バッハマン・ハワード順序数

"バッハマン・ハワード順序数" (Bachmann–Howard ordinal)は、ブーフホルツのψ関数では \(\psi_0(\varepsilon_{\Omega+1}) = \psi_0(\Omega_2)\) と表され、イェーガー・ブーフホルツのψ関数では \(\psi_{\Omega_1}(\varepsilon_{\Omega_1+1})\) と表される。ここで、\(\Omega = \Omega_1\) は最小の非可算順序数であり、\(\varepsilon_{\Omega+1}\) は \(\Omega = \varepsilon_\Omega\) の次のイプシロン数（\(\alpha=\omega^\alpha\) を満たす順序数）で、

\[\Omega, \Omega^{\Omega}, \Omega^{\Omega^{\Omega}}, ...\]

の極限に等しい。

歴史

バッハマンで考えられ、ハワードで初めて証明論に用いられたということに名前は由来している。しかし歴史的には竹内外史の順序数図形 (ordinal diagram) 、 \( \langle O(2,1),<_0\rangle\) の方が証明論で先に用いられていて、これはバッハマン・ハワード順序数を順序型として持つ。

性質

ブーフホルツのψ関数に関する標準的な基本列系に関して急増加関数での例を挙げる。

• \(f_{\psi_0(\Omega_2)}(n) \approx H(n)\) (急増加関数, H(n)はChris BirdのH関数)

バードの配列表記の早いバージョンで表せる数は \(\psi_0(\Omega_2)\) までであった。