y \in T\)が存在するとする。
1. \(dom(y) = 0\)とする。
  1. \(dom(x) = 0\)ならば、\(dom(X) := \overline{1}\)である。
  2. \(dom(x) = 1\)または\(dom(x) = \z\)ならば、\(dom(X) := X\)である。
  3. \(X <_Z dom(x)\)かつ\(dom(x) = Z_{x'}(0)\)かつ\(dom(x') = \z\)を満たす\(x' \in ZT\)が存在するならば、\(dom(X) := \overline{\w}\)である。
  4. そうでないならば、\(dom(X) := dom(x)\)である。
2. \(dom(y) = \overline{1}\)ならば、\(dom(X) := \overline{\w}\)である。
3. \(X <_Z dom(y)\)ならば、\(dom(X) := \overline{\w}\)である。
4. そうでないならば、\(dom(X) := dom(y)\)である。
\(X = X_1+X_2+ \.\.\. +X_m\)を満たす\(X_1, X_2, \.\.\. , X_m \in PZT (2 \leq m)\)が存在するならば、\(dom(X) := dom(X_m)\)である。

\begin{eqnarray} Tdom : ZT & \to & ZT \\ X & \mapsto & Tdom(X)\\ \end{eqnarray}

を以下のように再帰的に定める：(※3.1.4.以外は\(dom\)と全く同じ)

\(X = 0\)ならば、\(Tdom(X) := 0\)である。
\(X = \z\)ならば、\(Tdom(X) := \z\)である。
\(X = Z_x(y)\)を満たす\(x \in ZT, y \in T\)が存在するとする。
1. \(Tdom(y) = 0\)とする。
  1. \(Tdom(x) = 0\)ならば、\(Tdom(X) := \overline{1}\)である。
  2. \(Tdom(x) = \overline{1}\)または\(Tdom(x) = \z\)ならば、\(Tdom(X) := X\)である。
  3. \(X <_Z Tdom(x)\)かつ\(Tdom(x) = Z_{x'}(0)\)かつ\(Tdom(x') = \z\)を満たす\(x' \in ZT\)が存在するならば、\(Tdom(X) := \overline{\w}\)である。
  4. \(X <_Z dom(x)\)かつ\(dom(x) = Z_{x'}(0)\)かつ\(dom(x') = \overline{1}\)を満たす\(x' \in ZT\)が存在するならば、\(Tdom(X) := X\)である。
  5. そうでないならば、\(Tdom(X) := Tdom(x)\)である。
2. \(Tdom(y) = \overline{1}\)ならば、\(Tdom(X) := \overline{\w}\)である。
3. \(X <_Z Tdom(y)\)ならば、\(Tdom(X) := \overline{\w}\)である。
4. そうでないならば、\(Tdom(X) := Tdom(y)\)である。
\(X = X_1+X_2+ \.\.\. +X_m\)を満たす\(X_1, X_2, \.\.\. , X_m \in PZT (2 \leq m)\)が存在するならば、\(Tdom(X) := Tdom(X_m)\)である。

※\(Tdom\)は正しい共終数を出力する関数

部分集合\(ZT' \subset{ZT}\)を以下のように再帰的に定める：

\(ζ \in ZT'\)である
任意の\(x \in ZT'\)に対して、\(x + \z \in ZT'\)である。

基本列[]

\begin{eqnarray} [ \ ] : ZT^2 & \to & ZT \\ (X,Y) & \mapsto & X[Y]\\ \end{eqnarray}

