カタラン・メルセンヌ数

カタラン・メルセンヌ数 (Catalan–Mersenne number) とは、次のように再帰的に定義される数である。

\begin{eqnarray*} c_{0}&=&2 \\ c_{n}&=&2^{c_{n-1}}-1 \end{eqnarray*}

一覧

カタラン・メルセンヌ数の最初の5つは素数である事が1876年までに判明しているが、6つ目以降に関しては未知である。

\(n\)	\(c_{n}\)	値	ステータス
\(0\)	\(2\)	\(2\)	非メルセンヌ素数
\(1\)	\(2^{2}-1\)	\(3\)	1番目のメルセンヌ素数
\(2\)	\(2^{3}-1\)	\(7\)	2番目のメルセンヌ素数
\(3\)	\(2^{7}-1\)	\(127\)	4番目のメルセンヌ素数
\(4\)	\(2^{127}-1\)	\(170141183460469231731687303715884105727\)	12番目のメルセンヌ素数
\(5\)	\(2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\)	\(\approx5.454\times10^{51217599719369681875006054625051616349}\approx10^{10^{37.7094}}\)	不明 (\(\sim5\times10^{51}\)より小さな素因数はない)

\(c_{5}\approx10^{10^{37.7094}}\)が素数であるかどうかは未解決であり、現代の素数判定法の能力を上回る大きさである。現時点では\(5\times10^{51}\)より小さな素因数は発見されていない。

関連項目

• メルセンヌ素数
• 二重メルセンヌ素数 - 部分的にカタラン・メルセンヌ数と一致する。
• 不可説不可説転 - \(c_{5}\)が八十華厳の不可説不可説転に近い。