巨大数研究 Wiki
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Genius88 Genius88 14時間前
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矢印表記を細かくしたときに出る第三の指数

前回、累乗版を書きましたが、今回は矢印表記版を書きます。


説明は前記事で。

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Freighter-number Freighter-number 3日前
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X-矢印表記

BEAFに影響されて作った表記です。


XXとする。

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みずどら みずどら 4日前
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リハビリ

「数列と自然数の組」から「数列と自然数への組」への写像Eを入力すると「行列と自然数の組」から「行列と自然数の組」への写像hanging-Eを出力する写像hangingの定義です。E-sequenceはEの出力の数列要素を表します。


\begin{eqnarray*} \mathrm{hanging-E}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{\boldsymbol S}_0\cdots{\boldsymbol S}_{X-2}[f(n)]&(\mathrm{if}~\forall y~S_{(X-1)y}=0)\\ \mathrm{\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)} \cdots {\boldsymbol B}^{(f(n))}[f(n)]&(\mathrm{otherwise})\\ \end{array}\right.\\ \mathrm{活性化関数:}~f(n)&=&n^2\\ \mathrm{行列:}~{\boldsymbol S}&=&{\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{X-1}\\ \mathrm{列:}~{\boldsymbol S}_x&=&(S_{x0},S_{x1},\cdots,S_{x(Y-1)})\\ \mathrm{良い部分:}~{\boldsymbol G}&=&{\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{r-1…


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Freighter-number Freighter-number 4日前
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ヒドラ列

ヒドラゲームのテキスト版をアレンジして作成


と近似されます。

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Kanrokoti Kanrokoti 11日前
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亜亜原始数列の定義

英語版:


  • 1 概要
  • 2 亜亜原始数列
    • 2.1 記法
    • 2.2 連結関数
    • 2.3 形式化関数
    • 2.4 順序
    • 2.5 上昇関数
    • 2.6 共終数
    • 2.7 基本列
    • 2.8 急増加関数
    • 2.9 標準形
    • 2.10 命名

亜亜原始数列を定義します。亜亜原始数列はprince氏が考案した表記で、亜原始数列を拡張したものです。

Special thanks: prince p進大好きbot



空列\(()\)を\(0\)と略記する。

集合\(S\)を以下のように再帰的に定める:

  1. \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}}{S^n} \subset S\)である。

NO BASE CASE!!?? IT IS ILL-DEFINED!!!!



計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{con} \colon S^2 \times \mathbb{N} & \to & S \\ (s,t,n) & \mapsto & \textrm{con}(s,t,n) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

  1. \(n = 0\)ならば、\(\textrm{con}(s,t,n) := ()\)である。
  2. \(n \gt 0\)とする。\(s = (a_m)_{m = 1}^i\)と\(t = (b_m)_{m = 1}^j\)を満たす\((i,j) \in \mathbb{N}^2\)と\(((a_m)_{m = 1}^i,(b_m)_{m = 1}^j) \in S^i \times S^j\)が存在する。
    1. \(n \le i\)ならば、\(\textrm{con}(s,t,n) := a_n\)である。
    2. \(n \gt i\)とする。
      1. \(n \le i+j\)ならば、\(\textrm{con}(s,t,n)…






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Okkuu Okkuu 11日前
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証明の練習

順序数に関係する定理や命題や補題を証明する練習をする。
主にFeferman's \(\theta\)について扱う。
Feferman's \(\theta\)は以下のように定義される。 \begin{eqnarray*} C_0(\alpha,\beta)&=&\beta\cup\{0,\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_\omega\}\\ C_{n+1}(\alpha,\beta)&=&\{\gamma+\delta,\theta_\xi(\eta)\mid\gamma,\delta,\xi,\eta\in C_n(\alpha,\beta);\xi

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Hexirp Hexirp 13日前
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(2022-01-13) メモ

"Functorial Fast-Growing Hierarchies" (Juan P. Aguilera, ‪Fedor Pakhomov, ‪Andreas Weiermann) は……

まあ、とりあえず関手を使う流れがあるらしい。私の、順序数崩壊関数に高階関数を持ち込むやつに役立つかもしれない。

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じぇいそん じぇいそん 14日前
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定義ずらし矢印表記

  • 1 初めに
  • 2 定義ずらし矢印表記
    • 2.1 記法
      • 2.1.1 略記
    • 2.2 順序
    • 2.3 巨大数
  • 3 解析

あけましておめでとうございます(今更)

割と長い間巨大数も巨Wikiも触ってなかったので、リハビリがてら昔考えた矢印表記でも作ろうかな、と思ったので、今壊れかけのPCでこれを書いています。

ちなみ\(ε_0\)(これのやり方も忘れてた)くらいの強さなので、大して強くはないです。


  1. 任意の\(n∈ℕ_{>0}\)に対して、\(↑^n[]∈矢印\)とする。
  2. 任意の\(X∈矢印\)に対して、\(X∈矢印の束\)とする。
  3. 任意の\(X_1,X_2,...,X_n∈矢印 (∀n∈ℕ_{>0})\)に対して、\(X_1X_2...X_n∈矢印の束\)とする。
  4. 任意の\(X∈矢印の束\)と任意の\(n∈ℕ_{>0}\)に対して、\(↑^n[X]∈矢印\)とする。

以降、特にことわりがない限り

\(n,a,a_i,b∈ℕ_{>0} (∀i∈ℕ_{>0})\)

\(X,X_1,X_2,...∈矢印\)

\(Y,Y_1,Y_2,...∈矢印の束、または空\)

\(Z,Z_1,Z_2,...∈矢印の束\)

とする。


  1. \(↑^n[]=↑^n\)としてもよい。
  2. \(a_1X_1a_2X_2...a_nX_na_{n+1}=X_1X_2...X_n(a_1,a_2,...,a_{n+1})\)としてもよい。

