フィボナッチ階乗

フィボナッチ階乗 (Fibonorial or Fibonacci factorial) とは、フィボナッチ数を基に以下のように定義された関数である。

\[n!_{F}=\displaystyle\prod^{n}_{k=1}F_{k}\]

ここで\(F_{k}\)はフィボナッチ数である。フィボナッチ数列は本来\(0\)から始まるが、フィボナッチ階乗では\(0\)を含まず、\(1\)から数えて\(n\)番目までのフィボナッチ数の総乗と定義されている。\(n=0\)についてWolfram MathWorldでは言及していないが、オンライン整数列大辞典では\(1\)としている。

値

\(n\)	\(n!_{F}\)
\(1\)	\(1\)
\(2\)	\(1\)
\(3\)	\(2\)
\(4\)	\(6\)
\(5\)	\(30\)
\(6\)	\(240\)
\(7\)	\(3120\)
\(8\)	\(65520\)
\(9\)	\(2227680\)
\(10\)	\(122522400\)

近似値

フィボナッチ階乗の値は以下の式で近似される。

\[n!_{F}\approx C\cfrac{\phi^{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}}{5^{\left(\frac{n}{2}\right)}}\]

ここで\(C\)はフィボナッチ階乗定数、\(\phi\)は黄金数である。

\[C=\displaystyle\prod^{\infty}_{k=1}\left(1-\left(-\frac{1}{\phi}\right)^{k}\right)\]

\[\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

フィボナッチ階乗素数

フィボナッチ階乗に\(±1\)した数字が素数であるものは、知られている例が少ない。いずれも\(500!_{F}\)以内では以下の例のみ知られている。

\(n!_{F}-1=\text{Prime}\)

\(n\)	\(n!_{F}-1\)
\(4\)	\(5\)
\(5\)	\(29\)
\(6\)	\(239\)
\(7\)	\(3119\)
\(8\)	\(65519\)
\(14\)	\(137932073613734399\)
\(15\)	\(84138564904377983999\)

\(n!_{F}+1=\text{Prime}\)

\(n\)	\(n!_{F}+1\)
\(1\)	\(2\)
\(2\)	\(2\)
\(3\)	\(3\)
\(4\)	\(7\)
\(5\)	\(31\)
\(6\)	\(241\)
\(7\)	\(3121\)
\(8\)	\(65521\)
\(22\)	\(\sim1.8791\times10^{45}\)
\(28\)	\(\sim1.4196\times10^{75}\)