スキューズ数 (Skewes's number) とは、\(\pi(x) - li(x) > 0\)が真となる最小の\(x\)である。ここで、\(\pi(x)\)は素数計数関数で、\(li(x)\)は対数積分である[1]。
歴史[]
1792年にカール・フリードリヒ・ガウスによって提唱された素数定理によれば、\(\pi(x)\)は \(li(x)\)に漸次的に等しい。そして計算可能な範囲においては常に\(\pi(x)\)は\(li(x)\)より小さく、\(\pi(x) - li(x) < 0\)が成立しているように見える。
しかしながら1914年、ジョン・エデンサー・リトルウッドは実際には\(\pi(x) - li(x) > 0\)が成立する\(x\)が存在し、更に\(\pi(x)\)と\(li(x)\)の大小関係は無限に交互に入れ替わる事を証明した[2]。この事から、\(\pi(x) - li(x) > 0\)が真となる最小の\(x\)がいくつであるのかという問題が新たに生じた。
1933年にスタンレー・スキューズは、リーマン予想が真であると仮定した場合に\(\pi(x) - li(x) > 0\)が真となる最小の\(x\)の上界を求めた[3]。1955年にはリーマン予想が偽であると仮定した場合の\(\pi(x) - li(x) > 0\)が真となる最小の\(x\)の上界を求めた[4]。現在では前者を第1スキューズ数 (first Skewes's Number) 、後者を第2スキューズ数 (second Skewes's Number) と呼んでおり、単にスキューズ数と呼んだ場合は、スキューズのオリジナルの値ではなく、\(\pi(x) - li(x) > 0\)が真となる最小の\(x\)を指している事が多い。
値[]
元々の第1スキューズ数は\(Sk_1=e^{e^{e^{79}}} \approx 10^{10^{10^{34}}}\)である。
元々の第2スキューズ数は\(Sk_2=e^{e^{e^{e^{7.705}}}} \approx 10^{10^{10^{963}}}\)である。
これらの値は非常に巨大であり、現在ではリーマンゼータ関数の零点を探索するコンピューター探索により大幅に改善されている。ただし、真の値は未だに求まっておらず、下記のように上界と下界がそれぞれ探索されているに過ぎない。
| 上界 | 近似値 | 発見 | 備考 |
|---|---|---|---|
| \(e^{e^{e^{79}}}\) | \(10^{10^{10^{34}}}\) | Skewes (1933) | 第1スキューズ数。リーマン予想が真と仮定。[3] |
| \(e^{e^{e^{e^{7.705}}}}\) | \(10^{10^{10^{963}}}\) | Skewes (1955) | 第2スキューズ数。リーマン予想が偽と仮定。[4] |
| \(1.53\times10^{1165}\)から\(1.65\times10^{1165}\) | Lehman (1966) | この値の間で\(\pi(x) - li(x)\)の符号が\(10^{500}\)以上入れ替わる。[5] | |
| \(6.69\times10^{370}\)から\(1.65\times10^{1165}\) | Riele (1987) | \(6.62\times10^{370}\)と\(6.69\times10^{370}\)の間で\(\pi(x) - li(x)\)の符号が\(10^{180}\)以上入れ替わる。[6] | |
| \(e^{727.95209}\) | \(1.39822\times10^{316}\) | Bays & Hudson (2000) | この値付近で\(\pi(x) - li(x)\)の符号が\(10^{153}\)以上入れ替わる。[7] |
| \(1.397162914\times10^{316}\) | Demichel (2008-2009) | [8] | |
| \(e^{727.951858}\)から\(e^{727.952178}\) | \(1.39790\times10^{316}\)から\(1.39834\times10^{316}\) | Chao & Plymen (2010) | この値の間で\(\pi(x) - li(x)\)の符号が\(3.2\times10^{151}\)以上入れ替わる。[9] |
| \(e^{727.95132478}\)から\(e^{727.95134682}\) | \(1.3971513\times10^{316}\)から\(13971821\times10^{316}\) | Saouter & Demichel (2010) | この値の間で\(\pi(x) - li(x)\)の符号が\(6.6587\times10^{152}\)以上入れ替わる。[10] |
| \(e^{727.95133239}\)から\(e^{727.95133920}\) | \(1.3971620\times10^{316}\)から\(1.3971715\times10^{316}\) | Saouter & Demichel (2010) | リーマン予想が真と仮定。この値の間で\(\pi(x) - li(x)\)の符号が\(1.2741\times10^{151}\)以上入れ替わる。[10] |
| \(e^{727.951332668}\) | \(1.397162343\times10^{316}\) | Platt & Trudgian (2014) | [11] |
| 下界 | 発見 | 備考 |
|---|---|---|
| \(10^{8}\) | Rosser & Schoenfeld (1962) | [12] |
| \(8\times10^{10}\) | Brent (1975) | [13] |
| \(2\)から\(10^{14}\) | Kotnik (2007) | [14] |
| \(2\)から\(1.39\times10^{17}\) | Platt & Trudgian (2014) | [11] |
| \(11\)から\(10^{19}\) | Büthe | [15] |
指数の初めの桁[]
