表記および関数の大小についての案らしきもの
巨大数研究wikiで巨大数、巨大関数を眺めていると、\(関数 \approx f_{順序数}(n) \)と書いている。（"順序数"の部分は時々"??"になっていることもある） この\( \approx \)の話がしたい。
巨大数研究者は巨大数（巨大関数）について語るとき、大体どの関数と近似できるかが気になる。また、関数が大きくなると、順序数や順序数表記でどのくらいの大きさかを語り始める。
しかしこの"近似できる"というのは、具体的にどの関係での話かは１０分検索しても見つけられなかったので、一通りそれっぽい関係を考えることにした。
自然数の集合を\( \mathbb{N} \)とし、自然数上の順序を\(
対数ハーディ階層
次の関数列\(H'\)を対数ハーディ階層と呼ぶこととする。
- \(H'_0(n) = n\)
- \(H'_{\alpha+1}(n) = H'_\alpha(2n)\)
- \(\alpha\)が極限順序数なら \(H'_\alpha(n) = H'_{\alpha[\lfloor\log_2 n\rfloor]}(n)\)
P=NP問題に関してBussの限定算術は\(\phi(0)\land \forall x
アップグレード効果の形式化
アップグレード効果を厳密に定義します。
- 1 ペア型の数列
- 1.1 上昇
- 1.2 アップグレード効果(広義)
- 1.3 アップグレード効果(狭義)
自然数の順序対の有限列全体の集合(つまり\(2\times n\)型の行列全体の集合)を\(D\)とおく。ペア型数列システムとは、\(D\)の部分集合\(P\)と関数\(F : P \times \mathbb N \to P\)の組のうち、以下を満たすものである。
- \(P\)は辞書式順序に対して整列
- 任意の\(S \in P,\ n \in \mathbb N\)に対して、\(F\)は以下を満たす。
- \(F(S,n)\)は\(S\)より辞書式順序について小さい
- \(S'\)を\(S\)の末尾を除いたものとすると、\(F(S,n)\)は\(S' = G \frown B\)を満たす\(G \in P\)と\(B \in D\)と\(f : D \to D\)を用いて、\(G \frown B \frown f(B) \frown f^2(B) \frown \cdots \frown f^n(B)\)ように表せる。ただし、\(f\)は以下の性質を満たす。
- 任意の\(T \in D\)について、\(f(T)\)と\(T\)のサイズは等しい。
- ある\(k \in \mathbb N\)が存在して、任意の\(T \in D\)について、\(f(T) - T\)の1行目は全て\(k\)である。
ペア型数列システム\((P,F)\)、2行行列\(S \in P\)に対して、『\(S\)が\((P,F)\)で(添字)上昇する』とは、任意の\(m \in \mathbb N\)に対して、「\(F(S,n)\)の2行目に\(m\)より大きい自然数が存在する」ような\(n \in …
プリクラ問題
プリクラとは無縁の人生を送ってきました。プリクラ機ががどれだけ狭いのか、何人まで入るのか、何人入るとどれほど窮屈なのか、その窮屈さがどれだけ楽しいか、僕にはわかりません。同級生がプリクラ取ってる横で太鼓ﾄﾞﾝﾄﾞｺやってるのが僕です。
- 1 問題
- 2 主な発見
- 2.1 問題の拡張
- 2.2 \(3\)次完全グラフ\(K_3\)と完全\(3\)部グラフ\(K_{a,a,a}\)
- 2.3 完全グラフの辺を共有しない分割
- 2.4 他の性質
- 2.5 具体的な値
- 3 ちょっと考えて無理だった話
プリクラ問題とは、あしやまひろこ氏によって2015年1月2日に考案された問題である。
「\(n\)人組のうち、どの異なる\(2\)人もある同じ写真におさまるようにプリクラを撮りたい。一度に写真に納まる人数は最大\(m\)人であるとき、最小で何枚の写真を撮ればよいだろうか？」という非常に簡単な問題文だが、一般解は得られていない。
グラフ理論的に解釈するならば、「\(n\)次完全グラフ\(K_n\)を(辺)被覆するための\(m\)次完全グラフ\(K_m\)の最小個数はいくつか？」という問題となる。
最小の撮影回数を\(P(n,m)\)(ただし\(n,m \ge 2\))と表した場合、以下が成り立つ。
- \(P(n,2) = \dfrac{n(n-1)}2\)
- \(n \le m\)ならば\(P(n,m) = 1\)
- \(P(n,m) \ge \lceil \dfrac{n(n-1)}{m(m-1)} \rceil\)
筆者が気づいた性質について述べる。以降、グラフは有限であり、各頂点の次数は0でなく、多重辺を持たず、任意の辺は両端の頂点が一致しないもののみを指すこととする。
