イェーガー・ブーフホルツのψ関数

他のψ関数については、ψ関数をご覧ください。

イェーガー・ブーフホルツのψ関数はイェーガーとブーフホルツによって定義された到達不能基数を用いる順序数崩壊関数である．

歴史[]

この順序数崩壊関数はブーフホルツ^[1]によって定義された関数であり，イェーガーによる順序数崩壊関数^[2]を制限したものである．

定義[]

以下$\mathsf{ZFC}+\mathsf{IC}$で作業する，つまり弱到達不能基数の存在を仮定し，$\mathbb{I}$を最小の弱到達不能基数とし，$\mathrm{Reg}_\mathbb{I}$を$\mathbb{I}$以下の正則基数全体の集合とする．

クラス関数$\psi:\mathrm{Reg}_\mathbb{I}\times\mathrm{On}\to\mathrm{On}$と順序数$\alpha$と$\beta$に対する集合$\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)\subseteq\mathrm{On}$を同時に超限再帰により定義する．

$\psi_\kappa(\alpha):=\min\{\xi\in\mathrm{On}\mid\kappa\in\mathrm{Cl}(\alpha,\xi)\land\mathrm{Cl}(\alpha,\xi)\cap\kappa\subseteq\xi\}$

$\begin{align*}\mathrm{Cl}^0(\alpha,\beta):=&\beta\cup\{0,\mathbb{I}\}\\ \mathrm{Cl}^{n+1}(\alpha,\beta):=&\{\xi+\zeta\mid\xi,\zeta\in\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\}\cup\\ &\{\varphi_\xi(\zeta)\mid\xi,\zeta\in\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\}\cup\\ &\{\Omega_\xi\mid\xi\in\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\}\cup\\ &\{\psi_\pi(\xi)\mid\xi\in\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\cap\alpha\land\pi\in\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\cap\mathrm{Reg}_\mathbb{I}\}\\ \mathrm{Cl}(\alpha,\beta):=&\bigcup_{n<\omega}\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\end{align*}\\ $

とする．ここで$\varphi$はヴェブレン関数であり，$\Omega_0:=0,\Omega_\alpha:=\aleph_\alpha(\alpha>0)$とし，$\psi_\kappa(\alpha):=\psi(\kappa,\alpha)$である．

定義の解説[]

相互の超限帰納法で定義されていることが明らかであろう．ここで$\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))$がブーフホルツのψ関数に於ける$C_\kappa(\alpha)$に対応する．

基本的性質[]

注意4.1
以下$\alpha,\beta,\gamma,\xi,\zeta,\eta$と，その文字に添字を付けたものは全て順序数を表し，$\kappa,\pi$とその文字に添字を付けたものは全て$\omega$より大きい$\mathbb{I}$以下の正則基数を表すものとする．また$\alpha\leq\beta$に対し$[\alpha,\beta]:=\{\xi\mid\alpha\leq\xi\leq\beta\}$，$]\alpha,\beta[\,:=\{\xi\mid\alpha<\xi<\beta\}$，$]\alpha,\beta]:=\{\xi\mid \alpha<\xi\leq\beta\}$，$[\alpha,\beta[\,:=\{\xi\mid\alpha\leq\xi<\beta\}$とする．また集合$X$の基数を$\mathrm{card}(X)$と表す．

命題4.2
簡単な事実として以下が成り立つ． $\alpha_0\leq\alpha$かつ$\beta_0\leq\beta$ならば$\mathrm{Cl}(\alpha_0,\beta_0)\subseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$． $\alpha$が極限順序数であるとき，$\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)=\bigcup_{\xi\in\alpha}\mathrm{Cl}(\xi,\beta)$である． $\beta$が極限順序数であるとき，$\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)=\bigcup_{\xi\in\beta}\mathrm{Cl}(\alpha,\xi)$である． $\beta$が無限順序数であるとき，$\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$の濃度は$\beta$より大きい最小の基数$\beta^+$で未満である．任意の$\alpha,\kappa$に対して$\kappa\in\mathrm{Cl}(\alpha,\kappa)$である． $\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))\cap\kappa=\psi_\kappa(\alpha)$．任意の$\alpha,\kappa$に対して$\psi_\kappa(\alpha)<\kappa$である．任意の$\alpha,\kappa$に対し$\psi_\kappa(\alpha)\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))$である．証明． 1,2,3,4は定義より明らかである． 5.は$\kappa=\mathbb{I}$のときは定義から明らかである．よって$\kappa<\mathbb{I}$を仮定しよう．$\mathbb{I}$が最小の到達不能基数である，すなわち$\Omega_\pi=\pi$を満たす最小の正則基数$\pi$であることから，$\kappa<\mathbb{I}$より$\kappa<\Omega_\kappa$であり，ある$\sigma\in\kappa$が存在して$\kappa=\Omega_\sigma$と表せる．よって$\sigma\in\kappa\subseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\kappa)$であり$\mathrm{Cl}(\alpha,\kappa)$の閉包性から$\kappa=\Omega_\sigma\in\mathrm{Cl}(\alpha,\kappa)$である． 6.は定義と5.から明らかである． 7.と8.を示す．まず超限再帰により$\{\eta_n\}_{n\in\omega}$を$\eta_0:=\min\{\xi\mid\kappa\in\mathrm{Cl}(\alpha,\xi)\},\eta_{n+1}:=\min\{\xi\mid\mathrm{Cl}(\alpha,\eta_n)\cap\kappa\subseteq\xi\}$と定め，$\eta:=\sup_{n\in\omega}\eta_n$とする．$\eta_n<\kappa$であることを$n$に関する帰納法で示す．まず$n=0$のときを考える．6.から$\kappa\in\mathrm{Cl}(\alpha,\kappa)$であり，3.から$\mathrm{Cl}(\alpha,\kappa)=\bigcup_{\xi<\kappa}\mathrm{Cl}(\alpha,\xi)$であるから，ある$\xi<\kappa$が存在して$\kappa\in\mathrm{Cl}(\alpha,\xi)$であり，$\eta_0\leq\xi<\kappa$となり良い．$\eta_n<\kappa$であるとき$\eta_{n+1}<\kappa$であることを示す．4.と帰納法の仮定から$\mathrm{Cl}(\alpha,\eta_n)$の濃度は$\kappa$未満であり，よって$\kappa$が正則基数であることから$\mathrm{Cl}(\alpha,\eta_n)\cap\kappa\subseteq\xi$なる$\xi$は$\kappa$未満で取ることができる．よって$\eta_{n+1}<\kappa$である．帰納法によって任意の$n$に対して$\eta_n<\kappa$であり，$\kappa>\omega$と$\kappa$の正則性から$\eta<\kappa$となる．3.と$\{\eta_n\}_{n\in\omega}$の定義から$\mathrm{Cl}(\alpha,\eta)\cap\kappa=\bigcup_{n\in\omega}\mathrm{Cl}(\alpha,\eta_n)\cap\kappa\subseteq\sup_{n\in\omega}\eta_{n+1}=\eta$であり，$\psi$の定義から$\psi_\kappa(\alpha)\leq\eta$であり，$\eta<\kappa$であることから7.が従う．8.は5.から$\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))\cap\kappa=\psi_\kappa(\alpha)$であり，7.から$\psi_\kappa(\alpha)\in\kappa$であることから分かる．□

