巨大数研究 Wiki
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\(\newcommand\p{&\approx &}\)コピー表記とはSpongeTechXによって作られた数字もしくは二桁以上の数を繰り返す表記である。ちなみにスタインハウス・モーザー表記の簡易版と表記がかぶる。

コピー表記を用いた巨大数にオクティマティクインマティクオマティがある。

定義

コピー表記の根本はハイパー数学の乗算と同じものである。すなわち、

\(n[m]=m・n\)(ハイパー数学)

である。さらに、

\(a[b[c[d[e[f[…[x[y[z]]]]]…]]]]]=z・y・x…f・e・d・c・b・a\) となる。

\(5[5[5[5[5[.....5[5]]]...]]]]\)(\(m\)個の\(5\))\( = 5m\)

といったように、変数の入れ子の回数を数え上げることができる。

\(2[2[2]] = 2[ [3]], 3[3[3[3[3[3]]]]] = 3[ [6]]\)

,となる。

\(5[[[m]]]=5[[5[[5[[5[[....5[ [5]]]]]....]]]\) (\(m\)個の\(5\)), \(5[[[ [m]]]]=5[[[5[[[5[[[5...5[ [ [5]]]]]...]]]]\)

といったように、入れ子は際限なく続けられる。

\(5[n,m] = 5[[..[ [m]]..]]\)は括弧が\(n\)回入れ子になっていることを表す。

\begin{eqnarray} 5[n,m,2] &=& 5[(5[n,m]),(5[n,m])]\\[3pt] 5[n,m,3] &=& 5[5[(5[n,m]),(5[n,m])],5[(5[n,m]),(5[n,m])]] = 5[(5[n,m,2]),(5[n,m,2])]\\[3pt] 5[n,m,4] &=& 5[5[5[(5[n,m]),(5[n,m])],5[(5[n,m]),(5[n,m])]],5[5[(5[n,m]),(5[n,m])],5[(5[n,m]),(5[n,m])]]]\\ &=& 5[(5[(5[n,m,2]),(5[n,m,2])]),(5[(5[n,m,2]),(5[n,m,2])])]\\ &=& 5[(5[n,m,3]),(5[n,m,3])]\\[3pt] 5[n,m,5] &=& 5[(5[n,m,4]),(5[n,m,4])]\\[3pt] 5[n,m,k] &=& 5[(5[n,m,k-1]),(5[n,m,k-1])]\\[3pt] 5[n,m,k,2] &=& 5[(5[n,m,k]),(5[n,m,k]),(5[n,m,k])]\\[3pt] 5[n,m,k,3] &=& 5[(5[n,m,k,2]),(5[n,m,k,2]),(5[n,m,k,2])]\\[3pt] 5[n,m,k,4] &=& 5[(5[n,m,k,3]),(5[n,m,k,3]),(5[n,m,k,3])]\\[3pt] 5[n,m,k,o] &=& 5[(5[n,m,k,o-1]),(5[n,m,k,o-1]),(5[n,m,k,o-1])] \end{eqnarray}

\(5[n\#m]\)は\(5[]\)の\([]\)の中に\(n\)が\(m\)個入っていることを表す。

\(a[b\#\#1] = a[a[b\#b]\#a[b\#b]]\)

\(a[b\#\#m] = a[a[b\#\#(m-1)]\#a[b\#\#(m-1)]]~(m\gt 1)\)

\(a[b\#\#\#1] = a[a[b\#\#b]\#\#a[b\#\#b]]\)

\(a[b\#\#\#m] = a[a[b\#\#\#(m-1)]\#\#a[b\#\#\#(m-1)]]~(m\gt 1)\)

  • 2[4] = 2,222
  • 4[8] = 44,444,444
  • 9[2] = 99
  • 15[12] = 151,515,151,515,151,515,151,515

近似

\(\text{E}\)はハイパーE表記、\(f_\alpha(n)\)はワイナー階層における急増加関数である。\begin{eqnarray} n[m]\p \text{E} (m(\log(n)+1))\\ n[n]\p \text{E} (n(\log(n)+1))\\ n[[3]] = n[n[n]]\p \text{EE} (n) = \text{E} n\# 2\\ n[[4]]\p \text{E} n\# 3\\ n[[m]]\p \text{E} n\# m\approx f_3(n)\\ n[3,m]\p \text{E} n\# n\# m\approx f_4(n)\\ n[4,m]\p \text{E} n\# n\# n\# m\approx f_5(n)\\ n[l,m]\p \text{E} \underbrace{n\# n\# \dots \# n\# n}_{n\text{が}l-1\text{個}} \# m\approx f_{n+1}(n)\\ n[n,n]\p \text{E} n\#\# n\approx f_\omega(n+1)\\ n[n,n,2]\p f_\omega^2(n+1)\\ n[n,n,3]\p f_\omega^3(n+1)\\ n[n,n,m]\p f_\omega^m(n+1)\\ n[n\#3] = n[n,n,n]\p f_{\omega+1}(n)\\ n[n,n,n,m]\p {f_{\omega+1} }^m(n)\\ n[n\# 4]\p f_{\omega+2}(n)\\ n[n\# m]\p f_{\omega+m-2}(n)\\ n[n\# n]\p f_{\omega+n-2}(n)\\ n[n\#n+2]\p f_{\omega\times 2}(n)\\ n[n\#\#1] = n[n[n\# n]\# n[n\# n]]\p {f_{\omega\times 2}}^2(n)\\ n[n\#\#2] = n[n[n\#\#1]\# n[n\#\#1]]\p {f_{\omega\times 2}}^3(n)\\ n[n\#\#m]\p {f_{\omega\times 2}}^{m+1}(n)\\ n[n\#\#n]\p f_{\omega\times 2 +1}(n)\\ n[n\#\#\#1] = n[n[n\#\#n]\#\#n[n\#\#n]]\p {f_{\omega\times 2+1}}^2(n)\\ n[n\#\#\#2] = n[n[n\#\#\#1]\#\#n[n\#\#\#1]]\p {f_{\omega\times 2+1}}^3(n)\\ n[n\#\#\#m]\p {f_{\omega\times 2+1}}^{m+1}(n)\\ n[n\#\#\#n]\p f_{\omega\times 2 +2}(n)\\ \end{eqnarray}

出典

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