スキューズ数の初めの桁を求めるのは不可能だが、その常用対数の初めの桁を求めることは出来る。第一スキューズ数 (\(Sk_1\))では:
\(e^{e^{e^{79}}} = e^{10^{e^{79} \times log(e)}} = 10^{10^{e^{79} \times log(e)} \times log(e)} = 10^{10^{e^{79} \times log(e)+log(log(e))}}\) となる。大きな数の計算プログラムを使うと、 \(10^{e^{79} \times log(e)+log(log(e))} = 35536897484442193330...\) と計算でき、したがって \(Sk_1 = 10^{35536897484442193330...}\)
同様に、 \(Sk_2 = 10^{29377275332206251151...}\)
出典[]
- ↑ "Skewes Number". Wolfram MathWorld.
- ↑ J. E. Littlewood "Sur la distribution des nombres premiers". Comptes Rendus, 1914; 158, 1869–1872. JFM 45.0305.01
- ↑ 3.0 3.1 S. Skewes. "On the Difference \(\pi(x) - li(x)\) (I)". Journal of the London Mathematical Society, 1933; 8, 277–283. DOI: 10.1112/jlms/s1-8.4.277
- ↑ 4.0 4.1 S. Skewes. "On the Difference \(\pi(x) - li(x)\) (II)". Journal of the London Mathematical Society, 1955; 5, 48-70. DOI: 10.1112/plms/s3-5.1.48
- ↑ R. Sherman Lehman "On the difference \(\pi(x) - li(x)\)". Acta Arithmetica, 1966; 11, 397–410. DOI: 10.4064/aa-11-4-397-410
- ↑ Herman J. J. te Riele. "On the sign of the difference \(\pi(x) - li(x)\)". Mathematics of Computation, 1987; 48 (177) 323–328. DOI: 10.1090/s0025-5718-1987-0866118-6
- ↑ Carter Bays & Richard H. Hudson. "A new bound for the smallest \(x\) with \(\pi(x) > li(x)\)". Mathematics of Computation, 2000; 69 (231) 1285-1296. DOI: 10.1090/S0025-5718-99-01104-7
- ↑ Douglas A. Stoll & Patrick Demichel. "The impact of \(\zeta(s)\) complex zeros on \(\pi(x)\) for \(x<10^{10^{13}}\)". Mathematics of Computation, 2011; 80 (276) 2381-2394. DOI: 10.1090/S0025-5718-2011-02477-4
- ↑ Kuok Fai Chao & Roger Plymen. "A new bound for the smallest \(x\) with \(\pi(x) > li(x)\)". International Journal of Number Theory, 2010; 6 (03) 681–690. DOI: 10.1142/S1793042110003125, arXiv: [math/0509312v7 https://arxiv.org/abs/math/0509312v7]
- ↑ 10.0 10.1 Yannick Saouter & Patrick Demichel. "A sharp region where \(\pi(x) - li(x)\) is positive". Mathematics of Computation, 2010; 79 (272) 2395-2405. DOI: 10.1090/S0025-5718-10-02351-3
- ↑ 11.0 11.1 Dave Platt & Tim Trudgian. (2014) "On the first sign change of \(\theta(x)-x\)". arXiv: 1407.1914v1
- ↑ J. B. Rosser & L. Schoenfeld. "Lowell Approximate formulas for some functions of prime numbers". Illinois Journal of Mathematics, 1962; 6, 64-94.
- ↑ Richard P. Brent. "Irregularities in the distribution of primes and twin primes". Mathematics of Computation, 1975; 29 (129) 43-56. DOI: 10.1090/S0025-5718-1975-0369287-1
- ↑ Tadej Kotnik. "The prime-counting function and its analytic approximations". Advances in Computational Mathematics, 2008; 29 (1) 55–70. DOI: 10.1007/s10444-007-9039-2
- ↑ Jan Büthe. (2015) "An analytic method for bounding \(\psi(x)\)". arXiv: 1511.02032v2