定義4.3
順序数$\alpha$が強臨界 (strongly critical)であるとは，$\alpha\neq 0\land(\forall \xi<\alpha)(\forall \zeta<\alpha)[\varphi_\xi(\zeta)<\alpha]$を満たすことである．これは，ある$\xi\in\mathrm{On}$が存在し$\alpha=\Gamma_\xi$となることと同値である．また$\mathrm{SC}$を強臨界順序数全体とする． $\mathbb{I}^\Gamma$を$\mathbb{I}$より大きい最小の強臨界順序数とする．明らかに$\mathbb{I}^\Gamma=\Gamma_{\mathbb{I}+1}$である．順序数$\alpha$に対して$\mathrm{SC}(\alpha)$を超限再帰により定義する．$\begin{aligned} \mathrm{SC}(\alpha):=\begin{cases}\emptyset & \text{if $\alpha=0$}\\ \{\alpha\} & \text{if $\alpha\in\mathrm{SC}$}\\ \mathrm{SC}(\xi)\cup\mathrm{SC}(\zeta) & \text{if $\alpha=_\mathrm{VNF}\varphi_\xi(\zeta)$}\\ \bigcup_{i\in\{1,\ldots,n\}}\mathrm{SC}(\xi_n) & \text{if $\alpha=_\mathrm{VNF} \xi_1+\cdots+\xi_n$}.\end{cases} \end{aligned}$ ここで$=_\mathrm{VNF}$は二変数ヴェブレン関数による標準形で表されていることを指す．