一般のグラフ\(H\)について、任意のグラフ\(G\)は少なくとも\(G\)の…
System Fについての考察
注意 : 筆者は型理論の知識がほとんどありません。
型システムの1つに、\(\textrm{System F}\)というものがあります。これは、多相型というものが使う型システムであり、また\(\textrm{System F}\)によって記述できる関数は全て二階算術で全域性が証明できるらしいです。
つまり、二階算術で全域性を証明できるような自然数上の急増大関数は\(\textrm{System F}\)でも表せます。これは非常に表現力が高く、おそらく巨大数界隈では、現時点で証明論などを用いて厳密に全域性が示されていないほとんどの関数が、全域であれば\(\textrm{System F}\)で表現可能となるのではないかと考えられます。
本記事では、\(\textrm{System F}\)でどのような型や項を扱えるのか、実際に色々書いて確かめていきます。
- 1 \(\textrm{System F}\)で表せる基本的な型や項
- 1.1 \(\bot\)型
- 1.2 \(\top\)型
- 1.3 \(\textrm{Bool}\)型
- 1.4 直積型
- 1.5 \(\mathbb N\)型
- 2 力
- 2.1 型
- 2.2 \(\mathbb N\)関連の項
- 2.3 \(\Omega\)関連の項
- 2.4 \(\Omega_2\)関連の項
- 2.5 急増加関数
- 2.6 埋め込み
- 2.7 崩壊関数
\(\bot := \forall\alpha.\alpha\)とします。
このとき、任意の型\(T\)と任意の\(\bot\)の項\(b\)に対して、項\((b\ T)\)は型が\(T\)となります。よって、任意の型\(T\)に対して関数項\(f : \bot \to T\ :=\ \lambda(b:\bot).(b\ T)\)が存在します。
\(\bot\)は、「任…
一般化コラッツシステムを使ったペンテーション計算
\( \newcommand{\penta}{ {\mathrm {penta}}} \newcommand{\tif}{ {\mathrm {if}}~} \newcommand{\else}{ {\mathrm {else}}~} \newcommand{\then}{ {\mathrm {then}}~} \newcommand{\otherwise}{ {\mathrm {otherwise}}~} \renewcommand{\mod}{ {\mathrm {mod}}~} \) 一般化されたコラッツの問題で出てきがちな剰余類を用いた漸化式でペンテーションを計算する式を作ってみました。
- 1 定義
- 2 定理
- 3 Haskell コード
- 4 参考文献
- 5 先行研究
下記の自然数から自然数への関数 \(\penta(x)\) を定義します。 \begin{eqnarray} &&\begin{array}{lllllllll} &\tif x \not \equiv 0 (\mod 2) &\land& x \not \equiv 0 (\mod 5)& & & \then & \penta(x) &=& x ,&\else \\ &\tif x \not \equiv 0 (\mod 3) &\land& x \not \equiv 0 (\mod 5)&\land& x \not \equiv 0 (\mod 13)& \then & \penta(x) &=& \penta\left(\frac{ 9}{ 2}x\right),&\else \\ …
2025-01-04 のメモ
メモです。
- 1 バッハマン条件と矢印図とノルム
- 2 ゼロ除算
- 3 超限ハイパー演算子とヴェブレン階層
- 4 意外な関連性
- 5 Madore のブログ
- 6 超現実数
- 7 重複のない基本列系
\( 1 \) の基本列は、ただ一つに定まる。 \( \mathrm{cof} ( a ) = 1 \) である順序数 \( a \) の基本列も、同様に、ただ一つに定まる。
『燐寸棒図との相性のよい基本列』で、いくつかの条件を示した。
一番目の条件と二番目の条件と三番目の条件は、旧来の基本列系でも合致するものが多い条件であるが、 \( \alpha [ n ] \leq \alpha [ n + 1 ] [ 0 ] \) という条件は旧来の基本列系でも満たさないものが多く、これだけが特異である。
ゆえに、これだけを取り上げて美観条件と呼ぶことにしよう。
ある基本列系が、バッハマン条件を満たしていれば、美観条件も満たすことは、容易に証明できる。その逆は、 "2024-12-10 のメモ" で反例を示している。