要するに、強い矢印の方がでかいよってだけです。

任意の\(Z_1,Z_2\)に対し、二項関係\(Z_10} \mapsto G(n)∈ℕ_{>0}\)を定義ずらし矢印表記を用いて、以下で定める。

  1. \(G(n)=3↑^{n}3\)

定義ずらしグラハム関数(名前長いな)を用いて

  1. \(G^{64}(4)\)

を「2022年最初のグラハム数」とする。


fghを使って大…







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Okkuu Okkuu 17日前
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ふぃっしゅ数の計算過程を表示するプログラム

  • 1 まえがき
  • 2 プログラム
  • 3 使い方
  • 4 あとがき

ふぃっしゅ数の計算過程を表示するプログラムを作りました。 この記事と同じようにプログラムの出力を\(\TeX\)でコンパイルすると計算過程になります。


旧ふぃっしゅ数
ふぃっしゅ数バージョン\(1\)
旧ふぃっしゅ数バージョン\(2\)
ふぃっしゅ数バージョン\(2\)
旧ふぃっしゅ数バージョン\(3\)
ふぃっしゅ数バージョン\(3\)
ふぃっしゅ数バージョン\(5\)
ふぃっしゅ数バージョン\(6\)(現版)
ふぃっしゅ数バージョン\(6\)(修正版)
ただしふぃっしゅ数バージョン\(6\)(修正版)はこの記事で提案したものです。


ふぃっしゅ数を計算したい場合はただ実行ボタンを押してください。
ふぃっしゅ関数を計算したい場合は下の「入力」欄に数字を入れてから実行ボタンを押してください。
下の「出力」欄に計算できた分の計算結果が表示されます。


ふぃっしゅ数系列で計算可能範囲のものはこれで全部ですね。
疲れた~~~~~
ふぃっしゅ数バージョン\(6\)を計算するプログラムは多分世界初だと思います。

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Okkuu Okkuu 17日前
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Feferman's θと同値な関数を定義する

Feferman's \(\theta\)は以下で定義される順序数崩壊関数です。 \begin{eqnarray*} C_0(\alpha,\beta)&=&\beta\cup\{0,\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_\omega\}\\ C_{n+1}(\alpha,\beta)&=&\{\gamma+\delta,\theta_\xi(\eta)\mid\gamma,\delta,\xi,\eta\in C_n(\alpha,\beta);\xi0) \end{cases}\\ C'_0(\alpha,\beta)&=&\{\Omega_\gamma\mid\gamma\leq\omega\}\cup\{\theta'_\alpha(\gamma)\mid\gamma

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Gaoji Gaoji 20日前
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箱入り矢印表記

  • 1 目的
  • 2 定義
    • 2.1 牙城
  • 3 比較
    • 3.1 クヌースの矢印表記との比較とワイナー階層を基本列としたFGHとの比較の予想
  • 4 3g(↥↥,3)3g(↥↥,3)3     壁は0,g(↥↥,3)===
  • 5 3↥3↥3     壁は1,g(↥↥,3)===
    • 5.1 ワイナー階層を基本列としたFGHとの比較の予想(~箱入りトリトリまで)
    • 5.2 矢印が多い時

 ()を組み合わせて何か巨大数を作る時、(((...)))の形が一番大きくなることが多かったので、()()...()の形が最も大きくなるような定義に挑戦しました。また、一番内側の()を↑に変えて矢印表記みたいにしました。トリトリと区別がつかないとあとで困りそうな気がしたので、↑ではなく↥を使いました。

 定義が上手くいってるかやwell-definedかどうか、計算が終了するかなど、まだ分かっていないことは「未完の物語」や「将来の展望」として、この定義である箱入り娘の物語に盛り込みました。いろいろと証明されてないので、箱入り娘が外の世界に出られるのかは計算してみるまで分かりません。また計算が終了する証明がまだないことや証明をする技術が自分にまだないことから、計算せずに直ちにこの物語の結末を知ることもできません。しかしこのことに焦りを感じる必要はないことは簡単にわかります。なぜなら結末が数学という道具では未だに証明されていないことに物語として重要な意味を持ち、このことがとても素敵だからです。このような数学的な曖昧さを物語としての柔軟性に落とし込める巨大数を作ることも目的でした。

 ただ、計算の操作を書いた時に説明が不十分でほかの操作の解釈が入り込んでしまうことがあります。この巨大数については想定してないほかの操作の解釈が入り込むことは目的になかったので、ここで…


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Okkuu Okkuu 20日前
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ふぃっしゅ数について

ブログ記事として投稿している「ふぃっしゅ数について」シリーズのまとめです。
旧ふぃっしゅ数について
ふぃっしゅ数バージョン\(1\)について
旧ふぃっしゅ数バージョン\(2\)について
旧ふぃっしゅ数バージョン\(3\)について
旧ふぃっしゅ数バージョン\(4\)について
ふぃっしゅ数バージョン\(5\)について
ふぃっしゅ数バージョン\(6\)の定義の不備について
ふぃっしゅ数バージョン\(7\)について(筆者の実力不足により執筆は無期限延期中)
ふぃっしゅ数バージョン\(7\)についての勉強ですが、先行研究を読むことにします。

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Touhouu7nivprof Touhouu7nivprof 20日前
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思いついた巨大数を書き留める

n≧2の累乗、

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Okkuu Okkuu 21日前
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ふぃっしゅ数バージョン6の定義の不備について

  • 1 まえがき
  • 2 不備
  • 3 あとがき
  • 4 追記(修正案)
  • 5 再追記
  • 6 再々追記

ふぃっしゅ数バージョン6の定義に致命的な不備を見つけたのでそれについて書きます。
どれくらい致命的かというと、ふぃっしゅ数バージョン\(6\)の強さが\(f_{\zeta_0+1}(63)\)から\(f_{\omega^{\varepsilon_\omega+\varepsilon_0+1}+1}(63)\)になります。
PS:違いそうです。今計算し直しています。
PS:\(m(2,2)(m(2,2)(m(2,1)))_{1_1}\)が\(f_{\omega^{\varepsilon_\omega+\varepsilon_1}}\)くらいの強さになるとこまでは分かったんですが、それ以降の解析がむずいです。というかどうせ修正されるんだから今のやつを解析しても意味ない気がします。あと寝不足がひどいのでもう解析はやめて仮眠を取ります。


