ジャグラー数列 (Juggler sequence) とは、任意の自然数\(a_{0}=n\)に対して、下記ジャグラー写像 (Juggler map) で与えられる自然数の数列である[1]。
\begin{eqnarray*}a_{k+1}\left\{\begin{array}{l}\left\lfloor a_{k}^{\frac{1}{2}} \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{a_{k}} \right\rfloor \text{, if }a_{k}\text{ is even} \\ \left\lfloor a_{k}^{\frac{3}{2}}\right\rfloor = \left\lfloor a_{k}\sqrt{a_{k}} \right\rfloor \text{, if }a_{k}\text{ is odd}\end{array}\right.\end{eqnarray*}
概要
ジャグラー数列はクリフォード・A・ピックオーバーによって初めて定義され、しばしば値が激しく上下する性質から、ジャグリングになぞらえて命名された。どの自然数\(a_{0}\)から始めても、最終的に任意のステップ数\(a_{x}\)で1に収束することが予想されているものの、現時点では未証明である[1]。2022年時点で、少なくとも\(a_{0} \leqq 172376626\)の全ての自然数では成立していることが確認されている[2]。またオンライン整数列大辞典では、1に収束するまでのステップ数が最も大きいものとして\(a_{0}=198424189\) (ステップ数484回) が掲載されている[3][4]。
ジャグラー数列は小さな\(a_{0}=n\)から巨大数を生み出すことがある。よく知られている例は\(a_{0}=37\)で、全17回のステップ中の最大値は\(a_{8}=24906114455136\)である[5]。\(a_{0}=48443\)を与えると、全157回のステップ中に\(a_{60}\approx1.7835\times10^{972462}\)が出現する[6]。
Harry J. Smithは\(a_{0}=5812827\)を与えると\(a_{67}\approx8.4470\times10^{7996275}\)が出現することを確かめている[7][8]。
としゅきーは2022年7月にJulia(1.7.3)のBigFloat型を使用したプログラムで[9]\(a_{0}=172376626\)以下の全ての自然数についてジャグラー数列を与え、全ての自然数が1に収束する事を確かめた。この範囲内で現れるジャグラー数列の最大値は\(a_{117}\approx2.3046\times10^{139486095}\text{ (if: }a_{0}=92502777)\)である[2]。これは十進数表記が出力されたジャグラー数列の最大値であるとみられる[10]。\(a_{0}=172376627\)は90ステップ目で値がオーバーフローするため、収束及び具体的な最大値が確かめられていない。オーダーは\(a_{90}\approx10^{449669619}\)であり、前記の最大値を超える事は確実である[11]。
値
下記の一覧は、別途記載がなければ\(1 \leqq a_{0} \leqq 172376626\)の範囲内である。
| \(a_{x}\)の最大値 | \(a_{0}\) | 全ステップ数 | 最大値のステップ数 |
|---|---|---|---|
| \(\sim2.3046\times10^{139486095}\) | \(92502777\) | \(191\) | \(117\) |
| \(\sim1.4045\times10^{105780484}\) | \(56261531\) | \(254\) | \(92\) |
| \(\sim3.0254\times10^{89981516}\) | \(7110201\) | \(205\) | \(119\) |
| \(\sim1.1189\times10^{89981516}\) | \(166386721\) | \(178\) | \(75\) |
| \(\sim8.8697\times10^{81060712}\) | \(79843861\) | \(291\) | \(178\) |
| \(13184021\) | \(275\) | \(162\) | |
| \(\sim1.4106\times10^{79441208}\) | \(149873553\) | \(178\) | \(102\) |
| \(\sim2.7377\times10^{69320375}\) | \(131350473\) | \(292\) | \(164\) |
| \(\sim9.9723\times10^{67198686}\) | \(157210301\) | \(275\) | \(107\) |
| \(\sim3.4498\times10^{63036379}\) | \(62185425\) | \(183\) | \(88\) |
| \(\sim1.5380\times10^{59918028}\) | \(63747389\) | \(284\) | \(96\) |
| \(a_{0}\) | 全ステップ数 | \(a_{x}\)の最大値 |
|---|---|---|
| \(a_{0}=1\) | \(0\) | \(a_{0}=1\) |
| \(a_{0}=2\) | \(1\) | \(a_{0}=2\) |
| \(a_{0}=3\) | \(6\) | \(a_{3}=36\) |
| \(a_{0}=9\) | \(7\) | \(a_{2}=140\) |
| \(a_{0}=25\) | \(11\) | \(a_{3}=52214\) |
| \(a_{0}=37\) | \(17\) | \(a_{8}=24906114455136\) |
| \(a_{0}=113\) | \(16\) | \(a_{9}=202924588924125339424550328\) |
| \(a_{0}=173\) | \(32\) | \(a_{17}\approx4.4506\times10^{81}\) |
| \(a_{0}=193\) | \(73\) | \(a_{47}\approx6.7436\times10^{270}\) |
