ウルトラ階乗 (Ultrafactorial) とは、階乗を基に、以下のように定義された関数である[1][2]。
\[U(n)=(n!)^{(n!)}\]
名称[]
ウルトラ階乗 (Ultrafactorial) は、名前だけを見れば超階乗 (Superfactorial) よりも速く成長する関数のように思える。しかしながら、超階乗の2つの定義のうち、Pickoverの定義による超階乗は、ウルトラ階乗よりも速く成長する[3]。一方でSimon PlouffeとNeil Sloaneの定義による超階乗は、ウルトラ階乗だけでなく、ハイパー階乗 (Hyperfactorial) よりも遅い[4]。
SpongeTechXは、ウルトラ階乗と同じ性質を持つ関数として "Factorexation" を定義している。違いとして、Factorexationでは記号を重ねたものが定義されている。ウルトラ階乗がすでに存在していることには気づかず定義されたようである[5]。
\[\begin{eqnarray*} n\backslash&=&(n!)^{(n!)}=U(n)\\ n\backslash^{k}&=&n\underbrace{\backslash\backslash\backslash\cdots\backslash\backslash\backslash}_{k}=(n\backslash^{k-1})^{(n\backslash^{k-1})}\\ n\backslash^{0}&=&n \end{eqnarray*}\]
値[]
| \(n\) | \(U(n)=n\backslash=(n!)^{(n!)}\) | \(n\backslash\backslash=n\backslash^{2}\) | \(n\backslash\backslash\backslash=n\backslash^{3}\) |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(4\) | \(256\) | \(\sim3.23170\times10^{616}\) |
| \(3\) | \(46656\) | \(\sim3.53531\times10^{217832}\) | \(\sim10^{3.53531\times10^{217832}}\) |
| \(4\) | \(\sim1.3337\times10^{33}\) | \(\sim10^{4.41801\times10^{34}}\) | \(\sim10^{10^{4.41801\times10^{34}}}\) |
| \(5\) | \(\sim3.1750\times10^{249}\) | \(\sim10^{7.92179\times10^{251}}\) | \(\sim10^{10^{7.92179\times10^{251}}}\) |
| \(6\) | \(\sim1.9028\times10^{2057}\) | \(\sim10^{3.91463\times10^{2060}}\) | \(\sim10^{10^{3.91463\times10^{2060}}}\) |
| \(7\) | \(\sim1.7779\times10^{18660}\) | \(\sim10^{3.31758\times10^{18664}}\) | \(\sim10^{10^{3.31758\times10^{18664}}}\) |
| \(8\) | \(\sim3.6862\times10^{185694}\) | \(\sim10^{7.18290\times10^{185699}}\) | \(\sim10^{10^{7.18290\times10^{185699}}}\) |
| \(9\) | \(\sim6.4472\times10^{2017526}\) | \(\sim10^{1.30074\times10^{2017533}}\) | \(\sim10^{10^{1.30074\times10^{2017533}}}\) |
| \(10\) | \(\sim1.2408\times10^{23804068}\) | \(\sim10^{2.95362\times10^{23804075}}\) | \(\sim10^{10^{2.95362\times10^{23804075}}}\) |
出典[]
- ↑ "Ultrafactorial" Wolfram MathWorld
- ↑ "A046882: Ultrafactorials: a(n) = n!^n!". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "Superfactorial". Wolfram MathWorld.
- ↑ "Hyperfactorial". Wolfram MathWorld.
- ↑ "Factorexation". Tech's Large Numbers.