突然ですが、m(m,n)変換で\(f_{\varepsilon_\omega2}\)に相当する強さの関数は何でしょうか?
ある程度ふぃっしゅ数に詳しい皆さんはすぐに\(m(1,3)(m(1,2))(m(1,1))_2(m(1,3)(m(1,2))(m(1,1))_1)\)と考えると思います。
しかし、ふぃっしゅ数バージョン\(6\)の定義をよく見てみると、\(m(1,3)(m(1,2))(m(1,1))_2=m(1,1)_2=m(0,2)\)であることが分かります。
つまり、\(m(1,3)(m(1,2))(m(1,1))_2(m(1,3)(m(1,2))(m(1,1))_1)\)は\(f_{\varepsilon_\omega+1}\)の強さしか持たず、\(f_{\varepsilon_\omega…







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Hexirp Hexirp 21日前
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(2022-01-05) メモ

ω_α を多変数化すると Φ(α,β,…) になる。

Φ(α,β,…) をカントール標準形化すると Ι になる。

Ι を数え上げると Ι(α) になる。

Ι(α) を多変数化すると Ι(α,β,…) になる。

Ι(α,β,…) をカントール標準形化すると Μ になる。

Μ を数え上げると Μ(α) になる。

Μ を多変数化すると Μ(α,β,…) になる。

Μ(α,β,…) をカントール標準形化すると Κ になる。

Κ を数え上げると Κ(α) になる。

Κ を多変数化すると Κ(α,β,…) になる。

Κ をカントール標準形化すると Π^1_2-記述不可能基数になる。

そして、更に操作を繰り返して n ∈ N に対する Π^1_n-記述不可能基数になる。

そして、 Π^2_0-記述不可能基数となる。

そして、 n ∈ N に対する Π^2_n-記述不可能基数の階層が出来る。

そして、 Π^3_0-記述不可能基数となる。

そして、 Π^m_n-記述不可能基数となる。

この先には二番目の Stegert 関数で使われる θ-Π^1_n-記述不可能基数がある。これは Π^m_n-記述不可能基数の自然数 m を順序数 θ へ拡張したものである。

この先には、更に鋭敏基数というものがあるらしいが、私には、よくわからない。

とりあえず、 ψ, χ, … の列を ω の先まで伸ばせない問題は、 θ-記述不可能基数を使えば解決できそう。

  • 弱マーロ基数を使った ψ, χ による二段階の崩壊
  • 弱コンパクト基数を使った ψ, χ, τ による三段階の崩壊
  • Π^1_n-記述不可能基数を使った ψ^n による ω 段階の崩壊
  • Π^m_n-記述不可能基数を使った ψ^{m,n} による ω^2 段階の崩壊
  • θ-Π^1_n-記述不可能基数を使った…
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Hexirp Hexirp 2021年12月30日 (木)
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(2021-12-30) バイバイン

藤子・F・不二雄『ドラえもん』のエピソードの一つである『バイバイン』では、ひみつ道具「バイバイン」と其れが齎すトラブルが描写されている。このバイバインは其の性質について物理学的な観点に立脚した考察が行われてきたことでも有名であろう。主な関心ごとは「最後にドラえもんがバイバインにより増殖しすぎた栗まんじゅうをロケットで宇宙に打ち上げているが、これで大丈夫だったのだろうか?」というものである。


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まず、単純に考えると、栗まんじゅうが指数関数的に増殖するからには、宇宙が如何様に遠大であっても、すぐに栗まんじゅうで宇宙が満たされてしまうというのは明らかな話である。しかし、この議論に対して「栗まんじゅうが圧力により潰れると増殖が止まる可能性がある」や「相対性理論的効果を考慮する必要がある」などと反論を行うことも出来る。


ひとまずは相対性理論を考慮しないことにしよう。私は相対性理論を理解しておらず、また今から学ぶにしても難しすぎる。その代わりにニュートン力学などで考察することにする。


まず、「栗まんじゅうが圧力により潰れると増殖が止まる可能性がある」という反論について考えてみよう。「栗まんじゅうが潰れると分裂しなくなる」という仮定はバイバインの性質に関わるものである。これに対して「もし、そうであったら、なぜドラえもんは重機などで栗まんじゅうを潰さなかったのか?」という反論などもあるだろう。この反論から更なるバイバインの性質に対する考察を深めていくことが出来るが、しかし、私は「キャラクターの行動は非合理的なこともある」という仮定を…





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Hexirp Hexirp 2021年12月30日 (木)
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(2021-12-30) ゴッパトス・クリーチャー

私は、アスター氏による「デュエマにゴッパトス・プレッシャーってクリーチャーいるんだけど・・・」 で Google 検索した。すると、すぐに「《超巨星ゴッパトス・プレッシャー》」というページが見つかった。これは「デュエル・マスターズオリカ 投稿ウィキ!」というサイトのページである。つまり、「ゴッパトス・プレッシャー」はオリカの名前ということである。

オリカとは、カードゲームにおいて、その公式ではなく、そのファンにより作られたカードのことである。オリカには、絵だけを差し替えられたものや、名前やテキストなども創作されているものなどがある。「ゴッパトス・クリーチャー」も、そのようなオリカなのである。

となると、次に気になるのは「ゴッパトス・クリーチャー」は巨大数の「ゴッパトス」を由来にしているかどうかである。「《超巨星ゴッパトス・プレッシャー》」のページを読むと、このカードが wha 氏により作られ「【企画】ドキンダンテ・12の災厄【合作】」と「カードリスト:wha」に記載されていることが分かる。

