ハイパー原始ψ関数

ハイパー原始ψ関数^[1]は Kanrokoti^[2] が2021年8月14日に公開した巨大数表記である。

ハイパー原始ψ関数は拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記の添字にハイパー原始数列を組み込んだ表記である。ネスト表記と数列表記を組み合わせた数少ない表記の一つであり、添字上昇システムを持つ数少ない表記の一つである。ハイパー原始ψ関数はその構成より、$\psi_0(\psi_{$n}(0))$がバシク行列システム$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3) \dots (n,n,n)$に対応すると考えられている。

Naruyoko^[3]はハイパー原始ψ関数計算機を公開している。(旧定義版のためバグが存在する。)

Kanrokotiは2022年11月6日にハイパー原始ψ関数の定義を書き直したものを公開した^[4]。書き直された定義では、旧定義と比べて厳密性や可読性が向上している。また、「ハイパー原始数列を$\psi$の添字に組み込む」というコンセプトを旧定義よりも正確に反映している。なお、旧定義にはバグが存在することが確認されているため、本ページでは書き直された最新の定義を扱う。

定義[]

表記[]

$0$と$+$と$\psi$と$($と$,$と$)$のみからなる文字列の集合$T$と$PT$を以下のように同時に再帰的に定める:

$0 \in T$である。
いかなる$(a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})$に対しても、$a+b \in T$である。
いかなる$(a,b) \in T^2$に対しても、$\psi(a,b) \in PT \cap T$である。

各$(a,b) \in T^2$に対し、$\psi(a,b)$を$\psi_a(b)$と略記する。

計算可能性に意味を持たせるために$\omega$を単なる文字列として扱い、$\mathbb{N}^+ := \mathbb{N} \cup \{\omega\}$と定める。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} $ \colon \mathbb{N}^+ & \to & T \\ n & \mapsto & $n \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$n = 0$ならば、$$n := 0$である。
$n = 1$ならば、$$n := \psi_0(0)$である。
$n = \omega$ならば、$$n := \psi_0($1)$である。
$n \notin \{0,1,\omega\}$ならば、$$n := $(n-1)+$1$である。

部分集合$RT \subset T$と$RPT \subset PT$を以下のように同時に再帰的に定める:

$0 \in RT$である。
いかなる$(a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})$に対しても、$a+b \in RT$である。
いかなる$(a,b) \in \mathbb{N} \times RT$に対しても、$\psi_{$a}(b) \in RPT \cap RT$である。

深度関数[]

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{dod} \colon RT & \to & \mathbb{N} \\ s & \mapsto & \textrm{dod}(s) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = 0$ならば、$\textrm{dod}(s) := 0$である。
$s = a+b$を満たす$(a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})$が存在するならば、$\textrm{dod}(s) := \textrm{dod}(b)$である。
$s = \psi_{$a}(b)$を満たす$(a,b) \in \mathbb{N} \times RT$が存在するならば、$\textrm{dod}(s) := \textrm{dod}(b)+1$である。

除去関数[]

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{cut} \colon RT \times \mathbb{N} & \to & RT \\ (s,t) & \mapsto & \textrm{cut}(s,t) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = 0$ならば、$\textrm{cut}(s,t) := 0$である。
$s = a+b$を満たす$(a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})$が存在するならば、$\textrm{cut}(s,t) := \textrm{cut}(b,t)$である。
$s = \psi_{$a}(b)$を満たす$(a,b) \in \mathbb{N} \times RT$が存在するとする。
1. $t = 0$ならば、$\textrm{cut}(s,t) := s$である。
2. $t \neq 0$ならば、$\textrm{cut}(s,t) := \textrm{cut}(b,t-1)$である。

上昇関数[]

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \Delta \colon RT \times (\mathbb{N} \setminus \{0\}) \times \mathbb{N} & \to & RT \\ (bp,\delta,br) & \mapsto & \Delta(bp,\delta,br) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$bp = 0$ならば、$\Delta(bp,\delta,br) := 0$である。
$bp = a+b$を満たす$(a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})$が存在するならば、$\Delta(bp,\delta,br) := \Delta(a,\delta,br)+\Delta(b,\delta,br)$である。
$bp = \psi_{$a}(b)$を満たす$(a,b) \in \mathbb{N} \times RT$が存在するとする。
1. $a \le br$ならば、$\Delta(bp,\delta,br) := \psi_{$a}(b)$である。
2. $a \gt br$ならば、$\Delta(bp,\delta,br) := \psi_{$(a+\delta)}(\Delta(b,\delta,br))$である。

