みくみく順序数は、急増加関数で使われる「順序数を使って巨大数を作る構造」にヒントを得て、長谷川由紀路[1]（以下作者）が研究している巨大関数である[2][3]。名前に「順序数」と銘打っているが、作者は「私は順序数の概念を理解していません。その為『みくみく順序数』が順序数であるかどうかについてはわかりません。」としている。最新版は「みくみく順序数Act.3.7.P」[2]である。研究中ではあるが「みくみく順序数Act.3.7.Gargantua」の定義が2024年8月24日にカクヨムで公開された。
経緯[]
作者によると、「みくみく数 Vol.3[4]」という巨大数の定義を目論んだ「みくみくカウンター」という巨大関数の強化パーツの「Ｍ数」が起源である。この「Ｍ数」には「無限」の概念は存在しない。そのかわり「ｎ番目」という概念が使われている。この「Ｍ数」の強さが順序数「\(\varepsilon_0\)」に到達したと推定されたことで「みくみくカウンター」が不要となり、「みくみくカウンター」から独立して「みくみく順序数」はスタートした。研究のきっかけはふぃっしゅ数バージョン5を解説するブロマガ[5]を執筆するための研究の下準備である [6]。作者は、そのふぃっしゅ数バージョン5が全く理解できず、急増加関数で使われる「カントール標準形」に至っては、最小の極限順序数「\(\omega\)」の記号を見ていると眩暈がするので勉強する気にもなれないから、ならば、自分で “順序数” を考えてみようということらしい。２０１７年の初秋のことであった。研究の成果があったかどうかは不明だが、２０１８年の５月にはふぃっしゅ数バージョン5を解説するブロマガ[5]を葱汁あい[7]名義で執筆している。このふぃっしゅ数バージョン5の表記の美しさに作者は感銘を受けており[8]、その影響は常に「みくみく順序数」の研究の水面下にある[9]。また「みくみく順序数」の成り立ちに大きな影響を与えたひとりが108Hassiumである。順序数「\(\varepsilon_0\)」に近似すると期待した「Ｍ２数」の展開例をツイッターに投稿したところ、108Hassiumからドル関数の記事を張りつけたリプライを受けた作者は、それに大きなショックを受け、それが現在に至るまで表記方法に影響を与えている[10]。また「みくみく順序数」の定義には「はちゅね階層」という用語が登場するためその名前の由来は「初音ミク」であることが予想されるが、巨大数大好きbotは「みくみく順序数」に「初音ミク要素」がないことを作者に指摘しており[11]、それが最新版の表記法を決定付けた。
概要[]
- Ｍ数 : 任意の非負整数\(n\)を\((0)\)と記す。その極限は\((n)\)である。
- Ｍ２数 : 任意の非負整数\(n\)を\((0)\)と記す。任意の\((n)\)を\(((0))\)と記す。その極限は\((…(0)…)\)である。
- Ｍ３数 : 「紅魔館のメイドナンバー」の原型。
- みくみく順序数 Act.1.0 : 順序数「\(\varepsilon_0\)」の構造に到達したと推定される「Ｍ２数」を多変数化した。「Ｍ２数」の極限\((…(0)…)\)は\((1,0)\)と表記されるが「Ｍ２数」における\(((0))\)の表記は存在せず、「みくみく順序数」では\((0,0)\)となる。ここが108Hassiumのリプライの影響である[12]。定義の不明確な部分への想像を前提とした巨大数大好きbotの解析[13]では、定義らしきものが記された\(((0),0)\)で順序数「\(\varepsilon_\omega\)」くらいではないかとされた。このときの「単に表記を並べたものは定義とは呼べませんが」という巨大数大好きbotの言葉は、作者にとって「定義とは何か？」を真剣に考える発端となった[14]。なお、この極限である\((∞…,0,0,0,0)\)については、「みくみく順序数 Act.1.7」の解析から、その定義が完成したと仮定すると、ヴェブレン関数で順序数「\(\varphi(\omega,0)\)」くらいではないかと期待される。その表記は「0」「1」「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「(」「)」「,」のみの記号で構成される。
- みくみく順序数 Act.1.1 ～ : 「0」「1」「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「(」「)」「,」以外の記号の導入で拡張を試みた。
