ハイパー数学

ハイパー数学とは数学の変種である。+記号は加算の代わりに文字列としての連結を表す。 例えば、1+1=11、また34+15=3415となる。

乗算

ハイパー数学では、通常の数学と違い、乗算は交換法則も結合法則も成り立たない。連結された乗算は左から計算される。例えば:

\(3 \cdot 3 \cdot 3 = (3+3+3)\cdot 3 = 333+333+333 = 333333333\)

\(4 \cdot 3 \cdot 3 = 444\cdot 3 = 444+444+444 = 444444444\)

\(3 \cdot 4 \cdot 3 = 3333\cdot 3 = 3333+3333+3333 = \underbrace{333...333}_{12}\)

\(3 \cdot 3 \cdot 4 = (3+3+3)\cdot 4 = 333 \cdot 4 = 333+333+333+333 = \underbrace{333...333}_{12}\)

\(4 \cdot 4 \cdot 4 = 4444 \cdot 4 = \underbrace{444...444}_{16}\)

\(5 \cdot 5 \cdot 5 = 55555 \cdot 5 = \underbrace{555...555}_{25}\)

正の整数 a, b, and c に対して、 abc = acb が成立する。なぜならば

abc = a(bとcの通常の掛け算) = a(cとbの通常の掛け算) = acb

冪乗

ハイパー数学では、通常の数学と違い、乗算は交換法則も結合法則も成り立たない。連結された乗算は左から計算される。例えば:

\(3^3\) = \(3 \cdot 3 \cdot 3\) = \(333 \cdot 3\) = \(\underbrace{333...333}_{9} = (E9-1)/3\)

（通常の数学とハイパー数学との混乱を避けるためハイパーE表記を使う。）

\(3^4\) = \(\underbrace{333...333}_{9} \cdot 3 = \underbrace{333...333}_{27} = (E27-1)/3 \)

\(3^5\) = \(\underbrace{333...333}_{27} \cdot 3 = \underbrace{333...333}_{81} = (E81-1)/3 \)

\(3^n\) = \((E(E[3](n-1))-1)/3 \)

よってハイパー数学の指数関数は通常の数学の二重指数関数程度の増加速度となる。

\(3^{3^2}\) = \(3^{3\cdot3}\) = \(3^{333} = (E(E[3]332)-1)/3 \approx E2.2\#3 \)

\(m^n\) = \(m \cdot (E[m](n-1))\)

注意

ハイパー数学において既存の巨大数を用いる場合は、その数を表す式ではなくその数を表す名前を用いなくてはならない。