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スマランダチェ数 (Smarandache number) とは、自然数を小さい順に連結した連結数列で現れる自然数である[1]。つまり小さい方から\(1,\ 12,\ 123,\ 1234\cdots\)となる[2]。本稿では、スマランダチェ数に関連する数についても言及する。これらの名は、このような様々な連結数列の性質を研究したフローレンティン・スマランダチェ (Florentin Smarandache) に因む[1]。連結数列自体をスマランダチェ数列と呼ぶこともある[3]

スマランダチェ数[]

自然数の連結数列であるスマランダチェ数は、小さい方から\(\text{Sm}(1)=1,\ \text{Sm}(2)=12,\ \text{Sm}(3)=123,\ \text{Sm}(4)=1234\cdots\)となる[2]ハイパー数学を使えば、これは\(\text{Sm}(n)=1+2+3+\cdots+n\)と簡単に表せる。\(n\)番目のスマランダチェ数\(\text{Sm}(n)\)の桁数は\((n+1)\times d-\frac{10^{d}-1}{9}\)で表される。ここで\(d=\lfloor\log_{10}n\rfloor+1\)である[1]

スマランダチェ数はスマランダチェ連結数 (Smarandache consecutive numbers) [1]、または神々の三角数 (Triangle of the gods) [2]とも呼ばれる。任意のスマランダチェ数はチャンパーノウン定数\(C_{10}=0.12345\cdots\)の小数部分の最初からの一部であり、無限に伸ばすとチャンパーノウン定数の小数部分と一致する。これ自体にはチャンパーノウン文字列 (Champernowne word) 、またはバルビエ (無限) 文字列 (Barbier (infinite) word) という別称がある[4]

スマランダチェ数である素数をスマランダチェ素数 (Smarandache prime) と呼ぶが、ユニークなことに、スマランダチェ素数は\(\text{Sm}(1000000)\)以下において見つかっていない[5]。\(\text{Sm}(1000000)\)以内において期待される素数の個数は約0.6個であるという分析もあり、これは1個も見つかっていないことと一致する[2][5]

チャンパーノウン文字列の最初からの一部を取り出すことで現れるチャンパーノウン定数素数 (Champernowne constant prime) はいくつか見つかっているが[5]、例えば最小の\(1234567891\)は、連結された最後の自然数\(10\)は途中の桁までしか表示されていない[6][7]。このため現時点では、スマランダチェ素数であるチャンパーノウン定数素数は見つかっていないことになる。

逆スマランダチェ数[]

自然数を逆順で連結した数列に特定の名称はないものの[8]、Wolfram MathWorldでは記号を\(\text{Smr}(n)\)としているので[1]、本項目ではこれを逆スマランダチェ数 (Reverse Smarandache number) と呼ぶことにする。つまり小さい方から\(\text{Smr}(1)=1,\ \text{Smr}(2)=21,\ \text{Smr}(3)=321,\ \text{Smr}(4)=4321\cdots\)となる。

スマランダチェ素数が現時点で見つかっていないのとは逆に、逆スマランダチェ素数 (Reverse Smarandache prime) は見つかっている。ただし、現時点で\(\text{Smr}(84300)\)以内に見つかっているのは\(\text{Smr}(82)\)と\(\text{Smr}(37765)\)の2個しかない[9]

逆スマランダチェ素数の一覧[9]
\(n\) \(\text{Smr}(n)\) 桁数
\(82\) \(8281807978\cdots987654321\) \(155\)桁
\(37765\) \(3776537764\cdots987654321\) \(177719\)桁

スマランダチェ・ウェリン数[]

素数の連結数列をスマランダチェ・ウェリン数 (Smarandache-Wellin number) と呼び、小さい方から\(w_{1}=2,\ w_{2}=23,\ w_{3}=235,\ w_{4}=2357\cdots\)となる[10][11]。任意のスマランダチェ・ウェリン数\(w_{n}\)はコープランド・エルデシュ定数\(C_{CE}=0.235711\cdots\)の小数部分の最初からの一部であり、無限に伸ばすとコープランド・エルデシュ定数の小数部分と一致する[12]