を以下のように再帰的に定める：

\(X = 0\)ならば\(X[Y] := 0\)である。
\(X = \z\)ならば\(X[Y] := Y\)である。
\(X = Z_x(y)\)を満たす\(x \in ZT, y \in T\)が存在するとする。
1. \(Tdom(y) = 0\)とする。
  1. \(Tdom(x) = 0\)ならば、\(Tdom(X) := 0\)である。
  2. \(Tdom(x) = \overline{1}\)または\(Tdom(x) = \z\)ならば、\(Tdom(X) := Y\)である。
  3. \(X <_Z Tdom(x)\)かつ\(Tdom(x) = Z_{x'}(0)\)かつ\(Tdom(x') = \z\)を満たす\(x' \in ZT\)が存在するとする。
    1. \(\overline{1} \leq_Z Y <_Z \overline{\w}\)かつ、\(X[Y[0]] = Z_{\G}(y)\)を満たす\(\G \in ZT\)が存在するとする。
      1. \(\G \in T\)ならば、\(X[Y] := Z_{x[Z_{x'[\G]}(0)]}(y)\)である。
      2. \(\G = \a + \b\)かつ\(\a \in ZT'\)かつ\(\b \in T\)を満たす\(\a \in ZT, \b \in T\)が存在するならば、\(X[Y] := Z_{x[Z_{x'[\b]}(0)]}(y)\)である。
    2. そうでないならば、\(X[Y] := Z_{x[Z_{x'[0]}(0)]}(y)\)である。
  4. そうでないならば、\(X[Y] := Z_{x[Y]}(y)\)である。
2. \(Tdom(y) = \overline{1}\)とする。
  1. \(\overline{1} \leq_Z Y <_Z \overline{\w}\)ならば、\(X[Y] := Z_{x}(y[0]) + X[Y[0]]\)である。
  2. そうでないならば、\(X[Y] := Z_{x}(y[0])\)である。
3. \(Tdom(y) = \overline{\w}\)ならば、\(X[Y] := Z_{x}(y[Y])\)である。
4. \(Tdom(y) \notin \{0, \overline{1}, \overline{\w}\}\)とする。
  1. \(X <_Z Tdom(y)\)とする。
    1. \(dom(Tdom(y)) = Z_{x'}(0)\)かつ\(dom(x') = \overline{1}\)を満たす\(x' \in ZT\)が存在するとする。
      1. \(\overline{1} \leq_Z Y <_Z \overline{\w}\)かつ、\(X[Y[0]] = Z_{x}(\G)\)を満たす\(\G \in ZT\)が存在するならば、\(X[Y] := Z_x(y[Z_{x'[0]}(\G)])\)である。
      2. そうでないならば、\(X[Y] := Z_x(y[Z_{x'[0]}(0)])\)である。
    2. \(Tdom(y) = Z_{x'}(0)\)かつ\(Tdom(x') = \z\)を満たす\(x' \in ZT\)が存在するとする。
      1. \(\overline{1} \leq_Z Y <_Z \overline{\w}\)かつ、\(X[Y[0]] = Z_{x}(\G)\)を満たす\(\G \in ZT\)が存在するならば、\(X[Y] := Z_x(y[Z_{x'[\G]}(0)])\)である。
      2. そうでないならば、\(X[Y] := Z_x(y[Z_{x'[0]}(0)])\)である。
  2. そうでないならば、\(X[Y] := Z_{x}(y[Y])\)である。
\(X = X_1+X_2+ \.\.\. +X_m\)を満たす\(X_1, X_2, \.\.\. , X_m \in PZT (2 \leq m)\)が存在するとする。
1. \(X_m[Y] = 0\)かつ\(m = 2\)ならば、\(X[Y] := X_1\)である。
2. \(X_m[Y] = 0\)かつ\(m > 2\)ならば、\(X[Y] := X_1+X_2+ \.\.\. +X_{m-1}\)である。
3. \(X_m[Y] \in PZT\)ならば、\(X[Y] := X_1+X_2+ \.\.\. +X_m[Y]\)である。
4. \(X_m[Y] = Z_1+Z_2+ \.\.\. +Z_n\)を満たす\(Z_1, Z_2, \.\.\. , Z_m \in PZT (2 \leq n)\)が存在するならば、\(X[Y] := X_1+X_2+ \.\.\. +X_{m-1}+Z_1+Z_2+ \.\.\. +Z_n\)である。

形式化[]

\begin{eqnarray} \widehat{} : \N & \to & T \\ n & \mapsto & \widehat{n}\\ \end{eqnarray}

を以下のように再帰的に定める：

\(n = 0\)ならば、\(\widehat{n} := 0\)である。
\(n = 1\)ならば、\(\widehat{n} := \overline{1}\)である。
\(n \notin \{0, 1\}\)ならば、\(\widehat{n} := \widehat{n - 1} + \overline{1}\)である。

限界関数[]

\begin{eqnarray} ふにゃ : \N & \to & ZT \\ n & \mapsto & ふにゃ(n)\\ \end{eqnarray}

を以下のように再帰的に定める：

\(n = 0\)ならば、\(ふにゃ(n) := \z\)である。
\(n \neq 0\)ならば、\(ふにゃ(n) := \z + ふにゃ(n - 1)\)である。

標準形[]

部分集合\(OT \subset{T}\)を、以下のように再帰的に定める：

任意の\(n \in \N\)に対して、\(\widehat{n} \in OT\)である。
任意の\(n \in \N\)に対して、\(Z_0(Z_{ふにゃ(n)}(0)) \in OT\)である。
任意の\(n \in \N\)と任意の\(X \in OT\)に対して、\(X[\widehat{n}] \in OT\)である。

巨大関数[]

\begin{eqnarray} ふにゃふにゃ : OT \* \N & \to & \N \\ (X, n) & \mapsto & ふにゃふにゃ_X(n)\\ \end{eqnarray}

を以下のように再帰的に定める：

\(Tdom(X) = 0\)ならば、\(ふにゃふにゃ_X(n) := n + 1\)である。
\(Tdom(X) = \overline{1}\)ならば、\(ふにゃふにゃ_X(n) := ふにゃふにゃ_{X[0]}^n(n)\)である。
そうでないならば、\(ふにゃふにゃ_X(n) := ふにゃふにゃ_{X[\widehat{n}]}(n)\)である。

つまりこの関数はfghである。

\begin{eqnarray} ふにゃふにゃぜぇた : \N & \to & \N \\ n & \mapsto & ふにゃふにゃぜぇた(n)\\ \end{eqnarray} を以下のように定める：

\(ふにゃふにゃぜぇた(n) := ふにゃふにゃ_{Z_0(Z_{ふにゃ(n)}(0))}(n)\)

巨大数[]

「ふにゃんどーるすう」を次で定める：\(ふにゃふにゃぜぇた^{495}(6)\)

計算機[]

じぇいそん^[2]によって大小比較、\(dom\)、\(Tdom\)、基本列が計算できるサイトが公開されている。^[5]

ふにゃふにゃぜぇたかんすう

目次

定義[]

記法[]

順序[]

略記[]

共終数[]

基本列[]

形式化[]

限界関数[]

標準形[]

巨大関数[]

巨大数[]

計算機[]

出典[]

関連項目[]