この反例は、隙間がある基本列系であるので、隙間のない基本列系であれば、美観条件からバッハマン条件への含意が成り立つかもしれないけど、そもそも「隙間がない」を論理式で表現する方法がわからない。
バッハマン条件は、どのような本質を持つのだろうか、と考察した。
矢印図が交差しないことはバッハマン条件と等価である。
\( \omega \) の基本列を \( 2 , 3 , 4 , \ldots \) だと定めて、それを正規関数に沿って拡張することで、バッハマン条件を満たす基本列系は作れる。
だが、 \( \mathrm{cof} ( a ) = \omega \) であるような順序数で \( \exists n [ a [ n ] = 1…
m(m,n)変換の数列化
みなさんはm(n)変換と原始数列システムの関係性をご存知でしょうか？
ある程度性質の良い数列に制限すれば、原始数列システムでは数列の項nがm(n+1)変換に大まかに対応します。つまり、原始数列システムはm(n)変換という高階関数達を数列の複製によって模倣したものという側面で見ることもできます。
では、ふぃっしゅ数ver.6に用いられているm(m,n)変換(厳密にはokkuuさんのふぃっしゅ数ver.6改に用いられるm(m,n)変換)には、同様に対応する数列システムがあるのでしょうか？
(そもそもm(m,n)変換の定義を知っている人の方が少ないとは思いますが...。)
- 1 \(m(m,n)\)変換の定義
- 1.1 集合\(M[m,n]\)
- 1.2 写像\(m(m,n)\)
- 2 \(m(m,n)\)変換の数列化
- 2.1 数列の項の親子関係
- 2.2 親子関係と差
- 2.3 具体例
- 2.4 対応する数列システムの挙動
- 3 少し変更した\(m(m,n)\)変換
- 3.1 写像\(m(m,n)\)
- 4 定義を変更した\(m(m,n)\)変換の数列化
- 4.1 親子関係と差
- 4.2 具体例
- 4.3 対応する数列
とりあえず\(m(m,n)\)変換の定義を書きます。本家やokkuuさんによる定義とは異なりますが、番号の付け方以外はほとんどokkuuさんのものと同じ挙動になってると思います。
各\(m,n \in \mathbb N\)に対して、集合\(M[m,n]\)を以下のように二重再帰によって定義する。
- \(M[m,n]\)の定義
- \(n = m = 0\)ならば、\(M[m,n]\)は\(\mathbb N\)から\(\mathbb N\)への写像である。
- \(n = 0\)かつ\(m \neq 0\)ならば、\(M[m,n] := \Pi_{i \in \ma…
2025年ｷｮﾀﾞ初め
ｷｮﾀﾞ初めっていつまでやっていいんでしょう。
- 1 表記
- 2 文字列操作ユーティリティ
- 2.1 部分文字列
- 2.1.1 例
- 2.2 足し算と掛け算
- 2.3 Reg
- 2.1 部分文字列
- 3 基本列
- 3.1 証明
- 4 階層
- 5 巨大数
- \( \Sigma = \{ \uparrow, \downarrow \} \)とする。
- \( \Sigma^* \)を\( \Sigma \)の元\( 0 \)文字以上からなる文字列全体の集合とする。
- \( \Sigma^* \)の元\( s \)が正則であるとは、任意の\( s \)の始切片\( t \)に対して「\( t \)に含まれる\( \uparrow \)の個数が\( \downarrow \)の個数以上である」が成り立つことである。
- \( \Sigma^* \)の元\( s \)が超正則であるとは、任意の\( s \)の始切片\( t \)に対して「\( t \)に含まれる\( \uparrow \)の個数が\( \downarrow \)の個数超過である」が成り立つことである。
- \( T \)を\( \Sigma^* \)の正則な元であって\( \uparrow \)で始まり\( \uparrow \)で終わるもの全体の集合とする。
- \( s \in \Sigma^* \)に対して、\( \operatorname{Len}(s) \)で\( s \)の長さを表す。
- \( s \in \Sigma^* \)と整数\( n \)に対し、\( +_s n \in \mathbb{Z} \)を以下で定める:
- \( n \geq 0 \)ならば、\( +_s n = n \)である。
- そうでなければ、\( +_s n = \operatorname{Len}(s) + n \)である。
- \( s \in \Sig…
新年初定義