「ゴッパトス・クリーチャー」は「【企画】ドキンダンテ・12の災厄【合作】」では VIII に記載されていて「カードリスト:wha」では No. 19 に記載されている。これらを見ると「ゴッパトス・クリーチャー」はサイクルの一部であることが分かる。

すなわち、次の 5 枚のサイクルである。

《超巨星ウルトラ・センティファクト》
第百階乗数 (centifact) が由来だと思われる。
《超巨星チューリング・エクスマキナ》
チューリングマシンが由来だと思われる。
《超巨星ゴッパトス・プレッシャー》
ゴッパトスが由来だと思われる。
《超巨星ハイパー・インフレーション》
ハイパーインフレーションが由来だと思われる。
《超…
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Genius88 Genius88 2021年12月21日 (火)
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累乗を細かくしたときに出る第二の指数

実際には、『累乗』というよりは、まったく別のものなのですが、“『乗法』の『乗法』“という概念では同じです。

3³=3×3×3

²3³=3×2×2×2

これによって、細かな数を表せますが、実際、掛け算を加えているようなものです。

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Hexirp Hexirp 2021年12月20日 (月)
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(2021-12-20) 順序数崩壊関数

私は巨大数の研究を始めた当時から順序数へ関心を持ち続けていた。それが順序数崩壊関数として結実した。年の瀬なので成果を纏めようと思う。


\( \mathrm{pCIC} + \mathrm{UA} + \mathrm{AC} \) で作業を行う。


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Okkuu Okkuu 2021年12月12日 (日)
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順序数電卓

  • 1 まえがき
  • 2 順序数電卓
  • 3 説明
  • 4 使い方
  • 5 あとがき

最近巨大数に関係することをマジで何一つやっていなかったので、リハビリがてら順序数電卓を作ってみました。


これです。


0とwと+と*と^と(と)とeからなる文字列の集合\(T\)を以下のように再帰的に定めます。

  1. 0\(,\)w\(\in T\)
  2. \(a,b\in T\)に対し(\(a\)+\(b\))\(,\)(\(a\)*\(b\))\(,\)(\(a\)^\(b\))\(\in T\)
  3. \(a\in T\)に対しe\(a\in T\)

この\(T\)について標準形や大小関係をなんやかんやいい感じに定めます(本来はこの辺も厳密に書かなきゃいけないんですが、私は残念ながらコーディングで力尽きました)。
このプログラムで1行に\(T\)の要素を1つ入力すると「標準形かどうかの判定」「標準形でない場合は対応する標準形」を出力してくれます。
また、1行に\(T\)の要素を2つ入力すると、それに加えて「大小関係の判定」もやってくれます。


さっきのリンクから「C++ shell」に飛んで右下の青い「Run」ボタンを押します。
入力は下の「execution」に打ちます(出力もそこに出ます)。
例えば「((w+(w^0))*(w+(w^0))) ((w+(w^0))^(w+(w^0)))」と入力してみると、
((w+(w^0))*(w+(w^0))) is not a standard form
normalizing ((w+(w^0))*(w+(w^0))) results in (((w^((w^0)+(w^0)))+(w^(w^0)))+(w^0))
((w+(w^0))^(w+(w^0))) is not a standard form
normalizing…











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Naruyoko Naruyoko 2021年12月12日 (日)
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?→φ→ψ→三

Kanrokoti氏がCollapsificationの考察で\(\varphi\rightarrow\psi\rightarrow\textrm{三}\)という図式で、\(\varphi\)のさらに左に位置する何らかの表記があることとは少しずれてしまうが、\(\textrm{〇}\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\textrm{〇}\left(\begin{array}{c}1\\\textrm{〇}\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\end{array}\right),\textrm{〇}\left(\begin{array}{c}1\\\textrm{〇}\left(\begin{array}{c}1\\\textrm{〇}\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right),\cdots\textrm{の極限}\)が\(\varphi(\varphi(\varphi(\cdots,0),0),0)=\varphi(1,0,0)=\Gamma_0\)と対応することとした。

\(\varphi\)の形が\(\psi\)や\(\textrm{三}\)と異なることから細かいところまでうまく一致させることは諦めた。

余談だが、\(\Gamma_0=\psi_0(\psi_1(\psi_1(\psi_1(0))))\)である。どうやらこちらに対応することが好ましかったようだ。


  • 1 1変数〇関数
    • 1.1 表記
    • 1.2 略記
    • 1.3 順序
    • 1.4 共終数
    • 1.5 基本列
    • 1.6 急増加関数
    • 1.7 限界…

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Hexirp Hexirp 2021年12月12日 (日)
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(2021-12-12) 排中律

型理論での排中律の事情を書きます。


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Hexirp Hexirp 2021年12月12日 (日)
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(2021-12-12) メモ 2

  • 1 前説
  • 2 名前
  • 3 定義
  • 4 解析
  • 5 注釈
  • 6 出典



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Hexirp Hexirp 2021年12月11日 (土)
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(2021-12-12) メモ

ラティエンの小プサイ関数で ψ_Ω(ψ_{χ_{ψ_Ω(1)}(0)}(0)) は標準形ですか? なお、もし、これが非標準形だと弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数の解析が殆ど壊れます。


いや、大丈夫だ。

ψ_{χ_{ψ_Ω(1)}(0)}(0) は、 χ_{ψ_Ω(0)+1}(0), χ_{φ_{ψ_Ω(0)+1}(0)}(0), χ_{φ_{φ_{ψ_Ω(0)+1}(0)}(0)}(0), ... になるわけだ。

つまりだ。

χ_{ψ_Ω(1)}(0) は、 χ_{ψ_Ω(0)+1}(0), χ_{φ_{ψ_Ω(0)+1}(0)}(0), χ_{φ_{φ_{ψ_Ω(0)+1}(0)}(0)}(0), ... の上限たる最小の正則基数なわけだ。