命題4.4
任意の$\alpha,\kappa$に対し$\psi_\kappa(\alpha)\notin\{\Omega_\xi\mid\xi<\Omega_\xi\}$である．任意の$\alpha,\kappa$に対し$\psi_\kappa(\alpha)\in\mathrm{SC}$である．任意の$\xi$に対して，$\xi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$と$\Omega_\xi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$は同値である．任意の$\xi$に対して，$\mathrm{SC}(\xi)\subseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$と$\xi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$は同値である． $\kappa=\Omega_{\xi+1}$ならば$\Omega_\xi<\psi_\kappa(\alpha)<\Omega_{\xi+1}$である． $\psi_\mathbb{I}(\alpha)$はオメガ不動点である．すなわち$\Omega_{\psi_\mathbb{I}(\alpha)}=\psi_\mathbb{I}(\alpha)$となる． $\alpha\leq\beta$ならば，$\psi_\kappa(\alpha)\leq\psi_\kappa(\beta)$かつ$\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))\subseteq\mathrm{Cl}(\beta,\psi_\kappa(\beta))$である． $\alpha<\beta$かつ$\alpha\in\mathrm{Cl}(\beta,\psi_\kappa(\beta))$ならば$\psi_\kappa(\alpha)<\psi_\kappa(\beta)$である． $\alpha<\beta$かつ，ある$\gamma\leq\beta$が存在して$\alpha\in\mathrm{Cl}(\gamma,\psi_\kappa(\gamma))$ならば$\psi_\kappa(\alpha)<\psi_\kappa(\beta)$である． $[\Omega_\xi,\Omega_{\xi+1}[\,\cap\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)\neq\emptyset$ならば$\Omega_\xi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$である． $\Omega_\xi=\xi$かつ$\beta\leq\xi\leq\Gamma_{\mathbb{I}+1}$に対し$\xi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$ならば，$\xi=\mathbb{I}$であるか，もしくはある$\eta$が存在し$\xi=\psi_\mathbb{I}(\eta)$である． $\mathrm{Cl}(\alpha,\Omega_\xi)=\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_{\Omega_{\xi+1}}(\alpha))$である． $\psi_{\Omega_1}(\Gamma_{\mathbb{I}+1})=\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)\cap\Omega_1$である．証明． 1.は$\psi_\kappa(\alpha)=\Omega_\xi$かつ$\xi<\Omega_\xi$を満たす$\xi$が存在すると仮定すると，仮定と命題4.2.6.から$\xi\in\Omega_\xi=\psi_\kappa(\alpha)=\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))\cap\kappa$となり，$\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))$の閉包性から$\psi_\kappa(\alpha)=\Omega_\xi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))$となり命題4.2.8.に矛盾する． 2.は命題4.2.6.から$\psi_\kappa(\alpha)=\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))\cap\kappa$であり，$\xi,\zeta\in\psi_\kappa(\alpha)=\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))\cap\kappa$なら$\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))$の閉包性と$\kappa$の強臨界性から$\varphi_\xi(\zeta)\in\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))\cap\kappa=\psi_\kappa(\alpha)$となるからである． 3.は$\xi=\Omega_\xi$のときは明らかであり，よって$\Omega_\xi>\xi\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$とする．明らかに$\Omega_\xi\notin\beta\cup\{0,\mathbb{I}\}$であり，1.から$\Omega_\xi=\psi_\pi(\zeta)$となるような$\pi,\zeta$は存在しない．もし$\Omega_\xi=\zeta+\eta$か$\Omega_\xi=\varphi_\zeta(\eta)$となっていれば$\Omega_\xi$が強臨界順序数であることから$\Omega_\xi\in\{\zeta,\eta\}$であり，$\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)=\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)\setminus\{\Omega_\xi\}$となる．よって$\Omega_\xi\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$となり，また逆は明らかである． 4.は$\mathrm{SC}(\xi)\subseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$ならば$\xi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$であることは明らかであり，よって逆を示す．$\xi\in\mathrm{SC}$の場合定義から明らかであり，そうでないと仮定する．対偶法で示し$\xi$に関する帰納法で示す．$\mathrm{SC}(\xi)\nsubseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$なら，明らかに$\xi\notin\beta\cup\{0,\mathbb{I}\}$である．$\xi=_\mathrm{VNF}\varphi_\zeta(\eta)$となる$\zeta,\eta$が存在するか，ある$\zeta,\eta<\xi$が存在し$\xi=\zeta+\eta$であれば，$\mathrm{SC}(\xi)\subseteq\mathrm{SC}(\zeta)\cup\mathrm{SC}(\eta)$であり，帰納法の仮定から$\mathrm{SC}(\zeta)\nsubseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$ならば$\zeta\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$であり，同様に$\mathrm{SC}(\eta)\nsubseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$ならば$\eta\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$である．よって$\zeta,\eta\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$であり，$\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)\setminus\{\xi\}=\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$となり，$\xi\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$である． 5.は$\psi_\kappa(\alpha)$の定義から$\kappa\in\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))$であり，$\kappa=\Omega_{\xi+1}$と3.によって$\xi+1\in\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))$，4.によって$\xi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))$であり，3.と$\Omega_\xi<\Omega_{\xi+1}$から，$\Omega_\xi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))\cap\kappa$であり，命題4.2.6.から$\Omega_\xi<\psi_\kappa(\alpha)$であり，命題4.2.7.より$\psi_\kappa(\alpha)<\kappa=\Omega_{\xi+1}$となる． 6.は$\Omega_\xi\leq\psi_\mathbb{I}(\alpha)<\Omega_{\xi+1}$なる$\xi$は一意に存在するため，そのような$\xi$を取る．命題4.2.7.より$\Omega_\xi\leq\psi_\mathbb{I}(\alpha)<\mathbb{I}$であり，$\mathbb{I}$が極限基数であることから$\Omega_{\xi+1}<\mathbb{I}$である．