\begin{align*} \cap(n) &= \begin{cases} 1 & (n=0) \cr \cap_{\cap({n-1}^n)}(n-1) & (n>0) \cr \end{cases} \cr \cap(n^k) &= \cap(n^{k-1})+\cap(n) \cr \cap_m(n) &= \begin{cases} \cap(n^n) & (m=\cap(0)) \cr \cap_{\cap(a^k)+\cap(a)}(n) & (m=\cap(a^{k+1})) \cr \cap_{\cap_{\cap({a-1}^n)}(a-1)}(n) & (m=\cap(a) \space a>0) \cr \end{cases} \cr \cap_\alpha(n)+\cap_\beta(p) &= \begin{cases} \cap_\alpha(n)+\cap_{\beta-1}(p^p) & (\alpha\beta) \cr \end{cases} \end{align*}
この定義で \(F(n)=\cap(n)\) とし、\(F(108)\) を煩悩数とする。
\begin{align} \text{expand}(D,n) &= \begin{cases} G & (\text{if} D_{X-1}=0) \end{cases} \end{align}
線形補間したテトレーションに1より大きな底で符合する超対数について
テトレーションの高さを実数に拡張する有名な[要出典]方法に線形補間による下のものがある。と入力すると解\(y=-2-\frac{W\left(-\frac{\log x}{x^2}\right)}{\log x}\) (\(W\)はランベルトのW関数)が得られた。また、非正の値から反復するとこれに収束する。
ペンテーションも下のように線形補間できる。
$$x\uparrow\uparrow y=\begin{cases} \operatorname{slog}_x(x\uparrow\uparrow\uparrow(1+y))&y\leq-1\\ 1+x&-1< y\leq0\\ x\uparrow\uparrow(x\uparrow\uparrow\uparrow(-1+y))&0< y \end{cases}$$
任意の\(-2< y\leq-1\)に対して、\(x\uparrow\uparrow\uparrow y=\operatorname{slog}_x(x\uparrow\uparrow\uparrow(1+y))=\operatorname{slog}_x(2+y)=1+y\leq0\)であるため、\(y\)を小さくすると非正値に超対数を反復適用することになり、\(y\rightarrow-\infty\)で上で求めた不動点に収束する。
䋣饀小竹鼠 (SCP-2916-JP)
SCP-2916-JP - 2, 3, 5, 33, 68719476737
SCP-JPに投下した作品のgoogology的解説です。
オブジェクトは摂食した物体を(機能含めて)2個複製するネズミ (コタケネズミ、Cannomys badius) です。さらに彼らは食糧不足に陥った際に連結態とよばれる形態を作ることがあり、それによって爆発的な数量の食料あるいは自個体を再生産できます。
永遠の努力とは異なる形で巨大関数的な増殖をやりたくて作ったものです。書くときに「時間をかけるのではなく、数量の増殖で巨大数に持っていく」「巨大数に詳しくなくても理解できるようにする」などを考えながら書いていたはずです。なので結局テトレーションレベルでしか増やせませんでしたが、それ以上やろうとしても設定上無理が出てきそうだったのでやめています。
それと、「異常な増加速度で増殖するオブジェクト」が存在しなかったため、今後のネタ潰しにしてやろうとも考えていました。「殖えやすく減りにくい異常生物」としてはSCP-030-JP (石油喰らい) という金字塔があるため、本作の時点でもけっこうネタ被りというか、人によっては二番煎じを感じるかもしれません。まあ私がもう書いちゃったので、もし巨大数を絡めて創作したい場合は頑張ってください(何様
多変数亜関数と多変数veblen関数
記事内で自然数\(\lambda > 1\)を固定して議論する。
関数の定義域をクラスにして散々痛い目を見てきたので、\(\lambda\)変数\(\textrm{veblen}\)関数の定義域は可算順序数全体の集合\(\omega_1\)(の\(\lambda\)個直積)とする。
- 1 \(\lambda\)変数\(\textrm{veblen}\)関数
- 2 \(\lambda\)変数亜関数
- 2.1 文字列集合
- 2.2 後続と前者
- 2.3 基本列
- 3 \(\lambda\)変数亜関数と\(\lambda\)変数\(\textrm{veblen}\)関数
- 3.1 変換写像
- 3.2 変換写像と基本列
- 3.3 限界
