コピー表記 (Copy notation) とは、SpongeTechXによって作られた、数を繰り返す表記である。表記には鍵括弧を使用するため、スタインハウス・モーザー表記の簡易版と表記が被り、明示のない記述には注意が必要である。
定義[]
基本的な定義[]
コピー表記は\(a[b]\)と表記され、その概念はハイパー数学の乗算と同じものである。
\begin{eqnarray} a[b]&=&a \times b=\underbrace{aaa \cdots aaa}_{b\text{ copies of }a}\\ 2[2]&=&22\\ 3[5]&=&33333\\ 15[4]&=&15151515\\ 314[5]&=&314314314314314 \end{eqnarray}
鍵括弧の入れ子と重なりの処理[]
鍵括弧は\(2[2[2]]\)のように入れ子にでき、計算は括弧の中から処理される。
\begin{eqnarray} 2[2[2]]&=&2[(2[2])]=2[22]=\underbrace{2222222222222222222222}_{22}\\ 1[2[3]]&=&1[(2[3])]=1[333]=\underbrace{111\cdots111}_{333} \end{eqnarray}
また、\(2[[2]]\)のように鍵括弧を2個以上重ねた場合は以下のように処理される。
\begin{eqnarray} a[[b]]&=&\underbrace{a[a[\cdots a[a[a}_{b}]]\cdots]]\\ a[[[b]]]&=&\underbrace{a[[a[[\cdots a[[a[[a}_{b}]]]]\cdots]]]]\\ a\underbrace{[[\cdots[[}_{c}b]]\cdots]]&=&\underbrace{a\underbrace{[[\cdots[[}_{c-1}a\underbrace{[[\cdots[[}_{c-1}a \cdots a\underbrace{[[\cdots[[}_{c-1}a}_{b}]]]\cdots]]] \end{eqnarray}
よって具体的には以下のようになる。
\begin{eqnarray} 2[[2]]&=&2[2]=22\\ 2[[3]]&=&2[2[2]]=2[22]=\underbrace{2222222222222222222222}_{22}\\ 3[[4]]&=&3[3[3[3]]]=3[3[333]]=3[\underbrace{333\cdots333}_{333}]=\underbrace{333\cdots333}_{\underbrace{333\cdots333}_{333}}\\ 2[[[3]]]&=&2[[2[[2]]]]=2[[2[2]]]=2[[22]]=\underbrace{2[2[\cdots2[2}_{22}]\cdots]] \end{eqnarray}
拡張表記[]
上記のような鍵括弧の重なりを示すのに、以下の表記が使用される。
\begin{eqnarray} a[b,c]&=&a\underbrace{[[[\cdots[[[}_{b}c]]]\cdots]]]\\ 2[2,2]&=&2[[2]]=2[2]=22\\ 2[3,4]&=&2[[[4]]]=2[[2[[2[[2]]]]]]=2[[2[[2[2]]]]]=2[[2[[22]]]]=2[[\underbrace{2[2[\cdots2[2}_{22}]\cdots]]]] \end{eqnarray}
この表記は更に以下のように拡張される。
\begin{eqnarray} a[b,c,2]&=&a[a[b,c],a[b,c]]\\ a[b,c,d]&=&a[a[b,c,d-1],a[b,c,d-1]]\\ a[b,c,d,2]&=&a[a[b,c,d],a[b,c,d],a[b,c,d]]\\ a[b,c,d,e]&=&a[a[b,c,d,e-1],a[b,c,d,e-1],a[b,c,d,e-1]]\\ a[\underbrace{b,c,\cdots x,y}_{z}]&=&a[\underbrace{a[b,c\cdots x,y-1], \cdots a[b,c\cdots x,y-1]}_{z-1}] \end{eqnarray}
実際の展開は入れ子が重なり、かなり分かりにくくなるため、適宜色文字とする。
\begin{eqnarray} 2[2,2,2]&=&2[\textcolor{red}{2[2,2]},\textcolor{blue}{2[2,2]}]=2[\textcolor{red}{22},\textcolor{blue}{22}]\\ 5[4,3,2]&=&5[5[4,3],5[4,3]]=5[5[[[[3]]]],5[[[[3]]]]]\\ 6[5,4,3]&=&6[\textcolor{red}{6[5,4,2]},\textcolor{blue}{6[5,4,2]}]=6[\textcolor{red}{6[6[5,4],6[5,4]]},\textcolor{blue}{6[6[5,4],6[5,4]]}]\\ 6[5,4,3,2]&=&6[6[5,4,3],6[5,4,3],6[5,4,3]]\\ 7[6,5,4,3]&=&7[\textcolor{red}{7[6,5,4,2]},\textcolor{blue}{7[6,5,4,2]},\textcolor{green}{7[6,5,4,2]}]\\ &=&7[\textcolor{red}{7[7[6,5,4],7[6,5,4],7[6,5,4]]},\textcolor{blue}{7[7[6,5,4],7[6,5,4],7[6,5,4]]},\textcolor{green}{7[7[6,5,4],7[6,5,4],7[6,5,4]]}] \end{eqnarray}
上記の更なる繰り返しは以下のように表される。
