トリアン

トリアンは Aalbert Torsius によって発明された関数である。^[1]この数は、Torsiusの階乗の定義で\(T(x) = x!x\)と定義される。彼の階乗は:

\(x!n = \prod^{x}_{i = 1} i!(n - 1) = 1!(n - 1) \cdot 2!(n - 1) \cdot \ldots \cdot x!(n - 1)\),

\(x!0 = x\)

普通の階乗にも一般化して、\(x!1 = x!\)である。

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...に対してT(x)は0, 1, 2, 24, 331776, 2524286414780230533120, 1.8356962141506×10⁸², 5.1012625185483×10³¹⁵, ...である。

もっと効率的な計算法[]

これはT(x)を計算するもっと早い方法である。 \(trn_x(n) = trn_{x-1}(1) + trn_{x-1}(2) + trn_{x-1}(3) \cdots trn_{x-1}(n)\)

\(trn_0(n) = n\).

ここで、\(trn_x(n)\)は\({n^{(x)} \over (n+1)!}\)(\(n^{(x)}\)は上昇階乗)である。

ここで、"\(trn_x\)"はx次元の三角数である。ここで、x次元の階乗を定義する:

\(n!2 = 2 \times (2 \times 3) \times (2 \times 3 \times 4) \ldots (2 \times 3 \times 4 \ldots (n-1) \times n)\)。乗算には交換法則が成り立つため、ここでは2はn-1回、3はn-2回、xはn-x+1回登場する。

よって、\(n!2 = 2^{n-1} \times 3^{n-2} \times 4^{n-3} \times 5^{n-4} \cdots n\)。次のようにも書ける: \(n!2 = 2^{trn_0(n-1)} \times 3^{trn_0(n-2)} \times 4^{trn_0(n-3)} \times 5^{trn_0(n-4)} \cdots n\)

類似論的に、 \(n!3 = 2^{trn_1(n-1)} \times 3^{trn_1(n-2)} \times 4^{trn_1(n-3)} \times 5^{trn_1(n-4)} \cdots n\)

一般的に、 \(n!x = 2^{trn_{x-2}(n-1)} \times 3^{trn_{x-2}(n-2)} \times 4^{trn_{x-2}(n-3)} \times 5^{trn_{x-2}(n-4)} \cdots n\)

疑似コード[]

// Torsius' factorial extension
function factorialTorsius(z, x):
    if x = 0:
        return z
    result := 1
    for i from 1 to z:
        result := result * factorialTorsius(i, x - 1)
    return result

// Torian
function torian(x):
    return factorialTorsius(x, x)

出典[]

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