\(\lambda\)変数\(\textrm{veblen}\)関数は、最も右の変数である\(\omega_1\)の閉非有界な部分集合を数え上げる関数である。残りの左の部分で\(\omega_1\)の閉非有界集合を指定する形となっている。この閉非有界集合についていくつか定義する。
- 集合\(V_{\alpha_{\lambda-1},\cdots,\alpha_1}\)
任意の\(\lambda-1\)個の可算順序数\(\alpha_1,\cdots,\alpha_{\lambda-1}\)について、\(V_{\alpha_{\lambda-1},\cdots,\alpha_1} := \{\varphi(\alpha_{\lambda-1},\cdots,\alpha_1,\xi) | \xi \in \omega_1\}\)とする。
つまり、最右の変数によって数え上げる閉非有界な集合である。
- 関数\(\textrm{vp}_{\alpha_{\lambda-1},\cdots,\alpha_1}\)
任意の\(\l…
そういう下書き
\( \newcommand{\W}{\Omega} \newcommand{\w}{\omega} \newcommand{\p}{\psi} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand\d{\delta} \newcommand\e{\epsilon} \newcommand\z{\zeta}\)
そういうことです。
更にmrnaは段階配列表記を拡張し、2020年9月10日に拡張ブーフホルツ順序数までの順序数を表現できる降下段階配列表記を、2020年10月20日にラティエンの\(\psi\)関数を用いて\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{\varphi_0(\varphi_0(0))}(0)}(0))\)までの順序数を表現できると期待されている多変数段階配列表記を同様の手法で開発した。
2024-12-25 のメモ
メモです。
- 1 analysis-tree
- 2 良さそうな記事
- 3 The Elm Architecture
- 4 型理論の良さ
"Introducing My Ordinal Calculator And Explorer (UP TO RATHJEN'S CAPITAL Ψ)" という凄い奴が現れたので。
analysis-tree の開発を久しぶりに再開しようかな？
Elm をやめて PureScript にしようかな？
https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Mxdys/weak_Bachmann%27s_property
https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Upquark11111/Ordinals_in_the_Calculus_of_Constructions
https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:DaVinci103/OCF_in_CoC
The Elm Architecture は、次の条件を満たすレコードだと解釈できる。
のような基数から最小の非再帰順序数と同様な構造が広がっている島が無数に並んでいる形になるだろう。
型理論の良さとしては、不正な意味を持つ式の排除や、強正規化性や、導入規則と除去規則の対称性や、様々な型を内部構造ではなく外部規則で定義する普遍性や、構成主義数学との親和性などもあるが……
高階な対象を容易に扱うことができることもあるように私は思う。
無限ページの辞書と整列性
いつも数式のプレビューでお世話になってるサーバーイウしキーのイウしキー Advent Calendar 2024投稿用の記事です。
巨大数論に慣れてる方は「あー、はいはい。巨大数列の標準形集合が辞書式で整列なんでしょ？知ってるよ。」と心の中で思っててください。
- 1 辞書と辞書式順序
- 2 無限の単語をもつ辞書
- 3 無限の単語をもつのに読み戻ると有限になる辞書
- 4 整列順序
- 5 宣伝と謝辞
辞書とは、我々が普段使う単語がその意味などと共に書かれている書物です。
ですが、今回は極限まで簡略化して、見開き1ページに1つの単語が書かれているような手抜きにも程がある辞書を考えます。同音異義語もなく、全ての単語は濁点とか伸ばし棒とか小文字とかが一切ない有限個のひらがなの列であるとします。
さて、辞書に書かれている単語は、とある規則に則って順番に並んでます。具体的に言うと、
- 2つの単語の1文字目を「五十音でどちらが早いか」で比較し、早い方を前のページに置く。