ここで、 χ_{ψ_Ω(0)+1}(0), χ_{φ_{ψ_Ω(0)+1}(0)}(0), χ_{φ_{φ_{ψ_Ω(0)+1}(0)}(0)}(0), ... に必要な ψ_Ω(0) が B(α,β) の中に含まれ得ないのではないかと思ったわけだ。

実際は β 由来で B(α,β) の中に入ってくるから大丈夫なわけだ。


ここからは弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数の話なわけだ。

これと同じことが ψ_{χ(ψ_{χ(0)(M(1)+1)}(0))(1)}(0) で起こるわけだ。

ψ_{χ(ψ_{χ(0)(M(1)+1)}(0))(1)}(0) は、 χ(M)(1), χ(M+M)(1), χ(M+M+M)(1), ... になって欲しいのである。

つまり、 χ(ψ_{χ(0)(M(1)+1)}(0))(1) は、 χ(M)(1), χ(M+M)(1), χ(M+M+M)(1), ..…

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Hexirp Hexirp 2021年12月11日 (土)
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(2021-12-12) チートシート

弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数のチートシートを "Cheatsheet on Properties of OCFs" を参考にして記述する。


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Hexirp Hexirp 2021年12月11日 (土)
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(2021-12-11) チートシート

弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数のチートシートを "Cheatsheet on Properties of OCFs" を参考にして記述する。


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Hexirp Hexirp 2021年12月11日 (土)
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(2021-12-11) 弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数

その場に留まるためには全力で走り続けなければならない。

私は順序数崩壊関数の頂を目指して弱マーロ基数の領域に足を踏み入れる。

"順序数崩壊関数 (2021-12-20) § 弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数の定義" に最新版を記載している。


  • 1 前説
  • 2 名前
  • 3 定義
  • 4 解析
  • 5 注釈
  • 6 出典

順序数崩壊関数は、順序数解析の研究において現れ、そして巨大数論に入ってきた。それらは順序数表記と急増加関数と結びつき関数の増大速度を計る強力な物差しとなった。しかし、拡張ブーフホルツ関数を超える領域において順序数崩壊関数の使用率は少ない。なぜだろうか?

その理由の一つは力不足であることだろう。拡張ブーフホルツ関数の先では、バシク行列システムやタラノフスキーの順序数表記や超越整数などの魑魅魍魎が跋扈している。だが、それでも部分的な解析に使うことは出来るはずである。それも行われないのは、なぜだろうか?

その最大の理由は UNOCF の蔓延である。 UNOCF は簡単である。 UNOCF は拡張可能である。それが人々を引き付ける。しかし、そこには定義などない。 UNOCF のネスト構造が正しくても、その大きさがラティエンの小プサイ関数よりも小さいことは十分に在り得る。では、なぜ UNOCF は人気なのか?

それは、拡張ブーフホルツ関数を超える順序数崩壊関数が軒並み難しいからである。だが、それは解決できないだろう。それは本質的な難しさがあるからである。しかし、本質的ではない難しさを取り除いて本質的な難しさだけを浮かび上がらせることは出来ないだろうか。そうすれば、順序数崩壊関数への理解を深めることが出来るはずである。そして、順序数崩壊関数の使用率を上げることが出来るだろう。では、本質的で…



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Hexirp Hexirp 2021年12月11日 (土)
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(2021-12-11) 解析

"Cheatsheet on Properties of OCFs" を参考にする。


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Binary198 Binary198 2021年12月10日 (金)
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新しいZ差分シーケンス関数

これはYシーケンスと非常によく似ています。これがその仕組みです。


シーケンスは1で始まり、負でない整数または\(\omega\)で構成されている必要があります。 \(S\)をシーケンス、\(n\)を正の整数とします。シーケンスの展開を見つけるには、次のようにします。

  • \(S = (m)\)の場合、\(S[n] = m \cdot n\)。
  • \(\forall k(S_k \in \{0,1\})\)の場合、\(S[n] = S\)ですが、最後の1は\(n\)ゼロのチェーンに置き換えられます。
  • \(\exists m(S_m = \omega)\)の場合、\(S[n] = S\)ですが、\(S_m = n\)。 \(m\)の複数の値がこれを満たす場合は、最大のものを使用します。
  • それ以外の場合は、次の手順を実行してシーケンスを展開します。
    • \(S_{len(S)}\)から1を引きます。
    • \(S\)のような富士山表記のようなバージョンを作成します。
      • \(M\)をシーケンスのシーケンスとします。ここで\(M_1 = S\)。
      • 次に、\(M_{n+1}\)は\(M_n\)の要素の違いのシーケンスです。
      • \(len(M_k) = 1\)のような\(k\)に到達するまで、\(M\)のメンバーを繰り返し生成します。
    • 次に、次の\(n\)回を繰り返します。
      • \(i = 1\)と\(j = (S_{len(S)})_i\)をしましょう。 \(S_j^2\)を\(S_{len(S)}\)に追加します。
      • インクリメント\(i\)。
    • 次に、\(M\)を下に移動し、「次の各シーケンスは前のシーケンスの違いである」がまだ真になるように番号を追加します。
    • \(M\)の一番下の行を返します。

だから、\((1,3,7,12)[3]\)を…



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Hexirp Hexirp 2021年12月10日 (金)
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(2021-12-10) 解析

"Cheatsheet on Properties of OCFs" を参考にする。


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Hexirp Hexirp 2021年12月10日 (金)
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(2021-12-10) メモ

その場に留まるためには全力で走り続けなければならない。

私は順序数崩壊関数の定義における自身の限界に挑戦することにした。


  • 1 前説
  • 2 名前
  • 3 定義
  • 4 予想
  • 5 注釈
  • 6 出典


「弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数」である。

"Simple Ordinal Collapsing Functions with A Club Class for counting Weakly Mahlo Cardinals" である。

"SOCFwACCfcWMC" である。


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Hexirp Hexirp 2021年12月9日 (木)
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(2021-12-09) メモ

弱マーロ基数とは、それ未満の正則基数が定常集合となる基数である。

再帰的マーロ順序数とは……

定常集合とは、いかなる club 集合とも交わる集合である。

club 集合とは正規関数である。正規関数とは club 集合である。

定常集合とは、いかなる正規関数の値域とも交わる集合である。

ある定常集合と、ある正規関数の値域が交わる時において、その交わる点では何が起こるのだろうか?