スマランダチェ・ウェリン数な素数であるスマランダチェ・ウェリン素数 (Smarandache-Wellin prime) は、\(w_{1500000}\)以内で8個見つかっている[13]。知られている最大のスマランダチェ・ウェリン素数は\(w_{1429}=\underbrace{235711\cdots1192311927}_{5719}\)である[14]

チャンパーノウン定数に対するチャンパーノウン定数素数のように、コープランド・エルデシュ定数に対するコープランド・エルデシュ定数素数 (Copeland-Erdős constant prime) もいくつか見つかっている[15]。スマランダチェ・ウェリン素数は見つかっているため、チャンパーノウン定数素数とスマランダチェ素数との関係とは異なり、コープランド・エルデシュ定数素数の一部はスマランダチェ・ウェリン素数であることになる。

スマランダチェ・ウェリン素数の一覧
\(n\) \(w_{n}\) 桁数[16] 最後の素数[14] その他[15]
\(1\) \(2\) \(1\)桁 \(2\) 1番目の\(C_{CE}\)素数
\(2\) \(23\) \(2\)桁 \(3\) 2番目の\(C_{CE}\)素数
\(4\) \(2357\) \(4\)桁 \(7\) 3番目の\(C_{CE}\)素数
\(128\) \(235711\cdots709719\) \(355\)桁 \(719\) 6番目の\(C_{CE}\)素数
\(174\) \(235711\cdots10311033\) \(499\)桁 \(1033\) 7番目の\(C_{CE}\)素数
\(342\) \(235711\cdots22932297\) \(1171\)桁 \(2297\) 8番目の\(C_{CE}\)素数
\(435\) \(235711\cdots30233037\) \(1543\)桁 \(3037\) 9番目の\(C_{CE}\)素数
\(1429\) \(235711\cdots1192311927\) \(5719\)桁 \(11927\) 10番目の\(C_{CE}\)素数

なお執筆時点で、逆スマランダチェ・ウェリン数に相当する数の情報や名称は見つかっていない。全ての逆スマランダチェ・ウェリン数は1桁目が\(2\)であるため、\(2\)以外の逆スマランダチェ・ウェリン素数は存在しない。

出典[]

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Eric Weisstein. "Smarandache Number". Wolfram MathWorld.
  2. 2.0 2.1 2.2 2.3 "A007908: Triangle of the gods: to get a(n), concatenate the decimal numbers 1,2,3,...,n". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  3. Eric Weisstein. "Consecutive Number Sequences". Wolfram MathWorld.
  4. Eric Weisstein. "Champernowne Constant". Wolfram MathWorld.
  5. 5.0 5.1 5.2 Eric Weisstein. "[Smarandache Prime]". Wolfram MathWorld.
  6. "A071620: Integer lengths of the Champernowne primes (concatenation of first a(n) entries (digits) of A033307 is prime)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  7. "A176942: Champernowne primes". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  8. "A000422: Concatenation of numbers from n down to 1". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  9. 9.0 9.1 "A176024: Numbers k such that the reverse concatenation of the first k integers (A000422(k)) is a prime". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  10. Eric Weisstein. "Smarandache-Wellin Number". Wolfram MathWorld.
  11. "Smarandache-Wellin numbers: a(n) is the concatenation of first n primes (written in base 10)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  12. Eric Weisstein. "Copeland-Erdős Constant". Wolfram MathWorld.
  13. Eric Weisstein. "Smarandache-Wellin Prime". Wolfram MathWorld.
  14. 14.0 14.1 "A046284: Primes p such that concatenation of primes from 2 through p is a prime". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  15. 15.0 15.1 "A227530: Integer lengths of the n-th Copeland-Erdős prime (concatenation of the first n entries (digits) of A033308 is prime)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  16. "A263959: Number of decimal digits in A069151(n)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

関連項目[]

  • 連結数列
  • チャンパーノウン定数
  • コープランド・エルデシュ定数
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