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アッカーマン数 (Ackermann number) は、アッカーマン関数のオリジナルの定義(よく知られたロビンソンの定義とは異なる)によって、A(n) = A(n+2,n,n) とあらわされる数列である。ここで、\(n\)は正の整数である。矢印表記では以下のように表記出来る[1]

\[A(n) = n\underbrace{\uparrow\uparrow...\uparrow\uparrow}_nn\]

最初のいくつかのアッカーマン数は \(1\uparrow 1 = 1\)、\(2\uparrow\uparrow 2 = 4\)、そして \(3\uparrow\uparrow\uparrow 3 =\) トリトリである。アッカーマン数は矢印表記を対角化しているので、増加速度は急増加関数では \(f_\omega(n)\) 程度、緩成長階層では \(g_{\varphi(n-1,0)}(n)\) 程度になる。

\(n\)番目のアッカーマン数は、チェーン表記では \(n \rightarrow n \rightarrow n\)、BEAFでは \(\lbrace n,n,n \rbrace\) と書くことができる。

最後の10桁の数

以下は、最初の10個のアッカーマン数の最後の桁である。

  • 1st = 1
  • 2nd = 4
  • 3rd = ...2464195387 (トリトリ tritri)
  • 4th = ...0411728896 (トリテット tritet)
  • 5th = ...8408203125 (トリペント tripent)
  • 6th = ...7447238656 (トリヘクス trihex)
  • 7th = ...1565172343 (トリセプト trisept)
  • 8th = ...6895225856 (トリオクト trioct)
  • 9th = ...7392745289 (トリエネット triennet)
  • 10th = ...0000000000 (トリデカル tridecal)

他の記法による近似

記法 近似

ハイパーE表記

\(En\#\#n\)

BEAF

\(\lbrace n,2,1,2 \rbrace\)
急増加関数 \(f_\omega(n)\)

緩成長階層

\(g_{\varphi(\omega,0)}(n)\)

出典

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