- 他のθ関数については、θ関数 をご覧ください。
バードのθ関数はヴェブレン関数に類似した順序数関数であり、オリジナルの定義[1]では \(\Omega^{\omega}\) 未満の順序数 \(\alpha\) と \(\beta\) に対する \(\theta(\alpha,\beta)\) しか定義されておらず、その意味で表記としての上限は小ヴェブレン順序数である。一方でバード自身らによって大ヴェブレン順序数を形式的に \(\theta(\Omega^{\Omega},0)\) と表記したり \(\Omega^{\omega}\) 以上の順序数が代入されることがあり、そのためしばしばGoogology WIkiやそれに派生するコミュニティでは \(\Omega^{\omega}\) 以上の順序数に対しても定義されていると誤解されている。実際には \(\Omega^{\omega}\) 以上の順序数に対する値は未定義である。
定義[]
関数 \(\theta \colon \Omega^{\omega} \to \textrm{On}\) は有限変数ヴェブレン関数を直接用いて以下の関係性で定義されている：
\begin{eqnarray*} \theta(\Omega^{n - 1}\alpha_{1} + \cdots + \Omega^2\alpha_{n-2} + \Omega \alpha_{n-1} + \alpha_n, \gamma) = \varphi(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n-2}, \alpha_{n-1}, \alpha_n, \gamma) \end{eqnarray*}
ただし \(n\) は自然数で \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\gamma\) は可算順序数である。\(\theta(\alpha,0)\)を省略して\(\theta(\alpha)\)と表記する。
近似[]
バードのθ関数はヴァイアーマンのϑ関数の \(\Omega^{\omega}\) への制限に非常に近く、順序数 \(\alpha < \Omega^{\omega}\) と \(\beta < \Omega\) に対し \begin{eqnarray*} \theta(1+\alpha,\beta) \approx \vartheta(\Omega \alpha + \beta) \end{eqnarray*} が成り立つが、厳密な等式は必ずしも成り立たない。実際、 \begin{eqnarray*} \theta(1,\zeta_0) = \varphi(1,\zeta_0) = \zeta_0 < \varepsilon_{\zeta_0+1} = \vartheta(\zeta_0) \end{eqnarray*} となる。