よって$\Omega_{\xi+1}\in\mathbb{I}$であることと，命題4.2.6.から$\Omega_{\xi+1}\notin\psi_\mathbb{I}(\alpha)=\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\mathbb{I}(\alpha))\cap\mathbb{I}$であることから$\Omega_{\xi+1}\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\mathbb{I}(\alpha))$となる．よって3.より$\xi+1\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\mathbb{I}(\alpha))$であり，4.より$\xi\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\mathbb{I}(\alpha))$であることから命題4.2.6.により$\psi_\mathbb{I}(\alpha)\leq\xi\leq\Omega_\xi\leq\psi_\mathbb{I}(\alpha)$となり，$\xi=\psi_\mathbb{I}(\alpha)=\Omega_\xi$である． 7.を考える．$\alpha=\beta$の場合は明らか．よって$\alpha<\beta$と仮定する．まず$\kappa<\mathbb{I}$に対して$\Omega_{\xi+1}=\kappa$と表わせて，5.より$\Omega_\xi\in\psi_\kappa(\beta)$であり，$\mathrm{Cl}(\alpha_,\psi_\kappa(\beta))$の定義から$\psi_\kappa(\beta)\subseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\beta))$となる．よって$\kappa\in\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\beta))$であり，$\mathrm{Cl}(\alpha_,\psi_\kappa(\beta))$の定義から$\kappa=\mathbb{I}$の場合もこれは成り立つ．命題4.2.1.から$\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\beta))\cap\kappa\subseteq\mathrm{Cl}(\beta,\psi_\kappa(\beta))\cap\kappa$であり，$\psi_\kappa(\alpha)$の定義と$\kappa\in\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\beta))$であることから$\psi_\kappa(\alpha)\leq\psi_\kappa(\beta)$であり命題4.2.1.から$\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_\kappa(\alpha))\subseteq\mathrm{Cl}(\beta,\psi_\kappa(\beta))$である． 8.まず$\alpha<\beta,\alpha\in\mathrm{Cl}(\beta,\psi_\kappa(\beta))$より$\psi_\kappa(\alpha)\in\mathrm{Cl}(\beta,\psi_\kappa(\beta))$である．また命題4.2.7.より$\psi_\kappa(\alpha)\in\kappa$であるから，命題4.2.6.より$\psi_\kappa(\alpha)\in\mathrm{Cl}(\beta,\psi_\kappa(\beta))\cap\kappa=\psi_\kappa(\beta)$となる．よって$\psi_\kappa(\alpha)<\psi_\kappa(\beta)$である． 9.は7.から$\alpha\in\mathrm{Cl}(\gamma,\psi_\kappa(\gamma))\subseteq\mathrm{Cl}(\beta,\psi_\kappa(\beta))$であり，8.から従う． 10.は対偶法で示す．$\Omega_\xi\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$と仮定しよう．$M:=\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)\setminus[\Omega_\xi,\Omega_{\xi+1}[$とする．$M=\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$であるとき，$\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)\cap[\Omega_\xi,\Omega_{\xi+1}[\,=\emptyset$になるので$M=\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$を示す．まず$\Omega_\xi\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$であることから$\beta<\Omega_\xi$であり，$\beta\subseteq M$である．また$\Omega_0=0\in\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$と$\Omega_\mathbb{I}=\mathbb{I}\in\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$であることと仮定から$\{0,\mathbb{I}\}\subseteq M$である．$\Omega_\xi,\Omega_{\xi+1}$が強臨界順序数であることから$\zeta,\eta\notin[\Omega_\xi,\Omega_{\xi+1}[$なら$\zeta+\eta,\varphi_\zeta(\eta)\notin[\Omega_\xi,\Omega_{\xi+1}[$である．$\Omega_\xi\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$であり，3.から$\xi\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$であることから$\zeta\in M$なら$\Omega_\zeta\in M$である．もし$\zeta,\kappa\in\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$に対し$\psi_\kappa(\zeta)\in[\Omega_\xi,\Omega_{\xi+1}$であり，$\kappa,\zeta\notin[\Omega_\xi,\Omega_{\xi+1}]$なら5.より$\kappa=\Omega_{\xi+1}$であり3.より$\xi+1\in\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$であり，4.より$\xi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$であり，3.から$\Omega_\xi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$であり矛盾する．よって$M=\mathrm{Cl}(\alpha,\beta)$である． 11.は$\Omega_\xi=\xi$であり，$\beta\leq\Gamma_{\mathbb{I}+1}$と命題4.2.7.より$\xi\leq\mathbb{I}$となり，$\Omega_\xi\in\mathrm{SC}$であり，5.から$\pi\neq\mathbb{I}$のとき，$\Omega_\xi\neq\psi_\pi(\eta)$とならないことによる． 12.まず$\zeta:=\min\{\eta\mid\eta\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\Omega_\xi)\}$とすれば，$\zeta\subseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\Omega_\xi)\cap\Omega_{\xi+1}$であり，$\mathrm{Cl}(\alpha,\Omega_\xi)=\mathrm{Cl}(\alpha,\zeta)$である．よって$\zeta\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\zeta)$かつ$\zeta<\Omega_{\xi+1}$であり，命題4.2.5.と3.と4.から$\Omega_{\xi+1}\in\mathrm{Cl}(\alpha,\Omega_\xi)\subseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\zeta)$となり$\psi_{\Omega_{\xi+1}}(\alpha)$の定義から$\psi_{\Omega_{\xi+1}}(\alpha)\leq\zeta$である．これにより$\mathrm{Cl}(\alpha,\Omega_\xi)\subseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\psi_{\Omega_{\xi+1}}(\alpha))\subseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\zeta)=\mathrm{Cl}(\alpha,\Omega_\xi)$となることが5.から従う． 13.は12.と命題4.2.6.より$\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)\cap\Omega_1=\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},\psi_{\Omega_1}(\Gamma_{\mathbb{I}+1}))\cap\Omega_1=\psi_{\Omega_1}(\Gamma_{\mathbb{I}+1})$である．□