- 1文字目が同じなら、2文字目を「五十音でどちらが早いか」で比較し、早い方を前のページに置く。
- 2文字目が同じなら、同様に3文字目、4文字目と比較していく。
- どちらかの末尾の文字まで全部同じなら、文字の長さが短い方を前のページに置く。
という規則によって並んでます。
例えば、「あかね」「あおい」「あかり」「あかりそう」「たかはし」の5つの単語がどの順番に並んでるか考えると、
「あかりそう」は「たかはし」よりも1文字目が五十音順で早いので、「あかりそう」の方が前のページに書かれます。
「あおい」は「あかね」と1文字目が同じですが、五十音順で早いので、「あおい」の方が前のページに書かれます。
「あかり」と「あかね」は1文字目も2文字目も同じですが、3文字目は「あかね」の方が五十音順で早…
多変数亜関数の停止性証明
本記事では、竹取翁氏の多変数亜関数の停止性を証明します。
多変数亜関数の停止性を証明するとはいいましたが、標準形判定とか面倒そうなので、任意の\(\lambda \in \mathbb N \setminus \{0,1\}\)について\(\lambda\)変数亜関数の停止性を証明します。まずは、\(\lambda\)変数亜関数に関する諸々の定義を書いていきます。
元記事の定義と少し書き方は異なるかもしれませんが、\(\textrm{dom}\)が\(0,$1,$\omega\)以外のとき全て\($\Omega\)としているだけで、\(\textrm{dom}(s) = \omega\)となる文字列\(s\)に対する基本列は同値となります。
自然数\(\lambda \in \mathbb N \setminus \{0,1\}\)について、形式的な文字列の集合\(T_\lambda, PT_\lambda\)を以下のように再帰的に定める。
- \(0 \in T_\lambda\)である。
- 任意の\(a \in PT_\lambda,\ b \in T_\lambda \setminus \{0\}\)について、\(a+b \in T_\lambda\)である。
- 任意の\(a_0,⋯,a_{\lambda−1} \in T_\lambda\)について、\(亜(a_{\lambda−1},\cdots,a_0) \in T_\lambda \cap PT_\lambda\)である。
\(T_\lambda \cap PT_\lambda\)の元\(亜(\underbrace{0,\cdots,0}_\lambda)\)を\($1\)と略記する。
\(T_\lambda \cap PT_\lam…
(メモ)ムキムキな〇関数を作っていく
本記事はメモです。方針があっち行きこっち行きしますのでご了承ください。
- 1 目標（２０２４年１２月１２日）
- 2 ２０２４年１２月１２日
- 2.1 T上の加法
- 2.2 分類\(\text{type}_T \)
- 3 ２０２４年１２月１３日
- 3.1 分類\(\text{type}_S \)
- 4 ２０２４年１２月３０日
- 4.1 \(< _{T} \)
〇関数(naruyoko氏)に対して、反復超限化、多行化を繰り返した関数を作りたいです。
反復超限化、多行化には、自前の表記であるTSE表記を使います。
現状、超限変数化はnaruyoko氏「？\( \rightarrow \phi \rightarrow \psi \rightarrow\) 三」によって、反復超限変数化はみずどら氏「反復超限化〇関数」によって作成されており、反復超限化〇関数の極限\(\psi _0(\psi _2(0))\)となっております。 また、みずどら氏の考察によると、〇関数における超限変数\(\binom{\alpha}{\beta}\)は\(\Omega ^{\beta } \times \alpha\)として扱うことができます。 そこで超限変数列に２行目を追加して超限変数列を圧縮できたとしたら、２行目での変数は\(\Omega _{2}\)に基づいた振る舞いが期待できます。
3行目、4行目も同様にして\(\Omega _{3}\)、\(\Omega _{4}\)のように多行化を繰り返せば、\(\Omega _{n}\)を表現でき、その極限は\(\psi _0 (\psi _{\omega}(0))\)になると期待できます。
その定義は、今はないです。
表記集合\(T_0 , T ,S,E\)を定める。
\(T_0 ::= 0 \mid T\)
\(T:…
2024-12-10 のメモ
メモです。
- 1 バッハマン系
- 2 バッハマン系とノルム
- 3 バッハマン系のイメージ
- 4 矢印図
- 5 円弧図
- 6 ノルム
- 7 ブラウワー順序数
- 8 急増加関数
- 9 ハイパー増加関数
- 10 ブラウワー順序数の実装の改善