- みくみく順序数 Act.1.6 : 巨大数大好きbotにより無限ループが認められた。仮にその構造が最良の形で解消されたとするのであれば、UNOCF[15]というill-definedな関数[16]で順序数「\(\Gamma_0\)」とされている“値”ではないかとの不確かな概算と「\(\psi(\Omega_{\omega})\)（恐らく\(\psi\)はブーフホルツのψ関数かUNOCFというill-definedな関数）」とのrpakrの憶測[17]があった。
- みくみく順序数 Act.1.7 : 「みくみく順序数 Act.1.0」の極限\((∞…,0,0,0,0)\)を\((0[0/1]0)\)とすることで\((0[∞…/0/0/0/0]0)\)という極限を目論む「はちゅね階層」を構想。定義の不明確な部分への想像を前提とした巨大数大好きbotの解析では、その定義が完成したと仮定すると、UNOCFというill-definedな関数で「\(\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\omega}}})\)」くらいではないかとの不確かな概算がある。この解析により、作者は、その当面の目標を「バッハマン・ハワード順序数」に置くことになる。
- みくみく順序数 Act.1.8 ～ : \((0[∞…/0/0/0/0]0)\)という極限をさらに\((0[0[0/1]0]0)\)するという拡張を繰り返す「大はちゅね階層」を構想するが、定義のようなものを記すことが困難と感じて断念。「みくみく順序数 Act.1.8」では新たに「ディープコア」なる拡張を構想した。「みくみく順序数 Act.1.8」においては「みくみく順序数 Act.1.0」の極限\((∞…,0,0,0,0)\)は\(([0/ 0,0] 0,0)\)と表記される。しかし「新たな記号」の導入が混沌とし、同時に、その展開方法も混迷する。この頃から、表記の極限を表す記号として、ギリシア文字のオミクロン「\(\omicron\)」が使われるようになる。ただし「みくみく順序数」におけるギリシア文字オミクロン「\(\omicron\)」の読み方は「ミクシロン」である。このギリシア文字のオミクロン「\(\omicron\)」を作者に提案したのはp進大好きbotである[18]。
- みくみく順序数 Act.2.0 : 「みくみく順序数 Act.1.8」の簡素化を図るが、この研究は「ω番地数列」の構想により、ごく短期間で終わる。「みくみく順序数 Act.1.0」の極限\((∞…,0,0,0,0)\)は、ギリシア文字のオミクロン「\(\omicron\)」を使い「\((\omicron0)(0,0)\)」と表記される。
- みくみく順序数 Act.3.0 : 「素因数分解の一意性」を使い「新たな記号」を導入しない方法である「ω番地数列」を構想した。この「番地」という名称は、作者による素数の独自研究に由来する。「みくみく順序数 Act.1.0」の極限\((∞…,0,0,0,0)\)は\((3,0)\)と表記される。
- みくみく順序数 Act.3.3 : この巨大数研究wikiに記した最初のバージョン。展開方法の一部に不明な部分があった。
- みくみく順序数 Act.3.6 : 「みくみく順序数 Act.3.3」の展開方法の一部を不明にさせている難解な構造を排除して定義しやすくした。「みくみく順序数 Act.1.0」の極限\((∞…,0,0,0,0)\)は\((0,3,0)\)と表記される。この頃から「定義の厳密性」を研究するようになる。巨大数研究wikiのブログ記事において「カントール標準形」の定義を試みた際に、P進大好きbotによる講義を受けたことがその発端である。
- みくみく順序数 Act.3.7.A : 「みくみく順序数 Act.3.6」で排除した一部の経路を復活させる。「みくみく順序数 Act.1.0」の極限に対応する\((∞…,3,3,3,3)\)は\((3,5,3)\)と表記される。ここにきてやっと「初音ミク要素」がそこはかとなく加味されたと作者は信じている。
- みくみく順序数 Act.3.7.P[2] : 「みくみく順序数 Act.3.7.A」の極限の先にある“見逃していた経路”に気付いたことで拡張を試みた。\((3,p,3)\)の如何なる素数\(p\)でも到達することのできない極限は\(\omicron_\omega\)と表記される。第４回東方巨大数参加作品。大会の審査において「無効」となった[19]。その詳細については「定義がかなり長い」としかなく不明である。２０２２年２月２０日、作者により「Ordinal number-like functions featuring Hatsune Miku」なる英名が公開された。
