イェーガーのψ関数

\( \newcommand\a{\alpha} \newcommand\b{\beta} \newcommand\g{\gamma} \newcommand\z{\zeta} \newcommand\x{\xi} \newcommand\k{\kappa} \newcommand\p{\pi} \newcommand\Enum{\text{Enum}} \newcommand\S{\text{S}} \)

イェーガーのψ関数とは、1984年にイェーガーによって作成された弱\(\a\)到達不能基数を用いる順序数崩壊関数である。

定義

以下\(\mathsf{ ZFC+MC }\)で作業する。

基本的な概念

\(M_0\)を最小の弱マーロ基数とする。
\(L\)を\(M_0\)未満の極限順序数全体の集合とする。
\(\a,\b,\g \in M_0\)とする。

加法

\(P = \{\a \mid \forall\z,\x < \a~(\z + \x < \a)\}\)とする。

ヴェブレン関数

\(\varphi\)はヴェブレン関数である。
\(\a\)が強臨界であるとは、\(\varphi_\a(0)\)ということである。
\(S\)を\(M_0\)未満の強臨界な順序数全体の集合とする。

弱\(\a\)到達不能基数

\(\Enum(X)\)は集合\(X\)の数え上げ関数である。
\(cl(X) = X \cup \{\a \mid 0 \neq \a = \sup(X \cap \a)\}\)とする。
\(R\)を\(M_0\)未満の非可算正則基数全体の集合とする。
\(\k,\p \in R\)とする。
\(I_\a = \Enum(cl(\{\b \in R \mid \forall\g < \a ~ (\b = I_\g(\b))\}))\)とする。

\(\k\)に対し、\(\k^-\)を以下で定義する:

\begin{eqnarray} \k^- = \begin{cases} 0 & ( \k = I_\a(0) ) \\ I_\a(\b) & ( \k = I_\a(\b + 1) ) \end{cases} \end{eqnarray}

標準形

\(\a\)の標準形の関係\(\a =_{NF}\)を以下で定義する:

• \(\a =_{NF} \a_0 + \dots + \a_n :\iff \a = \a_0 + \dots + \a_n ~ (n \in \omega \land \a_0 \geq \dots \geq \a_n \land \a_0,\dots,\a_n \in P)\)
• \(\a =_{NF} \varphi_\b(\g) :\iff \a = \varphi_\b(\g) ~ (\b,\g < \a)\)
• \(\a =_{NF} I_\b(\g) :\iff \a = I_\b(\g) ~ (\b,\g < \a)\)

\(\S(\g)\)を以下で定義する:

\begin{eqnarray} \S(\g) = \begin{cases} \{\g\} & ( \g \in S \cup \{0\} ) \\ \{\g_0,\dots,\g_n\} & ( \g \notin P \land \g =_{NF} \g_0 + \dots + \g_n)\\ \{\a,\b\} & (\g \notin S \land \g =_{NF} \varphi_\a(\b)) \end{cases} \end{eqnarray}

順序数崩壊関数

集合\(C_\k\)と関数\(\psi_\k\)を再帰的に定義する:

\begin{eqnarray} C_\k^n(\a) &=& \k^- \cup \{\k^-\}\\ C_\k^{n + 1}(\a) &=& \{\g \mid S(\g) \subseteq C_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{I_\b(\g) \mid \b,\g \in C_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{\g \mid \g < \pi < \k \land \pi \in C_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{\psi_\p(\g) \mid \g < \a \land \pi,\g \in C_\k^n(\a)\}\\ C_\k(\a) &=& \bigcup_{n < \omega}C_\k^n(\a)\\ \psi_\k(\a) &=& \min\{\x \mid \x \notin \psi_\k(\a)\} \end{eqnarray}

\(\a =_{NF} \psi_\k(\b) :\iff \a = \psi_\k(\b)\)と定義する。