その点は、正規関数の不動点となり、また正規関数に対して閉じている点になる。

……弱マーロ基数の「閉じているか」による定義と似ていないだろうか?

\( \kappa \) は、「全ての正規関数 \( f : \kappa \rightarrow \kappa \) に対して正則基数 \( \lambda \) が存在して \( f \mathord{\left[ \lambda \right]} \subseteq \lambda \) である」を満たす。これが弱マーロ基数と一致するかもしれない。

\( \mathrm{Reg} \) は \( \mathrm{On} \) の上で定常集合である。

\( \mathrm{Stat} \) として何を取れば良いのだろうか?

\( \mathrm{Card} \) が \( \mathrm{Reg} \) に跳ね返されながら昇っていく……

\( \chi ( \_ ) \) による帰納的な生成で? でも、これじゃ \( M \) の先に行けない。

うーん……

生半可な定義だと……

\( B \subseteq A \) で \( A \prec B \) だと定義しちゃっているんだから……正規関数の増加速度に整合的になるように……

生半可な定義だと先頭の方を切り落としたものが無限降下列に…

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Banana-Foolish Banana-Foolish 2021年12月9日 (木)
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新・拡張ヴェブレン関数(仮)

拡張ヴェブレン関数をずっと放置したままではいけないと思ったのでそろそろ完成させたい。

I WIN!!じゃなくなったら仮じゃなくなると思われる。


これまでのようにヴェブレン関数→多変数化→変数の位置を変数化(2変数化)→多変数化→...→それを数える使命を持った添え字を追加...

みたいな感じでやっていく予定。

あとバックスラッシュとか使ってるとコピペが編集画面からでしかできないのでできる限り使わないつもり


OTを順序数全体のクラスとする

集合T

  • 1:a∈OTのとき、a∈T
  • 2:{a,b}∈T^2のとき、(a,b)∈T
  • 3:1と2の繰り返し

集合T2

  • 1:a∈Tのとき、a∈T2
  • 2:a∈T,b∈T2かつ{c,d,e,f}∈OTでa=(c,d)、b=(e,f)かつc
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Hexirp Hexirp 2021年12月9日 (木)
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(2021-12-09) 型理論

型理論を作る。


  • 1 名前
  • 2
  • 3 判断の型
  • 4 環境
  • 5 帰納型と余帰納型の概論
  • 6 判断
    • 6.1 関数の型
    • 6.2 関数
  • 7 参考文献

名前は無限であり比較可能である。


\( \Gamma \) を環境であるとする。 \( t \) を項であるとする。 \( A \) を項であるとする。 \( i \) を項であるとする。 \( \Gamma \vdash t : A \mathrel{\&} i \) は判断の型である。


\( \mathord{\diamond} \) は環境である。

\( \Gamma \) を環境であるとする。 \( x \) を名前であるとする。 \( A \) を項であるとする。 \( i \) を項であるとする。 \( \Gamma, \paren{ x : A \mathrel{\&} i } \) は環境である。


帰納型の導入則は構築子を表す。帰納型の除去則は帰納法の原理を表す。余帰納型の導入則は余帰納法の原理を表す。余帰納型の除去則は分解子を表す。帰納型の除去則は計算規則を持つ。余帰納型の導入則は計算規則を持つ。


\( \Gamma \) を環境であるとする。 \( A \) を項であるとする。 \( B \) を項であるとする。 \( i \) を項であるとする。 \( j \) を項であるとする。 \( x \) を名前であるとする。 \( \Gamma \vdash A : \textrm{Type} \paren{ i } \mathrel{\&} \textrm{Multiplicity.zero} \) であるとする。 \( \Gamma, \paren{ x : A \mathrel{\&} \textrm{Multiplicity.zero} }…







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Genius88 Genius88 2021年12月9日 (木)
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Wチェーン表記

n→n→n=n(↑)ⁿn

n⇒n⇒n⇒n=n(→)ⁿn(→)ⁿn=n(↑)ⁿⁿn

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Genius88 Genius88 2021年12月8日 (水)
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累階乗

もし仮にこの値をnとすると.

階乗 は、

{n!} と表され、1からn番目の数までをかける。

累階乗 は、

{n⇠} と表され、1からn番目の数までを冪乗する。

n=1... 1

n=2... 2

n=3... (3×3)

n=4... {3×3(4×4×4)}

n=5... [3×3{4×4×4(5×5×5×5)}]

となり、n=1、2は規則性がないため、例外である。

コメントを読んで修正しましたが、修正が足りていなかったようです。

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Hexirp Hexirp 2021年12月8日 (水)
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(2021-12-08) メモ

Aczel's encoding を使えば型理論の中で集合をモデル化できる。 "Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics" では Aczel's encoding と型理論的な選択公理を組み合わせて ZFC 集合論のモデルが型理論の中で構築されている。

型理論の中で順序数を使うためには Brouwer ordinal というものを使えば良いらしい? "The constructive Hilbert program and the limits of Martin-L¨of type theory" (p. 19) に書いてあった。


やること:

  • 「マーロ基数を数え上げる関数による単純な順序数崩壊関数」を作る。
    • 「マーロ基数による単純な順序数崩壊関数」を作る。
  • 少なくとも ω 個の宇宙を持ち、 ZFC 集合論の公理を満たす集合の型が定義できる型理論を作る。
  • ZFC 集合論の公理を満たす型をベースとして型理論の中で順序数崩壊関数を記述する。
  • バシク行列システム 4.1 の解析をする。
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Hexirp Hexirp 2021年12月7日 (火)
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(2021-12-07) メモ

私が OCF シリーズを作った時は色々な定義の要素を寄せ集めていた。


ここでの \( \nu \in C \mathord{\left( \alpha, \xi \right)} \) の部分はイェーガーとブーフホルツのプサイ関数に由来する。これは添字を意味あるものだけに制限したかっただけで、おそらく性質面では大きな意味はない。なので、取り除いても良いだろう。

そう、 C 関数が返すものがクラスである限りは大きな意味はない。だが、それが集合である時は \( \nu \) が大きくなる時の ψ 関数の上限を取り除く働きをする。だが、これは寧ろ歪な挙動と言え、やはり取り除くべきだろう。

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Genius88 Genius88 2021年12月7日 (火)
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ウートリエル数



ƒ≫F(↑↑↑↑↑)ⁿRt n=1125899906842624!