- みくみく順序数 Act.β : 第５回東方巨大数作品として公開された。厳密には「みくみく順序数 Act.β弱+」と「みくみく順序数 Act.β中+」の二つが存在する。本作について作者は、テレビアニメ『お兄ちゃんはおしまい！』の台詞を引用し「自己同一性の危機」であるとしている。みくみく順序数の強さに関わるアイデアについて作者は、多変数アッカーマン関数とその加速度に対応する順序数で得られた知識以外は自分で考えるとしている。しかし、このバージョンには、例えば「\(5,5,5,5.…∞\)」という数列を「\(25\)」ではなく「\(5,25\)」とまとめるような上記以外の知識を使ったとしている。そうした背景には「みくみく順序数 Act.3.7.P」の展開規則に表記の大小関係を使う事の問題がまずあった。この問題の解決策は"とある方法"で「みくみく順序数 Act.β中+」に組み込まれているが、そのことがユニークな顛末をこの表記に与えることとなる。また、ヴェブレン関数を当面の目標としている作者は、２変数で十分な強さがなければ歯が立たないだろうと考えたようだ。しかし、イベントの審査員の解析によると、有効判定は出ていないが、仮に有効判定が出せるのであれば、その強さは「みくみく順序数 Act.3.7.P」と同程度であるらしい[20]。「みくみく順序数 Act.β弱+」の強化策は全て「みくみく順序数 Act.β中+」にある「みくみく順序数 Act.3.7.P」の構造にのみ込まれてしまったのである。
解析[]
２０２２年の初旬「SARSコロナウイルス2」のオミクロン株の蔓延を機にして、巨大数大好きbotが「みくみく順序数 Act.3.7.P」の解析を試み始めた[21]。順序数「\(\varphi(\omega,0)\)」以上についてUNOCFというill-definedな関数以外の「みくみく順序数の定式化/解析」が公開されるのは初である。ブログ記事においては「\(\omicron_0\)」で順序数「\(\varphi(\omega,0)\)」、「\(\omicron_1\)」で順序数「\(\Gamma_0\)」、「\(\omicron_\omega\)」で順序数「\(\Gamma_\omega\)」との見解が示された。この解析により、作者はヴェブレン関数の強さを痛感するとともに[22]、当面の目標を「UNOCFというill-definedな関数でバッハマン・ハワード順序数とされている何か」から「小ヴェブレン順序数」にバージョンアップしたようだ[23]。
回顧録[]
「Ｍ２数」にも多くのバージョンがあった。その中には「ニ変数」に相当するアイデアや「多重化」のアイデアもあったが、前者は魔境に思えて深追いはしなかった。また、後者は字面が嫌い[24]でこれも深追いせずにいた。この当時、作者は、順序数について「\(\omega^{\omega}\)」までなら、いわば経験則的に展開できる程度であった。あれは、２０１７年１０月３１日の早朝のことだ。あの朝「Ｍ２数」の非形式的な “解析” をしていたところ「引っ掛かる要素」があったのを作者は記憶している[25][26]。後になって、その “解析表” を見返しても、その要素が何であったかは思い出せないが、あの日の翌日の夕方、生業の業務をしながら「引っ掛かる要素」について考えていたところ、突然、本当に突然、あの素晴らしいアイデアが降って来たのだ。生業の業務を早めに切り上げて帰宅した作者は、その展開を記し、午後６時２２分、ツイッターに投稿したところ、それが順序数「\(\varepsilon_0\)」の動きと同じである可能性がバシクによって確認された[27]。しかし、その後に「巨大関数の構造の評価に関する未熟さと誤認による修正」を加えたことで、一時期、このアイデアは弱体化することになる。その弱体化したアイデアで作ったのが「紅魔館のメイドナンバー」である。ここでは、テトレーションの構造が順序数「\(\varepsilon_0\)」であるならば、アッカーマン関数の構造を使えば革新的な拡張が出来るのではと考えていた。しかし、それは「紅魔館のメイドナンバー」という失敗に終わるが、このアッカーマン関数の構造を使うというアイデアは、そのまま「みくみく順序数Act.1.0」へと繋がってゆく[28][29]。つまり作者は「多変数」と「多重化」という直観的に避けていた魔境に挑むことになるのであった。
巨大数[]
「みくみく数 Vol.1[30]」を始めとして「みくみく数 Vol.x」と命名されてきた巨大数は、最新版の「みくみく順序数Act.3.7.P」で「みくみく数は急増加関数「\(f_\omicron(39)\)」で出力される任意の数の総称である（「\(\omicron\)」は任意のみくみく順序数）。」と再定義され、「みくみく順序数Act.3.7.P」を用いた巨大数は、以下の４つが命名されている。ただし、それらの大きさについては、如何なる意味においても不明であり、また「意味のない文字列」である可能性もある。