\( \alpha [ n ] < \beta < \alpha \to \alpha [ n ] \leq \beta [ 0 ] \) から \( \alpha [ n ] \leq \alpha [ n + 1 ] [ 0 ] \) が出る事は、既に『燐寸棒図と相性のよい基本列』で証明した。
では、その逆は成り立つのだろうか？
その反例を示し、それが成り立たないことを示す。
\( \omega ^ { \omega ^ 2 } \) の基本列系を構成する。 \( \omega \) の基本列を \( 2 , 3 , 4 , \ldots \) とするような基本列系をベースにする。
\( \omega ^ { \omega ^ 2 } [ n ] \) を \( \omega ^ { \omega \times ( n \times 2 + 1 ) } \) と定義し直す。つまり、 \( \omega ^ { \omega ^ 2 } \) を展開すると、 \( \omega ^ \omega , \omega ^ { \omega + \omega + \omega } , \ldots \) となる。
すべての \( n \) に対して、 \( \omega ^ { \omega \times ( n \times 2 + 2 ) } [ 0 ] \) を \( \omega \) と定義し直す。つまり、 \( \omega ^ { \omega + \omega } \) を展開すると、 \( \ome…
燐寸棒図と相性のよい基本列
- 1 要旨
- 2 序論
- 3 燐寸棒図
- 4 ガンマ数
- 5 基本列
- 6 燐寸棒図と相性のよい基本列
- 7 美しい燐寸棒図
- 8 具体例
- 8.1 カントール標準形
- 8.2 エプシロン数
- 8.3 バシク行列システム
- 9 結論
- 10 今後の展望
この記事では、上記のような図について、つまり燐寸棒図について解説し、それについて考察する。燐寸棒図がガンマ数の展開を本質としていることを指摘し、それに応じて基本列の条件を構築する。それに加えて、燐寸棒図をアートとして捉えた時に、どのような条件を満たせば美しくなるのか考察する。その帰結として、燐寸棒図と相性のよい基本列を作るために満たすべき四つの条件を提示する。
燐寸棒図は、順序数を図示する方法として興味深いものであるが、それ自体について取り上げた記事は存在しない。少なくとも Googology Wiki および巨大数研究 Wiki にはない。
ふと燐寸棒図について考察したところ、その構造について考察してみればガンマ数と繋がったり、その美観について考察してみればバッハマン系と繋がったりと、思ったよりも興味深い対象であった。
このため、この記事を書き表した。これが、燐寸棒図の考察を深める助けになれば幸いである。
燐寸棒図は、順序数の構造を明瞭な形で表現する図である。その起源は不明瞭であるが、 Gro-Tsen が書くところによると、 Paul Taylor の "Practical Foundations of Mathematics" が "matchstick" として紹介しているそうである。
例を挙げて説明しよう。
最初は \( \omega \) の燐寸棒図について考えよう。まず、縦棒を無限に並べることにしよう。それらの間隔は左から右にかけて一定の比で縮小していくとしよう。すると、有限の区間の中で無限の縦棒が…
辞書式順序について整列な文脈自由言語の順序型
前回の記事の問題をそのまま正規言語から文脈自由言語に拡張する。
証明全然進まねえ！！
- 1 文脈自由言語
- 1.1 文脈自由言語
- 1.2 生成規則
- 1.3 整列言語
記号列の集合\(A\)に対して、\(A^*\)を「\(A\)の元である記号列達を任意自然数個連結させて得られる記号列」全体の集合である。
共通元を持たない記号の有限集合\(N,\Sigma,\ N\)の元\(S,\)及び\(N\)の元と\((N \cup \Sigma)^*\)の元の組からなる有限集合\(P\)の組\(G := (N,\Sigma,P,S)\)を文脈自由言語とよぶ。
このとき、\(N\)の元を\(G\)の非終端記号、\(\Sigma\)の元を\(G\)の終端記号、\(P\)の元を\(G\)の生成規則、\(S\)の元を開始記号とよぶ。
以降、\(P\)の元は\(N\)の元\(A\)と\((N \cup \Sigma)^*\)の元\(X\)を用いて\(A \to X\)のように表す。
\((N \cup \Sigma)^*\)の元\(X,Y\)が以下の性質を満たすとき、\(X\)から\(Y\)は\(P\)により一手で生成されるという。
\(\exists X_0,X_1 Z\in (N \cup \Sigma)^*\ \exists A \in N\ ((A \to Z) \in P \land X = X_0AX_1 \land Y = X_0ZX_1)\)