順序数表記[]

$\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)$の定義から，$\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)$に含まれる順序数は$0,\mathbb{I}$から$+,\varphi,\psi,\xi\mapsto\Omega_\xi$の有限回の適用で表せる．命題4.4.13.から$\psi_{\Omega_1}(\Gamma_{\mathbb{I}+1})=\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)\cap\Omega_1$であったから，$\psi_{\Omega_1}(\Gamma_{\mathbb{I}+1})$未満の順序数は$0,\mathbb{I}$から$+,\varphi,\psi,\xi\mapsto\Omega_\xi$の有限回の適用で表せる，すなわち$\psi_{\Omega_1}(\Gamma_{\mathbb{I}+1})$までの順序数表記を作れるだろうと予測することができる．これからの議論は$\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)$の要素に制限して良いため，順序数表記を作る上で一つ，以下のような表記を用いる．

注意5.1
以下$\alpha,\beta,\gamma,\xi,\zeta,\eta$と，その文字に添字を付けたものは全て$\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)$の順序数を表し，$\kappa,\pi$とその文字に添字を付けたものは全て$\omega$より大きい$\mathbb{I}$以下の正則基数を表すものとする．

標準形[]

さて順序数表記を作るために，表記の一意性を担保する必要がある．よって標準形 (normal form) を定める．標準形はしばしば$=_{\mathrm{NF}}$のように等号記号に添え字を付けた記号で表されることの多い（一般に多変数の）関係である。例えばカントール標準形$=_{\mathrm{CNF}}$は変数の分離記号$+$（順序数としての加法$+$そのものではないことに注意）と組み合わせて$\alpha=_{\mathrm{CNF}}\beta+\gamma+\delta$のように書き、これで（$\alpha$と順序数の和$\beta+\gamma+\delta$の2変数関係ではなく）$\alpha$と$\beta$と$\gamma$と$\delta$の4変数の関係を表す。標準形を与える関係式は第1変数$\alpha$の一意的な表示を与えるため、しばしば$\alpha$に注目して$\alpha$の標準形のような表現をする。今$\alpha\notin\mathrm{SC}$に対してはヴェブレン関数に於ける標準形$=_\mathrm{VNF}$が既に定義されている．よってψ関数を用いた表記に適合する標準形を定義するためには$\alpha\in\mathrm{SC}$に対して標準形を定義すれば良い．命題4.3.1.と命題4.3.2.，命題4.5.7.，命題4.3.11.などを踏まえ以下の定義を得る．

定義5.1.1 標準形 (normal form)
$\alpha=_\mathrm{NF}\mathbb{I}:\Leftrightarrow\alpha=\mathbb{I}$とする． $\alpha\in\mathrm{SC}$かつ$\mathrm{Reg}_{\mathbb{I}}\setminus\{\mathbb{I}\}$のとき，$\alpha=_\mathrm{NF}\Omega_\xi:\Leftrightarrow\alpha=\Omega_\xi\land\xi<\Omega_\xi$とする． $\alpha\in\mathrm{SC}$かつ$\alpha\notin\mathrm{Reg}_{\mathbb{I}}$ のとき，$\alpha=_\mathrm{NF}\psi_\kappa(\xi):\Leftrightarrow\alpha=\psi_\kappa(\xi)\land\xi\in\mathrm{Cl}(\xi,\psi_\kappa(\xi))$とする． $\alpha\notin\mathrm{SC}$かつ$\alpha\in\mathrm{AP}$のとき，$\begin{aligned}\alpha=_\mathrm{NF}\varphi_\xi(\zeta)&:\Leftrightarrow\alpha=_\mathrm{VNF}\varphi_\xi(\zeta)\\ &:\Leftrightarrow\alpha=\varphi_\xi(\zeta)\land\xi<\alpha\land\zeta<\alpha\end{aligned}$とする． $\alpha\notin\mathrm{SC}$かつ$\alpha\notin\mathrm{AP}$かつ$\alpha\neq 0$のとき，$\begin{aligned}\alpha=_\mathrm{NF}\alpha_0+\cdots+\alpha_n&:\Leftrightarrow\alpha=_\mathrm{VNF}\alpha_0+\cdots+\alpha_n\\ &:\Leftrightarrow\alpha=\alpha_0+\cdots+\alpha_n\land(\forall i<n+1)[\alpha_i\in\mathrm{AP}]\land\alpha_0\geq\cdots\geq\alpha_n\end{aligned}$とする．ただし$\mathrm{AP}:=\{\omega^\xi\mid\xi\in\mathrm{On}\}=\{\xi\mid\xi\neq 0\land(\forall\zeta<\xi)(\forall\eta<\xi)[\zeta+\eta<\xi]\}$とする． $\alpha=_\mathrm{NF}0:\Leftrightarrow\alpha=0$とする．

これは標準形として良く振る舞う，すなわち一意性と存在性が成り立つことを示そう．場合分けによる標準形の定義から，１つの順序数が$\alpha=_\mathrm{NF}\Omega_\xi$かつ$\alpha=_\mathrm{NF}\varphi_\eta(\zeta)$のように相異なる種類の標準形を持つことはない．従って一意性を示すには同じ種類の標準形にのみ着目すれば良い．

命題5.1.2 標準形の一意性
$\alpha=_\mathrm{NF}\Omega_\xi$かつ$\alpha=_\mathrm{NF}\Omega_\zeta$ならば$\xi=\zeta$である． $\alpha=_\mathrm{NF}\psi_\kappa(\xi)$かつ$\alpha=_\mathrm{NF}\psi_\pi(\zeta)$ならば$\kappa=\pi$かつ$\xi=\zeta$ $\alpha=_\mathrm{NF}\varphi_\xi(\zeta)$かつ$\alpha=_\mathrm{NF}\varphi_\eta(\gamma)$ならば$\xi=\eta$かつ$\zeta=\gamma$ $\alpha=_\mathrm{NF}\xi_1+\cdots+\xi_n$かつ$\alpha=_\mathrm{NF}\zeta_1+\cdots+\zeta_n$ならば$n=m$かつ各$i$に対し$\xi_i=\zeta_i$ 証明． 1.は明らかである． 2.は$\kappa,\pi<\mathbb{I}$のとき，$\kappa\neq\pi$だと命題4.4.5.から$\psi_\kappa(\xi),\psi_\pi(\zeta)$それぞれの濃度は異なり，また$\kappa,\pi$どちらかが$\mathbb{I}$の場合，命題4.4.6.から$\Omega$不動点になるかを確かめれば良い．よって$\kappa=\pi$であり，$\xi<\zeta$とすれば，$\xi\in\mathrm{Cl}(\xi,\psi_\kappa(\xi))$から，命題4.4.7.より$\psi_\kappa(\xi)\leq\psi_\kappa(\zeta)$かつ$\mathrm{Cl}(\xi,\psi_\kappa(\xi))\subseteq\mathrm{Cl}(\zeta,\psi_\kappa(\zeta))$であり，よって$\xi\in\mathrm{Cl}(\zeta,\psi_\kappa(\zeta))$となり命題4.4.8.から$\psi_\kappa(\xi)<\psi_\kappa(\zeta)$となる．よって$\xi=\zeta$である． 3.4.は省略する．□