 ៛²

R≈Σ(64i+250000)

i=1 ៛=124912491249…

    -------------

       n(2)・・・n(2)≈n→10→1000→100000

 ៛²

t≈Π(6982i+250000)

i=1          "

F=A(2986,5972,11944)

このときのƒの値をウートリエル数という。


ウートリエル数をnЮと表すと、

εЮ≫g64(32460)

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Hexirp Hexirp 2021年12月6日 (月)
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(2021-12-06) 投票のテスト

ここで投票のテストです。 AjaxPoll を使えば記事にも埋め込めるらしいのですが。

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Hexirp Hexirp 2021年12月5日 (日)
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(2021-12-05) メモ

\( B \colon \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{Set} \) と \( \mathbf{I} \colon { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) を相互再帰により定義する。

\( B \) 関数は次の条件を満たす最小の集合である。

  • 土台
    • \( \xi \in \beta \rightarrow \xi \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \)
  • 加法
    • \( 0 \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \)
    • \( \xi \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \land \zeta \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \rightarrow \mathord{\left( \xi + \zeta \right)} \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \)
  • 増大関数
    • \( 1 \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \)
  • 再帰
    • \( x \in { B \mathord{\left( a, \beta \right)} } ^ { _ < \mathrm{On} } \land \xi \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \land x \prec a \rightarrow \mathrm{I} …
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Hexirp Hexirp 2021年12月4日 (土)
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(2021-12-04) メモ

やること:

  • 「マーロ基数を数え上げる関数による単純な順序数崩壊関数」を作る。
    • 「マーロ基数による単純な順序数崩壊関数」を作る。
      • 少なくとも ω 個の宇宙を持ち、 ZFC 集合論の公理を満たす集合の型が定義できる型理論を作る。
  • バシク行列システム 4.1 の解析をする。

「マーロ基数による単純な順序数崩壊関数」での χ 関数の挙動について:

  • \( \chi ( \omega ) = \mathbf{I} ( [ \omega ] ) \)
  • \( \chi ( M ) = \mathbf{I} ( [ 1, 0 ] ) \)
  • \( \chi ( M + M ) = \mathbf{I} ( [ 2, 0 ] ) \)
  • \( \chi ( M + M + M ) = \mathbf{I} ( [ 3, 0 ] ) \)

Rathjen's 1990 function の B 関数を「 On に対して club 的なクラス」の言葉で書き直す:


私は多大なる自信と共に「到達不能基数を数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数」を世の中に送り出した。

しかし、今日、 p-進大好き bot さんにより定義の一部に誤りが指摘された。しかしも、すぐに修正できるようなものではない。致命的なものだ。

問題は \( \mathbf{I} \) 関数である。この定義では \( { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \) の整礎帰納法というアイデアを使っていた。このアイデアは新規性を確保できる重要な要素であった。これが落とし穴である。

\( \mathbf{I} \mathord{\left( \mathord{\left[ 1, 0 \right]} \right)} \mathord{\le…

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Hexirp Hexirp 2021年12月3日 (金)
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(2021-12-03) バシク行列システム 4.1 の解析

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Hexirp Hexirp 2021年12月3日 (金)
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(2021-12-03) バシク行列システム四の美しくなさ

I believe in the totality of Bashicu Matrix System 4. The reason is that I find its structure beautiful.
— Hexirp, “The Comment Section of ‘Infinite Loop in BMS’”.

私は、かねてからバシク行列システム四は美しいので停止性を信じていると言ってきた。しかし、何かを主張する時には、反論を予想しておくものである。特に、それが曖昧な言明である時は。


  • 1 トリオ数列システムの不自然な強さ
  • 2 食いちぎられ現象
  • 3 食いちぎられ現象とトリオ数列システムの強さ
  • 4 食いちぎられ現象がないバシク行列システム
    • 4.1 解析

私は「到達不能基数を数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数」という記事を書いたことで到達不能基数レベルの表記について理解を深めることが出来た。特に、その成果の一つが超限変数ブーフホルツ関数の大きさを上側から見積もれるようになったことである。

ここで、ふと思ったのである。

ペア数列システムは二変数ブーフホルツ関数である。となれば、トリオ数列システムは三変数ブーフホルツ関数になるのが自然である。しかし、実際には三変数ブーフホルツ関数どころか 2-到達不能基数や hyper-到達不能基数や弱マーロ基数などのレベルを遥かに超えていく。これは不思議なことだなあ。


私には、この強さの原因に心当たりがあった。それが、展開の際に下側の木の一部分が食いちぎられてコピーされるという現象である。この現象を私が初めて知ったのは Koteitan さんの呟きであった。


(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,2)(3,3,3,2)(4,4,4,2)(5,5…






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Hexirp Hexirp 2021年12月3日 (金)
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(2021-12-03) 型理論

