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ナポウスキー数 (Knapowski number) とは、Stanisław Knapowskiが1962年に書いた論文中に登場する巨大数である[1]

概要[]

素数定理に関連し、\(2 \geqq x \geqq T\)の範囲において\(\pi(x)-li(x)>0\)の符号が入れ替わる回数を\(v(T)\)とする。1914年にJohn Edensor Littlewoodは\(v(T)\)は\(T\)と共に無限大になることを証明した[2]。この研究に関連し、1962年にStanisław KnapowskiはInghamの定理に基づき、以下の不等式が成り立つ事を証明した[1]

\[\begin{eqnarray*} v(T) &\geqq& e^{-35}\ln(\ln(\ln(\ln(T)))) \\ T &\geqq& e^{e^{e^{e^{e^{35}}}}} \end{eqnarray*}\]

\(T \geqq e^{e^{e^{e^{e^{35}}}}} \approx 10^{10^{10^{10^{10^{10^{1.171378}}}}}}\)という数字は、この研究に関連して1955年に算出された第2スキューズ数よりも大きい。Robert Munafoは、これは1971年に小グラハム数が登場するまでの約9年間[3]、数学の論文中に登場した数の中で最大の数であったと述べている[4]

誤記[]

Marek Wolfは\(\pi(x)-li(x)>0\)に関連したプレプリント中においてナポウスキー数に言及しているが、値を\(e^{e^{e^{e^{35}}}}\)と誤って記述している[5][6]

出典[]

  1. 1.0 1.1 Stanisław Knapowski. "On sign-changes of the difference π(x)-li(x)". Acta Arithmetica, 1962; 7, 107-119. DOI: 10.4064/aa-7-2-107-119
  2. J. E. Littlewood "Sur la distribution des nombres premiers". Comptes Rendus, 1914; 158, 1869–1872. JFM 45.0305.01
  3. R. L. Graham & B. L. Rothschild. "Ramsey’s theorem for \(n\)-parameter sets". Transactions of the American Mathematical Society. 1971; 159, 257-292. DOI: 10.1090/S0002-9947-1971-0284352-8
  4. Robert Munafo. "101010106.8880×1014 = 4pt6.8880×1014 = eeeee35". Notable Properties of Specific Numbers, Page 22.
  5. Marek Wolf. "Analog of the Skewes number for twin primes". arXiv, math.NT, 2007. arXiv:0707.0980v2
  6. Marek Wolf. "The Skewes number for twin primes: counting sign changes of $π_2(x)-C_2 \Li_2(x)$". arXiv, math.NT, 2011. arXiv:1107.2809v1

関連項目[]

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