さて標準形の存在性を示すために$\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)$を標準形によってのみ生成される$\mathscr{C}$を導入し$\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)=\mathscr{C}$を示すことで存在性を担保する．

定義5.1.3
$\mathscr{C}^{n}(n\in\omega),\mathscr{C}$を帰納的に以下のように定める．ただし各順序数は$\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)$の要素であることに注意せよ． $\begin{align} \mathscr{C}^0:=&\{0,\mathbb{I}\}\\ \mathscr{C}^{n+1}:=&\{\xi\|\xi=_\mathrm{NF}\mathbb{I}\}\cup\\ &\{\xi\|(\exists\zeta\in\mathscr{C}^n)[\xi=_\mathrm{NF}\Omega_\zeta]\}\cup\\ &\{\xi\|(\exists\kappa\in\mathscr{C}^n)(\exists\zeta\in\mathscr{C}^n)[\xi=_\mathrm{NF}\psi_\kappa(\zeta)]\}\cup\\ &\{\xi\mid(\exists\zeta\in\mathscr{C}^n)(\exists\eta\in\mathscr{C}^n)[\xi=_\mathrm{NF}\varphi_\zeta(\eta)]\}\cup\\ &\{\xi\mid(\exists\zeta\in\mathscr{C}^n)(\exists\eta\in\mathscr{C}^n)[\xi=_\mathrm{NF}\zeta+\eta]\}\cup\\ &\{\xi\mid \xi=_\mathrm{NF} 0\}\\ \mathscr{C}:=&\bigcup_{n\in\omega}\mathscr{C}^n \end{align}$

補題5.1.4
$\mathscr{C}=\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)$である．証明．省略．証明の方針はPohlers^[3]の9.6.1.節の通りであり，またfactとしてのみFujimoto^[4]に記されている． □

標準形と基数[]

さて，再帰的な順序数表記を作るためには，再帰的な順序数項 (ordinal term) とその上の再帰的な順序が必要になる．再帰的な順序数項を定義するため先程，標準形を定義した．しかし標準形であるか否かを再帰的に判定する必要があるだろう．順序数項とその上の順序は相互再帰で定義されるため，以下の場合はとりあえず後回しにして良い．

$\alpha=_\mathrm{NF}\Omega_\xi:\Leftrightarrow\alpha=\Omega_\xi\land\xi<\Omega_\xi$
$\alpha=_\mathrm{NF}\varphi_\xi(\zeta):\Leftrightarrow\alpha=\varphi_\xi(\zeta)\land\xi<\alpha\land\zeta<\alpha$
$\alpha=_\mathrm{NF}:\Leftrightarrow\alpha=\alpha_0+\cdots+\alpha_n\land(\forall i<n+1)[\alpha_i\in\mathrm{AP}]\land\alpha_0\geq\cdots\geq\alpha_n$

また以下の場合は自明である．

$\alpha=_\mathrm{NF}\mathbb{I}:\Leftrightarrow\alpha=\mathbb{I}$
$\alpha=_\mathrm{NF}0:\Leftrightarrow\alpha=0$

よって問題となるのは

$\alpha=_\mathrm{NF}\psi_\kappa(\xi):\Leftrightarrow\alpha=\psi_\kappa(\xi)\land\xi\in\mathrm{Cl}(\xi,\psi_\kappa(\xi))$

の場合である．なぜなら，今はまだ$\xi\in\mathrm{Cl}(\xi,\psi_\kappa(\xi))$であるか否かを判定する手段を持たないからである．ところで$\kappa<\mathbb{I}$である場合，ある$\zeta$に対して$\kappa=\Omega_{\zeta+1}$と表わせて，命題4.4.5.から$\psi_\kappa(\xi)$の濃度は$\Omega_\zeta$であり，命題4.4.12.から$\mathrm{Cl}(\xi,\psi_\kappa(\xi))=\mathrm{Cl}(\xi,\Omega_\zeta)$である．すなわち$\mathrm{Cl}(\xi,\psi_\kappa(\xi))=\mathrm{Cl}(\xi,\mathrm{card}(\psi_\kappa(\xi)))$であることが分かる．$\kappa=\mathbb{I}$の場合は$\psi_\mathbb{I}(\xi)$は必ず基数になる．よって基数$\mu\in[\omega_1,\mathbb{I}]$に対して$\beta\in\mathrm{Cl}(\alpha,\mu)$であるか判定すれば良いことが分かる．

命題5.2.1
基数$\mu\in[\Omega_1,\mathbb{I}]$，順序数$\alpha,\beta$に対して以下の条件どれか一つが満たされることは$\beta\in\mathrm{Cl}(\alpha,\mu)$が成り立つことの必要十分条件になる． $\beta\in \mu\cup\{0,\mathbb{I}\}$である． $\beta\notin\mathrm{SC}$かつ$\mathrm{SC}(\beta)\subseteq\mathrm{Cl}(\alpha,\mu)$である． $\mu\leq \beta$であり，ある$\eta\in\alpha\cap\mathrm{Cl}(\alpha,\mu)$，$\pi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\mu)$に対し$\beta=\psi_\pi(\eta)$である． $\mu\leq \beta$であり，ある$\xi\in\mathrm{Cl}(\alpha,\mu)$に対して$\beta=\Omega_\xi$である．証明．$\mathrm{Cl}(\alpha,\mu)$の定義，及び命題4.4.3.，命題4.4.4.から明らか．□