Π 型は、あるいは依存直積型は、あるいは依存関数型は、 abstraction と application により特徴づけられる。 Π 型は、正確に言えば、帰納型と余帰納型のどちらでもない。

abstraction と application は、帰納型の導入則と除去則として見なすことができ、また余帰納型の除去則と導入則として見なすことができる。

abstraction の後に application をすると元に戻る
β-簡約である。
帰納型の導入則と除去則の打ち消しである。
application の後に abstraction をすると元に戻る
η-変換である。
余帰納型の導入則と除去則の打ち消しである。
application は等式を保つ
f = g かつ x = y なら f x = g y である。
帰納型の除去則の法則である。
abstraction は等式を保つ
関数外延性である。
余帰納型の除去則の法則である。
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Hexirp Hexirp 2021年12月3日 (金)
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(2021-12-03) メモ

とりあえず、ラティエンの小プサイ関数と同じレベルの関数を作るか。その後に M_2 を崩壊させる方法を探そう。

大予想: 増大関数の選択によるズレは特異基数の崩壊において吸収される。

(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)ψ_3(0)+ψ_2(ψ_3(0)+ψ_1(ψ_3(0)+ψ_2(ψ_3(0)))+ψ_0(ψ_3(0)+ψ_2(ψ_3(0)+ψ_1(ψ_3(0)+ψ_2(ψ_3(0)))) に変換するような写像を使って楽にペアノ数列システムの停止性を証明できないかな。

On の上の club 集合を取り扱う必要が出てきている。 pCIC を使うか、再帰的類似物を使うか……

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Hexirp Hexirp 2021年12月3日 (金)
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(2021-12-03) 記録

バシク行列システム四の美しくなさについて。

  1. https://twitter.com/koteitan/status/1169097305603133440
  2. https://twitter.com/hexirp_prixeh/status/1466457738746028032
  3. https://twitter.com/koteitan/status/1466463004673806337
  4. https://twitter.com/hexirp_prixeh/status/1466463409730310148
  5. https://twitter.com/hexirp_prixeh/status/1466463975831310336
  6. https://twitter.com/hexirp_prixeh/status/1466469823542489091
  7. https://twitter.com/hexirp_prixeh/status/1466469825576722433
  8. https://twitter.com/Y_Y_Googology/status/1466470078031949824
  9. https://twitter.com/Y_Y_Googology/status/1466470220457922560
  10. https://twitter.com/hexirp_prixeh/status/1466471044718292992
  11. https://twitter.com/hexirp_prixeh/status/1466471536852815873
  12. https://twitter.com/Y_Y_Googology/status/1466472874735112194
  13. https://twitter.co…
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Hexirp Hexirp 2021年11月29日 (月)
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(2021-11-29) メモ

"到達不能基数を数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数" での \( \mathbf{I} \) 関数は次のように単純化できる。


その限界を超えると \( \chi \) に添字がつき崩壊の崩壊の不動点化が行われ始める。

……この添字は \( \mathrm{On} \) で良いのだろうか? それとも \( \mathrm{Club} \) なのかな?

あるいは、 \( { \psi } _ { \mathbb{M} } ( 0 ) \) を使わなくても良いのか?

……いいや、これはおそらく非標準形だ。

……やっぱり非標準形ではなさそう。というか、標準形であってほしい。

\( \chi \) の添字は \( \mathrm{Club} \) でよい。

マーロ基数の「閉じている」による定義は定常集合による定義と対応している。すなわち、関数の全称量化を正規関数の全称量化にしても問題はない。

マーロ順序数は「閉じている」による定義が行われる。 \( \kappa \)-recursive function は正規関数として見なせるか? \( \kappa \)-正規関数は?

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Hexirp Hexirp 2021年11月29日 (月)
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(2021-11-29) 三関数とは

"到達不能基数を数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数" を書き上げたおかげで三関数の正体について理解できたかもしれないので書き留めることにする。

まず、結論からいうと、三関数は、 SOCFwMFfcIC の \( \mathbf{I} \) を弱マーロ基数を数え上げる関数を使って崩壊するようにして、その \( \mathbf{I} \) と \( \psi \) を融合させたものではないかと私は思う。

ヴェブレン階層から拡張ブーフホルツ関数への流れを例にして解説する。

  1. ヴェブレン階層
  2. 操作-1
  3. 多変数ヴェブレン関数
  4. 操作-2
  5. 超限変数ヴェブレン関数
  6. 操作-3
  7. バッハマンとラティエンのプサイ関数などが該当する。
  8. 操作-4
  9. OCF (2021-06-10) などが該当する。
  10. 操作-5
  11. ブーフホルツの拡張プサイ関数

操作-1操作-2 は単純に多変数化と超限変数化と呼ぶ。これは "Collapsification の考察" でもそうしている。

操作-3 はカントール標準形化と呼ぶことにする。これは "Collapsification の考察" の「カントール標準化」と意味が異なっていることに注意して欲しい。甘露東風氏の記事での「カントール標準化」は 操作-3操作-4 が組み合わさった操作となっており複雑すぎると考えたためだ。

操作-4 は更なる分解が可能であるので後で説明する。

操作-5 は一元化と呼ぶことにする。 \( { \psi } _ { \nu } ( \alpha ) \) と \( { \omega } _ { \alpha } \) を融合させる操作である。これはブーフホルツのプサイ関数の特色となっているが、それは関数の性質を複雑にさせ理解を阻害するものだと私は考えており、また超限変数ブーフホル…

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Hexirp Hexirp 2021年11月28日 (日)
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(2021-11-29) club 集合

マーロ基数の定義に出てくる club 集合と定常集合は何者なのだろうか?

私が初心者だったころ、それは恣意的に感じられた。

しかし、いま、その重要性が理解できてきているかもしれない。

club 集合は正規関数と一対一対応する。

これが重要なのではないだろうか?

ここでいう正規関数は上限を設定しても良いものとしている。

となると、定常集合は「全ての正規関数の値域と交わる集合」となる。

たとえば、 \( \left[ 0, { \omega } _ { 0 } \right) \cup \left[ { \omega } _ { 1 }, { \omega } _ { 2 } \right) \) は \( { \omega } _ { 2 } \) の上で定常集合である。これは定常集合が club 集合だとは限らない例となる。

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