エルデシュ・モーザー方程式

エルデシュ・モーザー方程式 (Erdős–Moser equation) とは、以下の方程式である。

\[1^{k}+2^{k}+\cdots+(m-2)^{k}+(m-1)^{k}=m^{k}\]

ここで\(k,\ m\)は任意の正の整数である。

知られている唯一の解は\(k=1,\ m=3;\ 1^{1}+2^{1}=3^{1}\)のみであり、1949年にPaul Erdősはこの方程式の唯一の解と予想した。現在でもこの予想は未解決問題である。

研究史

上記の通り\(k=1\)の解は知られているため、以下の記述は\(k\geqq2\)を前提としている。

1953年、Leo Moserは\(k\)が\(2\)で割り切れること、\(m>10^{1000000}\)であることを証明した。

1994年には、\(k\)が\(\text{lcm}(1,\ 2,\cdots,\ 199,\ 200)\approx3.37294\times10^{89}\)で割り切れること (lcmはかっこ内の自然数の最小公倍数) 、\(m+1>10000\)は非正則素数であることが示された。

2000年には、\(\cfrac{m^{4}}{3}>e^{8.5851010694053365252\times10^{7}}\)であることが示された。これは\(m>1.48539\times10^{9321155}\)である。

2010年には、\(\cfrac{2k}{2m-3}\)の無限連分数が\(\ln(2)\)に収束すること、\(m>2.7139\times10^{1667658416}\)であることが示された。