\begin{eqnarray} a[b\#c]&=&a[\underbrace{b,b,b, \cdots b,b,b}_{c}]\\ a[b\#\#1]&=&a[a[b\#b]\#a[b\#b]]\\ a[b\#\#2]&=&a[a[b\#\#1]\#a[b\#\#1]]\\ a[b\#\#c]&=&a[a[b\#\#(c-1)]\#a[b\#\#(c-1)]]\\ a[b\#\#\#1]&=&a[a[b\#\#b]\#\#a[b\#\#b]]\\ a[b\#\#\#2]&=&a[a[b\#\#\#1]\#\#a[b\#\#\#1]]\\ a[b\#\#\#c]&=&a[a[b\#\#\#(c-1)]\#\#a[b\#\#\#(c-1)]]\\ a[b\underbrace{\#\#\cdots\#\#}_{d}c]&=&a[a[b\underbrace{\#\#\cdots\#\#}_{d}(c-1)]\underbrace{\#\#\cdots\#\#}_{d-1}a[b\underbrace{\#\#\cdots\#\#}_{d}(c-1)]]\\ \end{eqnarray}
具体的な展開は以下のようになる。
\begin{eqnarray} 2[2\#1]&=&2[2]=22\\ 2[2\#2]&=&2[2,2]=22\\ 4[3\#2]&=&4[3,3]=4[[[3]]]=4[[4[[4]]]]\\ 3[2\#3]&=&3[2,2,2]=3[3[2,2],3[2,2]]=3[3[[2]],3[[2]]]=3[3[3],3[3]]=3[333,333]\\ 2[2\#\#1]&=&2[2[2\#2]\#2[2\#2]]=2[22\#22]=2[\underbrace{22,22,\cdots22,22}_{22}]\\ 2[2\#\#2]&=&2[2[2\#\#1]\#2[2\#\#1]]=2[2[2\#2]\#2[2\#2]]=2[22\#22]\\ 4[3\#\#2]&=&4[4[3\#\#1]\#4[3\#\#1]]=4[4[3\#3]\#4[3\#3]]=4[4[3,3,3]\#4[3,3,3]]\\ 2[2\#\#\#2]&=&2[2[2\#\#\#1]\#\#2[2\#\#\#1]]=2[2[2\#\#2]\#\#2[2\#\#2]]=2[2[22\#22]\#\#2[22\#22]] \end{eqnarray}
近似[]
以下、\(\uparrow\)は矢印表記、\(E\)はハイパーE表記、\(f_{\alpha}(x)\)はワイナー階層における急増加関数である。
\begin{eqnarray} a[b] &\approx& E(b\log(a)+b)=10^{b\log(a)+b}\\ a[[3]]=a[a[a]] &\approx& EEa=Ea\#2=10^{10^{a}}=(10\uparrow)^{2}a\\ a[2,b]=a[[b]] &\approx& Ea\#b=(10\uparrow)^{b}a \approx f_{3}(a)\\ a[3,b]=a[[[b]]] &\approx& Ea\#a\#b \approx f_{4}(a)\\ a[c,b]=a\underbrace{[[[\cdots[[[}_{c}b]]]\cdots]]] &\approx& E\underbrace{a\#a\#\cdots\#a\#a}_{c-1}\#b \approx f_{c+1}(a)\\ a[a,a]=a\underbrace{[[[\cdots[[[}_{a}a]]]\cdots]]] &\approx& Ea\#\#a \approx f_{\omega}(a+1)\\ a[a,a,2] &\approx& f^{2}_{\omega}(a+1)\\ a[a,a,3] &\approx& f^{3}_{\omega}(a+1)\\ a[a,a,b] &\approx& f^{b}_{\omega}(a+1)\\ a[a\#3]=a[a,a,a] &\approx& f_{\omega+1}(a)\\ a[a,a,a,b] &\approx& f_{(\omega+1)^{b}}(a)\\ a[a\#4] &\approx& f_{\omega+2}(a)\\ a[a\#b] &\approx& f_{\omega+b-2}(a)\\ a[a\#a+2] &\approx& f_{\omega\times2}(a)\\ a[a\#\#1]=a[a[a\#a]\#a[a\#a]] &\approx& f_{(\omega\times2)^{2}}(a)\\ a[a\#\#2]=a[a[a\#\#1]\#a[a\#\#1]] &\approx& f_{(\omega\times2)^{3}}(a)\\ a[a\#\#b] &\approx& f_{(\omega\times2)^{b+1}}(a)\\ a[a\#\#a] &\approx& f_{\omega\times2+1}(a)\\ a[a\#\#\#1]=a[a[a\#\#a]\#\#a[a\#\#a]] &\approx& f_{(\omega\times2+1)^{2}}(a)\\ a[a\#\#\#2]=a[a[a\#\#\#1]\#\#a[a\#\#\#1]] &\approx& f_{(\omega\times2+1)^{3}}(a)\\ a[a\#\#\#b] &\approx& f_{(\omega\times2+1)^{b+1}}(a)\\ a[a\#\#\#a] &\approx& f_{\omega\times2+2}(a)\\ a[a\underbrace{\#\#\cdots\#\#}_{c}b] &\approx& f_{(\omega\times2+c-2)^{b+1}}(a)\\ a[a\underbrace{\#\#\cdots\#\#}_{c}a] &\approx& f_{\omega\times2+c-1}(a) \end{eqnarray}
その他[]
\(n\)が1桁の自然数である時、\(n[m]\)は以下で正確に表せる。
\[n[m]=n\times\left\lfloor\cfrac{10^{m}}{9}\right\rfloor\]
出典[]
- TechKon. "Copy notation". Tech's Large Numbers.