共終数[]

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{cod} \colon RT & \to & RT \\ s & \mapsto & \textrm{cod}(s) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = 0$ならば、$\textrm{cod}(s) := 0$である。
$s = a+b$を満たす$(a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})$が存在するならば、$\textrm{cod}(s) := \textrm{cod}(b)$である。
$s = \psi_{$a}(b)$を満たす$(a,b) \in \mathbb{N} \times RT$が存在するとする。
1. $\textrm{cod}(b) = 0$ならば、$\textrm{cod}(s) := s$である。
2. $\textrm{cod}(b) = $1$ならば、$\textrm{cod}(s) := $\omega$である。
3. $\textrm{cod}(b) \notin \{0,$1\}$ならば、$\textrm{cod}(b) = \psi_{$c}(d)$を満たす$(c,d) \in \mathbb{N} \times RT$が存在する。
  1. $a \ge c$ならば、$\textrm{cod}(s) := \textrm{cod}(b)$である。
  2. $a \lt c$とする。
    1. $\textrm{cod}(d) = 0$とする。
      1. $c-a = 1$ならば、$\textrm{cod}(s) := $\omega$である。
      2. $c-a \gt 1$とする。
        $a = 0$ならば、$\textrm{dom}(s) := $\omega$である。
        
        $a \neq 0$ならば、$\textrm{dom}(s) := s$である。
    2. $\textrm{cod}(d) \neq 0$ならば、$\textrm{cod}(s) := \textrm{cod}(b)$である。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{dom} \colon RT & \to & RT \\ s & \mapsto & \textrm{dom}(s) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = 0$ならば、$\textrm{dom}(s) := 0$である。
$s = a+b$を満たす$(a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})$が存在するならば、$\textrm{dom}(s) := \textrm{dom}(b)$である。
$s = \psi_{$a}(b)$を満たす$(a,b) \in \mathbb{N} \times RT$が存在するとする。
1. $\textrm{dom}(b) = 0$ならば、$\textrm{dom}(s) := s$である。
2. $\textrm{dom}(b) = $1$ならば、$\textrm{dom}(s) := $\omega$である。
3. $\textrm{dom}(b) \notin \{0,$1\}$ならば、$\textrm{dom}(b) = \psi_{$c}(d)$を満たす$(c,d) \in \mathbb{N} \times RT$が存在する。
  1. $a \ge c$ならば、$\textrm{dom}(s) := \textrm{dom}(b)$である。
  2. $a \lt c$とする。
    1. $\textrm{dom}(d) = 0$とする。
      1. $c-a = 1$ならば、$\textrm{dom}(s) := $\omega$である。
      2. $c-a \gt 1$とする。
        $a = 0$ならば、$\textrm{dom}(s) := $\omega$である。
        
        $a \neq 0$ならば、$\textrm{dom}(s) := s$である。
    2. $\textrm{dom}(d) \neq 0$ならば、$\textrm{cod}(b) = \psi_{$e}(f)$を満たす$(e,f) \in \mathbb{N} \times RT$と$\textrm{cod}(f) = \psi_{$g}(0)$を満たす$g \in \mathbb{N}$が存在する。
      1. $c-a \lt g-e$ならば、$\textrm{dom}(s) := $\omega$である。
      2. $c-a \ge g-e$とする。
        $a = 0$ならば、$\textrm{dom}(s) := $\omega$である。
        
        $a \neq 0$ならば、$\textrm{dom}(s) := s$である。

基本列[]

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} [ \ ] \colon RT^2 & \to & RT \\ (s,t) & \mapsto & s[t] \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = 0$ならば、$s[t] := 0$である。
$s = a+b$を満たす$(a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})$が存在するならば、$b' := b[t]$と置く。
1. $b' = 0$ならば、$s[t] := a$である。
2. $b' \neq 0$ならば、$s[t] := a+b'$である。
$s = \psi_{$a}(b)$を満たす$(a,b) \in \mathbb{N} \times RT$が存在するとする。
1. $\textrm{dom}(b) = 0$ならば、$s[t] := t$である。
2. $\textrm{dom}(b) = $1$とする。
  1. $t = t[0]+$1$ならば、$s[t] := s[t[0]]+s[$1]$である。
  2. $t \neq t[0]+$1$ならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[0])$である。
3. $\textrm{dom}(b) \notin \{0,$1\}$ならば、$\textrm{dom}(b) = \psi_{$c}(d)$を満たす$(c,d) \in \mathbb{N} \times RT$が存在する。
  1. $a \ge c$ならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[t])$である。
  2. $a \lt c$とする。
    1. $\textrm{dom}(d) = 0$とする。
      1. $c-a = 1$とする。
        $t = $i$を満たす$i \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$と$s[t[0]] = \psi_{$a}(\Gamma)$を満たす$\Gamma \in RT$が存在するならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[\psi_{$a}(\Gamma)])$である。
        
        そうでないならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[0])$である。
      2. $c-a \gt 1$とする。
        $a = 0$ならば、$\delta := c-1$と置く。
        $t = $i$を満たす$i \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$と$s[t[0]] = \psi_{$a}(\Gamma)$を満たす$\Gamma \in RT$が存在するならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[\psi_{$(a+\delta)}(\Delta(\Gamma,\delta,a))])$である。
        
        そうでないならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[0])$である。
        
        $a \neq 0$ならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[t])$である。
    2. $\textrm{dom}(d) \neq 0$ならば、$\textrm{cod}(b) = \psi_{$e}(f)$を満たす$(e,f) \in \mathbb{N} \times RT$と$\textrm{cod}(f) = \psi_{$g}(0)$を満たす$g \in \mathbb{N}$が存在する。
      1. $c-a \lt g-e$ならば、$\delta := g-c-1$、$gp := \textrm{dod}(b)-\textrm{dod}(\textrm{dom}(b))$とそれぞれ置く。
        $t = $i$を満たす$i \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$と$s[t[0]] = \psi_{$a}(\Gamma)$を満たす$\Gamma \in RT$が存在するならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[\Delta(\textrm{cut}(\Gamma,gp),\delta,a)])$である。
        
        そうでないならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[0])$である。
      2. $c-a \ge g-e$とする。
        $a = 0$ならば、$\delta := g-1$と置く。
        $t = $i$を満たす$i \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$と$s[t[0]] = \psi_{$a}(\Gamma)$を満たす$\Gamma \in RT$が存在するならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[\psi_{$(a+\delta)}(\Delta(\Gamma,\delta,a))])$である。
        
        そうでないならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[0])$である。
        
        $a \neq 0$ならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[t])$である。

急増加関数[]

計算可能部分写像 \begin{eqnarray*} f \colon RT \times \mathbb{N}^2 & \to & \mathbb{N} \\ (s,m,n) & \mapsto & f_s^m(n) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$m = 0$ならば、$f_s^m(n) := n$である。
$m = 1$とする。
1. $\textrm{dom}(s) = 0$ならば、$f_s^m(n) := n+1$である。
2. $\textrm{dom}(s) = $1$ならば、$f_s^m(n) := f_{s[0]}^n(n)$である。
3. $\textrm{dom}(s) \notin \{0,$1\}$ならば、$f_s^m(n) := f_{s[$n]}^1(n)$である。
$m \notin \{0,1\}$ならば、$f_s^m(n) := f_s^1(f_s^{m-1}(n))$である。

標準形[]

部分集合$OT \subset RT$を以下のように再帰的に定める:

いかなる$n \in \mathbb{N}$に対しても、$\psi_0(\psi_{$n}(0)) \in OT$である。
いかなる$(s,n) \in OT \times \mathbb{N}$に対しても、$s[$n] \in OT$である。

命名[]

計算可能部分写像 \begin{eqnarray*} F \colon \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ n & \mapsto & F(n) \end{eqnarray*} を$F(n) = f_{\psi_0(\psi_{$n}(0))}^1(n)$と定める。

Kanrokotiは$F^{10^{100}}(10^{100})$を「ハイパー原始ψ数」と名付け、表記の限界に対応する順序数を「Hyper Primitive psi ordinal」(HPPO)と名付けた。

文献[]

↑ Kanrokoti, "ハイパー原始ψ関数", ユーザーブログ, 2021
↑ Kanrokoti の巨大数研究 Wikiユーザーページ
↑ Naruyoko の巨大数研究 Wikiユーザーページ
↑ Kanrokoti, 亜原始ψ関数とハイパー原始ψ関数とTSS-ψ関数の定義の書き直し, 巨大数研究 Wikiユーザーブログ