| \(a_{0}=2183\) | \(72\) | \(a_{32}\approx1.2641\times10^{5928}\) |
| \(a_{0}=11229\) | \(101\) | \(a_{54}\approx3.5894\times10^{8200}\) |
| \(a_{0}=15065\) | \(139\) | \(a_{43}\approx4.8373\times10^{11722}\) |
| \(a_{0}=15845\) | \(139\) | \(a_{43}\approx4.8373\times10^{23888}\) |
| \(a_{0}=30817\) | \(93\) | \(a_{39}\approx1.1706\times10^{45390}\) |
| \(a_{0}=48443\) | \(157\) | \(a_{60}\approx1.7835\times10^{972462}\) |
| \(a_{0}=275485\) | \(225\) | \(a_{148}\approx4.2050\times10^{1909409}\) |
| \(a_{0}=1267909\) | \(151\) | \(a_{99}\approx3.9901\times10^{1952328}\) |
| \(a_{0}=2264915\) | \(149\) | \(a_{89}\approx1.3791\times10^{2855583}\) |
| \(a_{0}=5812827\) | \(135\) | \(a_{67}\approx8.4470\times10^{7996275}\) |
| \(a_{0}=7110201\) | \(205\) | \(a_{119}\approx3.0254\times10^{89981516}\) |
| \(a_{0}=56261531\) | \(254\) | \(a_{92}\approx1.4045\times10^{105780484}\) |
| \(a_{0}=92502777\) | \(191\) | \(a_{117}\approx2.3046\times10^{139486095}\) |
| \(a_{0}\geqq172376627\)[11] | \(\text{if: }a_{0}=172376627;\ a_{89}\approx5.9771\times10^{299779746},\ a_{90}>10^{449669619}\) | |
出典
- ↑ 1.0 1.1 "Juggler Sequence". Wolfram MathWorld.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 としゅきー™, 2022-Jul-21 23:10 (JST) のつぶやき. Twitter.
- ↑ "A094679: n sets a new record for number of iterations to reach 1 in the juggler sequence problem". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A094698: Number of steps where the Juggler sequence reaches a new record" On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A094716: Largest value in trajectory of n under the juggler map of A094683". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "X(60) condensed to 1 Page (x(0) = 48443)". Juggler Numbers. (Internet Archive WayBack machine)
- ↑ "What is a Juggler Number?". Juggler Numbers. (Internet Archive WayBack machine)
- ↑ としゅきー™, 2022-Jul-21 23:08 (JST) のつぶやき. Twitter.
- ↑ としゅきーによるジャグラー数列の計算プログラムソースコード
- ↑ [a[117]_of_a[0]=92502777]
- ↑ 11.0 11.1 としゅきー™, 2022-Jul-21 23:26 (JST) のつぶやき. Twitter.
- ↑ としゅきー™, 2022-Jul-22 11:52 (JST) のつぶやき. Twitter.
- ↑ "A143742: Starting values that produce a larger juggler number than smaller starting values." On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
関連項目
外部リンク
- Juggler Sequence - Wolfram MathWorld.
- Juggler Number - Harry J. Smith's Home Page. (Internet Archive WayBack machine)
- ジャグラー数列に関連するオンライン整数列大辞典の項目
- A094683 - 各\(a_{0}=n\)に対するジャグラー写像の結果。
- A007320 - 各\(a_{0}=n\)が1に収束するまでのステップ数。
- A094716 - 各\(a_{0}=n\)におけるジャグラー数列の最大値。
- A143742 - ジャグラー数列の最大値が更新された時の\(a_{0}=n\)の値。
- A094670 - 各ステップ数\(a_{x}\)が必要な\(a_{0}=n\)の最小値。
- A094679 - 収束するまでのステップ数の最大値が更新された時の\(a_{0}=n\)の値。
- A094698 - 収束するまでのステップ数の最大値が更新された時のステップ数\(a_{x}\)の値。
- としゅきーによるジャグラー数列の計算プログラムソースコード
- としゅきーによる\(1 \leqq a_{0} \leqq 172376626\)のジャグラー数列のCSVファイル
