フェルマー素因数

フェルマー素因数 (Fermat Divisor) とは、あるフェルマー合成数を割り切ることができる素数である。

概要

フェルマー数の名前の由来であるピエール・ド・フェルマーは1650年、\(0\)を含む任意の正の整数\(n\leqq0\)について、\(F_{n}=2^{2^{n}}+1\)は全て素数であると予想した。しかしながらレオンハルト・オイラーは1732年に\(F_{5}\)が合成数であるという反例を示した。

\[\begin{eqnarray*} F_{0}&=&2^{2^{0}}=3 \\ F_{1}&=&2^{2^{1}}=5 \\ F_{2}&=&2^{2^{2}}=17 \\ F_{3}&=&2^{2^{3}}=257 \\ F_{4}&=&2^{2^{4}}=65537 \\ F_{5}&=&2^{2^{5}}=4294967297=641\times6700417 \\ \end{eqnarray*}\]

これ以外のフェルマー素数があるのかどうか、あるいはフェルマー素数が無限個存在するのかやフェルマー合成数が無限個存在するのかは未解決問題である。もちろんフェルマー数自体は無限個存在するため、フェルマー素数とフェルマー合成数の少なくともどちらか一方は無限個存在する。フェルマー数の素数判定にはぺピン検定などが利用されるが、サイズが極めて多くなるために一般に素数判定が困難である。

フェルマー数を割り切ることができる素数は、リュカの定理によりその形がプロス素数\(k\times2^{n}+1\) (\(k\)は奇数、\(2^{n}>k\)) の形に限られるため、全てのフェルマー素因数はプロス素数である。このため、新しいプロス素数が発見された場合、それがいずれかのフェルマー数を割り切れるかどうかが探索される。そしてその中で、実際にフェルマー数を割り切ることができると判明した場合、新しいフェルマー素因数が見つかったことになる。また、そのフェルマー数はフェルマー合成数となる。

一般のフェルマー数の素数判定が困難なことから、多くのフェルマー合成数のフェルマー素因数は判明していない。例えば下記の表よりずっと小さいフェルマー数である\(F_{20}=2^{2^{20}}+1\approx6.74114\times10^{315652}\)や\(F_{24}=2^{2^{24}}+1\approx1.8186\times10^{5050445}\)は、合成数である事が判明しているものの、具体的なフェルマー素因数は未知である。\(F_{33}=2^{2^{33}}+1\approx9.63027\times10^{2585827972}\)は素数か合成数か判明していない最小のフェルマー数である。

大きなフェルマー素因数

大きなフェルマー素因数TOP20 (2022年8月13日時点)

	\(k\times2^{n}+1\)	近似値	割り切るフェルマー数および一般フェルマー数
1	\(7\times2^{18233956}+1\)	\(\approx3.47308\times10^{5488968}\)	\(2^{2^{18233954}}+1\)
2	\(27\times2^{7963247}+1\)	\(\approx4.37769\times10^{2397177}\)	\(2^{2^{7963245}}+1\)
3	\(13\times2^{5523860}+1\)	\(\approx4.63225\times10^{1662848}\)	\(2^{2^{5523858}}+1\)
4	\(193\times2^{3329782}+1\)	\(\approx3.52030\times10^{1002366}\)	\(2^{2^{3329780}}+1\)
5	\(57\times2^{2747499}+1\)	\(\approx2.33309\times10^{827081}\)	\(2^{2^{2747497}}+1\)
6	\(267\times2^{2662090}+1\)	\(\approx2.33168\times10^{801371}\)	\(2^{2^{2662088}}+1\)
7	\(9\times2^{2543551}+1\)	\(\approx1.26108\times10^{765686}\)	\(2^{2^{2543548}}+1,\ \ 3^{2^{2543549}}+1,\ \ 6^{2^{2543549}}+1,\ \ 12^{2^{2543549}}+1\)
8	\(3\times2^{2478785}+1\)	\(\approx1.30294\times10^{746189}\)	\(2^{2^{2478782}}+1,\ \ 3^{2^{2478782}}+1,\ \ 6^{2^{2478776}}+1,\ \ 12^{2^{2478782}}+1\)
9	\(7\times2^{2167800}+1\)	\(\approx4.67411\times10^{652573}\)	\(2^{2^{2167797}}+1,\ \ 5^{2^{2167799}}+1,\ \ 10^{2^{2167799}}+1\)
10	\(3\times2^{2167800}+1\)	\(\approx1.20617\times10^{645816}\)	\(2^{2^{2145351}}+1,\ \ 3^{2^{2145351}}+1,\ \ 5^{2^{2145352}}+1,\ \ 6^{2^{2145348}}+1,\ \ 10^{2^{2145352}}+1,\ \ 12^{2^{2145351}}+1\)
11	\(25\times2^{2141884}+1\)	\(\approx5.36010\times10^{644772}\)	\(2^{2^{2141872}}+1,\ \ 5^{2^{2141871}}+1,\ \ 10^{2^{2141782}}+1\)
12	\(183\times2^{1747660}+1\)	\(\approx2.21143\times10^{526100}\)	\(2^{2^{1747656}}+1\)
13	\(131\times2^{1494099}+1\)	\(\approx5.40459\times10^{449770}\)	\(2^{2^{1494096}}+1\)
14	\(329\times2^{1246017}+1\)	\(\approx1.02165\times10^{375091}\)	\(2^{2^{1246013}}+1\)
15	\(2145\times2^{1099064}+1\)	\(\approx3.65243\times10^{330854}\)	\(2^{2^{1099061}}+1\)
16	\(11\times2^{960901}+1\)	\(\approx1.16213\times10^{289261}\)	\(2^{2^{960897}}+1\)
17	\(1705\times2^{906110}+1\)	\(\approx3.31967\times10^{272769}\)	\(2^{2^{906108}}+1\)
18	\(27\times2^{672007}+1\)	\(\approx4.96203\times10^{202295}\)	\(2^{2^{672005}}+1\)
19	\(659\times2^{617815}+1\)	\(\approx4.63081\times10^{185983}\)	\(2^{2^{617813}}+1\)
20	\(151\times2^{585044}+1\)	\(\approx9.37044\times10^{176117}\)	\(2^{2^{585042}}+1\)

関連項目

• フェルマー数