ハイパー階乗は、任意の自然数\(n\)に対して\(H(n) = \prod\limits^{n}_{i=1} i^i = 1^1 \times 2^2 \times 3^3 \times 4^4 \times \cdots \times n^n\)と定義される[1]。増加率は急増加関数で\(f_{2}(f_{2}(n))\)程度である。
値[]
| \(n\) | \(H(n)=\prod\limits^{n}_{i=1} i^i\) |
|---|---|
| \(0\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(4\) |
| \(3\) | \(108\) |
| \(4\) | \(27648\) |
| \(5\) | \(86400000\) |
| \(6\) | \(4031078400000\) |
| \(7\) | \(3319766398771200000\) |
| \(8\) | \(55696437941726556979200000\) |
| \(9\) | \(21577941222941856209168026828800000\) |
| \(10\) | \(215779412229418562091680268288000000000000000\) |
| \(11\) | \(61564384586635053951550731889313964883968000000000000000\) |
他の関数との関係[]
ハイパー階乗を複素数に拡張したものがK関数である。K関数は任意の複素数\(z\)に対して以下のように定義される[3]。
\(K(z)=(2\pi)^{\left(\frac{-z+1}{2}\right)}\times \exp\left[\left(\begin{matrix}z\\2\end{matrix}\right)+\displaystyle\int_{0}^{z-1}\ln(t!)dt\right]\)
K関数は、自然数\(n\)について\(K(n+1)=1^1 \times 2^2 \times 3^3 \times 4^4 \times \cdots \times n^n\)となる。
よって、ハイパー階乗の複素数への拡張は以下の通りとなる[1]。
\(H(z)=(2\pi)^{\left(\frac{z}{2}\right)}\times \exp\left[\left(\begin{matrix}z+1\\2\end{matrix}\right)+\displaystyle\int_{0}^{z}\ln(t!)dt\right]\)
階乗におけるスターリングの近似式のような、ハイパー階乗に対する近似式がある[1]。
\(H(z)\approx A \times e^{\left(-\frac{z^{2}}{4}\right)} \times z^{\left(\frac{z(z+1)}{2}+\frac{1}{12}\right)}\times\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{720z^{2}}-\frac{1433}{7257600z^{4}}+\frac{1550887}{15676416000z^{6}}-\cdots\right)\)
ここで、後ろに続く分数式の値は、いずれもOEISにまとめられている数列のうち、分母はA143476、分子はA143475で表される。
\(H\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{A^{3}}}{\sqrt[24]{2}\sqrt[8]{e}}\)という特別な値を持つ[1]。
上記の式の\(A\)は\(A = 1.2824271291\dots\)となる値であり[4]、グレイシャー・キンケリンの定数と呼ばれる。
逆数[]
ハイパー階乗の逆数の合計は \(\sim2.2592954398150628\cdots\) である。[要出典]