トスの定理 (Tóth's Theorem) とは、László Tóthが2018年に発表した素数に関する定理である[1]。
概要[]
Tóthは2018年に、ある正実数\(B\)と整数\(c\geqq3\)が存在し、全ての整数\(n\geqq1\)に対して、以下の関数の値が全て素数になることを証明した[1]。
\[\left\lceil B^{c^{n}} \right\rceil\]
この関数は、元々1947年にW. H. Millsが証明したミルズの定理が根本にある[2]。ミルズの定理で証明されたのは\(\left\lfloor A^{3^{n}} \right\rfloor\)の形式であるが、後に指数部の\(3\)は別の実数に置き換えられることが証明された[3][4]。Tóthはこれを更に拡大し、床関数だけでなく天井関数でも同様の形式の素数生成式が存在することを証明した[1]。
定数\(B\)と\(c\)[]
他の類似の素数生成式と同じく、トスの定理で重要なのは定数\(B\)である。現時点では\(c=3\)について解かれており、\(B=1.240554705\cdots\)である[1]。他の類似の素数生成式と同じく、大きな素数を与えるには\(B\)の正確な値を導く必要があるため、実質的に新たな素数を生み出す事には役に立たない[5]。
一方で\(c\)は自然数に属しており、かつ\(c\geqq3\)である[1]。これは、ミルズの定理の発展形の指数部は実数も許されることとは異なる点である[4]。
トス素数[]
トスの定理にて\(c=3\)で与えられる素数は、\(B\)が5500桁まで計算されていることから、現時点で10個知られている[1]。
\(n\) | \(\left\lceil B^{3^{n}} \right\rceil\) | ステータス |
---|---|---|
\(1\) | \(2\) | 素数 |
\(2\) | \(7\) | 素数 |
\(3\) | \(337\) | 素数 |
\(4\) | \(38272739\) | 素数 |
\(5\) | \(56062005704198360319209\) | 素数 |
\(6\) | \(\sim1.7619999581\times10^{68}\) | 素数 |
\(7\) | \(\sim5.4703823382\times10^{204}\) | 素数 |
\(8\) | \(\approx1.7\times10^{614}\) | 素数 |
\(9\) | \(\approx4.4\times10^{1842}\) | 素数 |
\(10\) | \(\approx8.4\times10^{5527}\) | 素数 |
\(11\) | \(\approx6.0\times10^{16583}\) | トスの定理により素数 (具体的な値は不明) |
出典[]
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 László Tóth. "A Variation on Mills-Like Prime-Representing Functions". arXiv, math.NT. arXiv:1801.08014v1
- ↑ W. H. Mills. "A prime-representing function" Bulletin of the American Mathematical Society, 1947; 53 (6) 604.
- ↑ "A059784: a(n+1) = nextprime(a(n)^2). Smallest prime following the square of previous prime. Initial value = 2". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ 4.0 4.1 K. Matomäki. "Prime-representing functions". Acta Mathematica Hungarica, 2010; 128, 307-314. DOI: 10.1007/s10474-010-9191-x
- ↑ "Mills' Theorem". Wolfram MathWorld.