この命題から以下のような集合$\mathrm{K}_\mu(\alpha)$を定義する．

定義5.2.2
基数$\mu$，順序数$\alpha$に対して集合$\mathrm{K}_\mu(\alpha)$を超限再帰で以下のように定める． $\mathrm{K}_\mu(\alpha):=\begin{cases}\bigcup_{\xi\in\mathrm{SC}(\alpha)}\mathrm{K}_\mu(\xi) & \text{if $\alpha\notin\mathrm{SC}$}\\ \emptyset & \text{if $\alpha\in\mu\cup\{0,\mathbb{I}\}$}\\ \{\xi\}\cup\mathrm{K}_\mu(\xi)\cup\mathrm{K}_\mu(\pi) & \text{if $\mu\leq \alpha$ and $\alpha=\psi_\pi(\xi)$}\\ \mathrm{K}_\mu(\xi) & \text{if $\mu\leq\alpha$ and $\alpha=\Omega_\xi$}\end{cases}$ $\mathrm{K}_\mu(\alpha)$は有限集合であることに注意せよ

命題5.2.3
任意の順序数$\alpha,\beta$，基数$\mu$に対し$\beta\in\mathrm{Cl}(\alpha,\mu)\Longleftrightarrow (\forall \xi\in\mathrm{K}_\mu(\beta))[\xi<\alpha]$である，従って$\alpha=_\mathrm{NF}\psi_\kappa(\alpha)\Longleftrightarrow \alpha=\psi_\kappa(\alpha)\land(\forall \xi\in\mathrm{K}_{\mathrm{card}(\psi_\kappa(\alpha))}(\alpha))[\xi<\beta]$である．証明．命題5.2.1.と定義5.2.2.から明らかである．□

また順序数$\alpha$の基数は以下のように決定できる．

命題5.2.4
任意の無限順序数$\alpha$に対して $\mathrm{card}(\alpha)=\begin{cases}\alpha & \text{if $\alpha=_\mathrm{NF}\Omega_\xi$ or $\alpha=_\mathrm{NF}\psi_\mathbb{I}(\xi)$}\\ \max\{\mathrm{card}(\alpha_i)\mid i<n+1\} & \text{if $\alpha=_\mathrm{NF}\alpha_0+\cdots+\alpha_n$}\\ \mathrm{card}(\eta) & \text{if $\alpha=_\mathrm{NF}\varphi_\xi(\eta)$}\\ \Omega_\xi & \text{if $\alpha=_\mathrm{NF}\psi_{\Omega_{\xi+1}}(\eta)$}\end{cases}$ が成り立つ．証明．$\alpha\in\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)$の要素であることに注意せよ．$\alpha=_\mathrm{NF}\Omega_\xi$のときは明らかであり，$\alpha=_\mathrm{NF}\psi_\mathbb{I}(\xi)$の場合は命題4.4.6.から明らかである．$\alpha=_\mathrm{NF}\alpha_0+\cdots+\alpha_n$の場合は，任意の$i<n+1$に対して$\mathrm{card}(\alpha_i)<\mathrm{card}(\alpha)$とすると基数は加法的分解不能順序数であることに矛盾する．よって，ある$i$に対し$\mathrm{card}(\alpha_i)=\mathrm{card}(\alpha)$なるからである．$\alpha=_\mathrm{NF}\varphi_\xi(\eta)$の場合，基数は強臨界順序数であるためである．$\alpha=\psi_{\Omega_{\xi+1}}(\eta)の場合は命題4.4.5.から従う．□$

以上の議論を用いることで$\alpha=_\mathrm{NF}\psi_\kappa(\xi)$であるか判定することができる．また順序数$\alpha$の基数は以下のように決定できる．

命題5.2.3
任意の順序数$\alpha,\beta$，基数$\mu$に対し$\beta\in\mathrm{Cl}(\alpha,\mu)\Longleftrightarrow (\forall \xi\in\mathrm{K}_\mu(\beta))[\xi<\alpha]$である，従って$\alpha=_\mathrm{NF}\psi_\kappa(\beta)\Longleftrightarrow \alpha=\psi_\kappa(\beta)\land(\forall \xi\in\mathrm{K}_{\mathrm{card}(\psi_\kappa(\beta))}(\beta))[\xi<\beta]$である．証明．命題5.2.1.と定義5.2.2.から明らかである．□

順序数表記の構築[]

さて以上を以て順序数表記を構築するための準備は整った．今までAP,$\mathrm{SC}$などの集合に関する条件や順序$<$を用いてきたためそれらを含め相互再帰で定義しなければならない．よって以下のように定義する．