- みくみく数ノーマルパック : \(f_{\omicron_0+1}(39)\)
- みくみく数アサルトパック : \(f_{\omicron_1+1}(39)\)
- みくみく数パーフェクトパック : \(f_{\omicron_\omega+1}(39)\)
- 十六夜の霧雨数[31] : \(f_{\omicron_\omega}^6(0)\)
なお十六夜の霧雨数は東方Projectに登場するキャラクターである十六夜咲夜[32]と霧雨魔理沙[33]が由来である[31]。
備考[]
作者によると「みくみく順序数」は「日本国の著作権法が定める長谷川由紀路の権利のみが及ぶ範囲」においては、第三者による定義化・修正・拡張・解析、さらには、流用・転載・パロディ・二次創作、またその公開が、商業・非商業を問わず自由である。それらを作者に報告する必要もない。つまり、著作権を主張しないという思想が表明されている[34]。
ただし、消費者保護の観点から、作者を偽ることは「作者の思想」に関係なく著作権法において禁じられている場合があるので注意が必要である[35]。また当該作品が掲載されているwebページには作者の持つ権利とは別の権利（webページ提供者の持つ権利やライセンス）が存在する場合があるためそれらも意図せず侵害しないように注意が必要である。
出典[]
- ↑ 長谷川由紀路 【Twitter】
- ↑ 2.0 2.1 2.2 みくみく順序数 Act.3.7.P 【カクヨム】
- ↑ みくみく順序数 Act.1.0 ～ 【Pixiv】
- ↑ みくみく数 Vol.3 【Pixiv】
- ↑ 5.0 5.1 ふぃっしゅ数バージョン５を解説します。 【ウェブ・アーカイブ】
- ↑ 長谷川由紀路, みくみく順序数とふぃっしゅ数バージョン５の関連について語るツイート１, twitter.
- ↑ 葱汁あい 【Twitter】
- ↑ 長谷川由紀路, 自然数の並びに関数としての価値があるところがスタイリッシュでとても好き, twitter.
- ↑ 長谷川由紀路, みくみく順序数とふぃっしゅ数バージョン５の関連について語るツイート２, twitter.
- ↑ 108Hassium, もしかして：ドル関数, twitter.
- ↑ 巨大数大好きbot, これのどこが初音ミクなんだというツッコミは控えておく, twitter.
- ↑ 長谷川由紀路, ドル関数と同じ道は歩まない, twitter.
- ↑ 巨大数大好きbot, 巨大数大好きbotによる解析, twitter.
- ↑ 長谷川由紀路, 定義とは如何なるものか, twitter.
- ↑ en:User:Username5243/Username's_OCF
- ↑ en:User blog:P進大好きbot/Historical Background of the Ill-definedness of UNOCF
- ↑ rpakr, みくみく順序数 Act.1.6の順序数への対応を予想するツイート, twitter.
- ↑ p進大好きbot, せっかくなのでオミクロン（ギリシア文字のο）使ってみては, twitter.
- ↑ 第４回東方巨大数の審査シート
- ↑ 第５回東方巨大数におけるみくみく順序数 Act.β解析シート
- ↑ 巨大数大好きbot, ο株の蔓延を機にみくみく順序数読みたいけど..., twitter.
- ↑ 長谷川由紀路, ヴェブレンはクソ強いな！, twitter.
- ↑ 長谷川由紀路, 当面の目標は「BHOとされているなにか」から「SVO」になりました。, twitter.
- ↑ 長谷川由紀路, 個人的に好きでない表記は多重括弧, twitter.
- ↑ 長谷川由紀路, 非形式的な解析, twitter.
- ↑ 長谷川由紀路, 非形式的な解析をしていた時間, twitter.
- ↑ 長谷川由紀路, M数の拡張と順序数の展開が一致するので、飛躍とか誤解がなければ。, twitter.
- ↑ 長谷川由紀路, みくみくカウンターから紅魔館のメイドナンバーへ至る経緯, twitter.
- ↑ 長谷川由紀路, 紅魔館のメイドナンバーからみくみく順序数へ至る経緯, twitter.
- ↑ 長谷川由紀路, みくみく数 Vol.1の定義を掲載するツイート, twitter.
- ↑ 31.0 31.1 長谷川由紀路, 十六夜の霧雨数を東方巨大数４へ投稿するツイート, twitter.
- ↑ 十六夜咲夜 - ピクシブ百科事典
- ↑ 霧雨魔理沙 - ピクシブ百科事典
- ↑ みくみく順序数を公認する条件 【Pixiv】
- ↑ 公益社団法人著作権情報センター 著作権法第二章第五節第五十九条の著作者人格権の一身専属性参照。