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ブリエ数 (Brier number) とは、全ての自然数\(n\)に対して\(k\times2^{n}\pm1\)が合成数となるような正の奇数\(k\)である[1]

概要[]

ブリエ数は第2種シェルピンスキー数リーゼル数の性質を同時に満たす\(k\)である[1]。名称は、そのような\(k\)が存在することを初めて示したEric Brierに因む[2]

Brierは1998年9月28日に最初のブリエ数を見つけた。その中で最小の数字は\(29364695660123543278115025405114452910889\)であった。この記録は2000年1月15日にYves Gallotによって\(623506356601958507977841221247\)が発見されることで更新された。Gallotはその翌日に\(3872639446526560168555701047\)、翌々日には\(878503122374924101526292469\)と、2日連続で最小のブリエ数を発見している[2]

最小のブリエ数[]

知られている最小のブリエ数は\(3316923598096294713661\)であるが、これが真に最小であるかは未解決問題である[3]

ブリエ数は少なくとも\(k\geqq10^{10}\)である。\(k<10^{10},\ n\leqq356981\)の範囲では\(k\times2^{n}\pm1\)の形式で素数となる反例が少なくとも1つ存在するためである。そのような反例の最大の例は\(1355477231\times2^{356981}+1\approx1.32123\times10^{107471}\)である[3]

出典[]

  1. 1.0 1.1 "Brier Number". Wolfram MathWorld.
  2. 2.0 2.1 "Brier Numbers". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  3. 3.0 3.1 "A076335: Brier numbers: numbers that are both Riesel and Sierpiński [Sierpinski], or odd n such that for all k >= 1 the numbers n*2^k + 1 and n*2^k - 1 are composite". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

関連項目[]

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