定義5.3.1
順序数項全体の集合$\mathsf{OT}$とその部分集合$\mathsf{Fin},\mathsf{AP},\mathsf{SC},\mathsf{K},\mathsf{Fix},\mathsf{Reg}$，$\mathsf{OT}$上の二項関係$\prec$，$p\in\mathsf{K},t\in\mathsf{OT}$に対し集合$\mathsf{K}_p(t)$，関数$\|\cdot\|\colon\mathsf{OT}\to\mathsf{K}$，解釈$\|\cdot\|_\mathcal{O}\colon\mathsf{OT}\to\mathrm{Cl}(\Gamma_{\mathbb{I}+1},0)$を相互再帰で定義する．まず以下の省略を用いる． $\underline{1}:=\overline{\varphi}_{\underline{0}}(\underline{0})$とする． $\underline{n}:=\underbrace{\underline{1}+\cdots+\underline{1}}_{n\text{個}}$とする．集合$\mathsf{Fin},\mathsf{AP},\mathsf{SC},\mathsf{K},\mathsf{Fix},\mathsf{Reg}$，$\mathsf{OT}$と解釈$\|\cdot\|_\mathcal{O}$を以下のように定義する． $\mathsf{Reg}\subseteq\mathsf{K}\subseteq\mathsf{SC}\subseteq\mathsf{AP}\subseteq\mathsf{OT}$である． $\mathsf{Fix}\subseteq\mathsf{K}$である． $\underline{0}\in\mathsf{OT}\cap\mathsf{Fin}$かつ$\|\underline{0}\|_\mathcal{O}:=0$である． $\underline{\mathsf{I}}\in\mathsf{Reg}\cap\mathsf{Fix}$かつ$\|\underline{\mathsf{I}}\|_\mathcal{O}:=\mathbb{I}$である． $t_1,\ldots t_n\in\mathsf{AP}$かつ$t_1\succeq\cdots\succeq t_n$であるとき，$t_1+\cdots+t_n\in\mathsf{OT}$であり，$\|t_1+\cdots+t_n\|_\mathcal{O}:=\|t_1\|_\mathcal{O}+\cdots+\|t_n\|_\mathcal{O}$とする．また任意の$0<i<n+1$に対し$t_i=\underline{1}$であるとき，$t_1+\cdots+t_n\in\mathsf{Fin}$とする． $t_1,t_2\in\mathsf{OT}$であるとき$\overline{\varphi}_{t_1}(t_2)\in\mathsf{AP}$であり，$\|\overline{\varphi}_{t_1}(t_2)\|_\mathcal{O}=\overline{\varphi}_{\|t_1\|_\mathcal{O}}(\|t_2\|_\mathcal{O})$である． $p\in\mathsf{Reg}$かつ$t\in\mathsf{OT}$かつ$p\neq\underline{\mathsf{I}}$かつ$(\forall s\in\mathsf{K}_{\|\psi_p(t)\|}(t))[s\prec t]$であるとき，$\psi_p(t)\in\mathsf{SC}$であり，$\|\psi_p(t)\|_\mathcal{O}:=\psi_{\|p\|_\mathcal{O}}(\|t\|_\mathcal{O})$である． $t\in\mathsf{OT}$かつ$(\forall s\in\mathsf{K}_{\|\psi_\underline{\mathsf{I}}(t)\|}(t))[s\prec t]$であるとき$\psi_\underline{\mathsf{I}}(t)\in\mathsf{Fix}$であり，$\\|\psi_\underline{\mathsf{I}}(t)\\|:=\psi_\mathbb{I}(\|t\|_\mathcal{O})$である． $t\in\mathsf{OT}\setminus\mathsf{Fix}$に対して$\Omega_t\in\mathsf{K}$であり，$\Omega_{t+\underline{1}}\in\mathsf{Reg}$であり，$\|\Omega_t\|_\mathcal{O}:=\Omega_{\|t\|_\mathcal{O}}$である．集合$\mathsf{K}_p(t)$は以下のように定義される． $t\prec p,$に対して$\mathsf{K}_p(t)=\emptyset$である． $\mathsf{K}_p(\underline{0}):=\emptyset$である． $\mathsf{K}_p(\underline{\mathsf{I}}):=\emptyset$である． $\mathsf{K}_p(t_0+\cdots+t_n):=\bigcup_{i<n+1}\mathsf{K}_p(t_i)$である． $\mathsf{K}_p(\overline{\varphi}_{t_1}(t_2)):=\mathsf{K}_p(t_1)\cup\mathsf{K}_p(t_2)$である． $p\preceq\psi_q(t)$であるとき$\mathsf{K}_p(\psi_q(t)):=\{t\}\cup\mathsf{K}_p(q)\cup\mathsf{K}_p(t)$である． $\mathsf{K}_p(\Omega_t):=\mathsf{K}_p(t)$である．関数$\|\cdot \|$は以下のように定義される． $\|\Omega_p\|:=\Omega_p$である． $\|\psi_\underline{\mathsf{I}}(t)\|:=\psi_\underline{\mathsf{I}}(t)$ $\|t_0+\cdots+t_n\|:=\max_\prec\{t_i\mid i<n+1\}$である． $\|\varphi_{t_0}(t_1)\|:=\|t_1\|$である． $\|\psi_{\Omega_{p+1}}(q)\|:=\Omega_p$である．

再帰的標準解釈[]

ポーラーズ^[5]によれば，順序数表記の整列性の証明において$\mathbb{I}$を再帰的到達不能順序数，$\Omega_\alpha(\alpha>0)$を許容順序数の位相閉包の数え上げ$\omega_\alpha^{\mathrm{CK}}$と解釈することでも証明できることを主張している．すなわち$\psi$も弱到達不能基数を用いずに定義される別の関数で解釈し直すことで，弱到達不能基数の存在を仮定せず$\mathsf{ZFC}$にて証明可能であるということを主張していることになる．一方でそのような関数の具体的な定義は明記されていないため不明である．

参考文献[]

↑ W. Buchholz, A simplified version of local predicativity, Proof Theory : A Selection of Papers from the Leeds Proof Theory Programme 1990 (1992), pp. 115--147.
↑ G. Jäger. ρ-inaccessible ordinals, collapsing functions and a recursive notation system. Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung 24.1 (1984): 49-62.
↑ W. Pohlers. Proof Theory: the first step into impredicativity, Springer, 2009.
↑ K. Fujimoto. Notes on some second-order systems of iterated inductive definitions and $\Pi^1_1$-comprehensions and relevant subsystems of set theory. Ann. Pure Appl. Log. 166(4): 409-463 (2015)
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[4] K. Fujimoto. Notes on some second-order systems of iterated inductive definitions and \(\Pi^1_1\)-comprehensions and relevant subsystems of set theory. Ann. Pure Appl. Log. 166(4): 409-463 (2015)

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