上記の関係の推移閉包を、\(X\)から\(Y\)は\(P\)により生成されるという。
\(S\)から\(X\)が\(P\)により生成されるような\(X \in \Sigma^*\)を、\(X\)は\(G\)の語であるという。
以降の文脈自由言語は、任意の非終端記号\(A \in …
巨大数列
巨大数列はバシクによって考案が知られている。 この変換をベクレミシェフの虫に-1回施すと(n)を極限形とする巨大数列になる。
また、巨大数列は「最も弱い数列システム」「探索のない数列システム」として捉えることができる。
亜関数メモ(by みず)
\(OCF\)作るンゴ
任意の\(AP\)順序数\(\alpha\)に対して、\(\alpha = \omega^\xi\)を満たす順序数\(\xi\)が一意に存在するので、この\(\xi\)を\(\log_\omega\)と表す。
\begin{eqnarray*} C^0(\alpha) &=& \{0\} \\ C^{n+1}(\alpha) &=& C^n(\alpha) \cup \{\beta+\gamma | \beta,\gamma \in C^n(\alpha)\} \\ & & \cup \{\omega^{\Omega^{\lambda-1}\times \log_\omega(\psi(\beta_{\lambda-1}))+\cdots+\Omega^1\times \log_\omega(\psi(\beta_1))+\Omega^0\times \log_\omega(\psi(\beta_0))} | \forall i < \lambda (\beta_i \in C(\beta_i) \cup C^n(\alpha) \cap \alpha \land \psi(\beta_i) \in AP \cap \Omega)\} \\ C(\alpha) &=& \bigcup_{n \in \omega} C^n(\alpha) \\ \psi(\alpha) &=& \min((\Omega \setminus C(\alpha)) \cup \{\Omega\}) \end{eqnarray*}
\(\mathfrak A(\alpha_{\lambda-1},\cdots,\alpha_0) := \omega^{\Omega^{\lamb…
2024-12-04 のメモ
メモです。
0 から 1 までの閉区間の上に、非ゼロ順序数の基本列をプロットすることを考えよう。
https://mathoverflow.net/questions/287446/formalizations-of-the-matchstick-diagram-representation-of-ordinals
これを matchstick representation というらしい。
これは、次のような手続きで作ることができる。
- 実数 \( x \) と実数 \( y \) と \( x < y \) である証拠と基本列付き非ゼロ順序数 \( \alpha \) を取る。
- \( \alpha \) の共終数が \( 0 \) であるとき、
- ありえないので、退出する。
- \( \alpha \) の共終数が \( 1 \) であるとき、
- \( x \) と \( y \) に点を打つ。
- \( \alpha \) の共終数が \( \omega \) であるとき、
- \( x \) から \( y \) までの閉区間を適切な方法で \( \omega \) 個に分割し、 \( n \) 番目の端を、それぞれ \( x [ n ] \) と \( y [ n ] \) とする。
- それぞれの \( n \) について、 \( x [ n ] \) と \( y [ n ] \) と \( \alpha [ n ] \) に対して、再帰的に処理する。
- \( \alpha \) の共終数が \( 0 \) であるとき、
ここで、このアルゴリズムが正常に機能するためには、次のような条件を満たす必要がある。
任意の極限順序数 \( \alpha \) と任意の自然数 \( n \) に対して \( \alpha [ n + 1 ] [ 0 ] = \alpha [ n ] \) で…
多変数亜関数からBuchholz OCFに伴う順序数表記への変換写像
\(\newcommand{\subn}{ {\large \textrm{亜}} }\) \(\newcommand{\ec}{\textrm{ec}}\) \(\newcommand{\ct}{\textrm{ct}}\) \(\newcommand{\lp}{\textrm{lp}}\) \(\newcommand{\st}{\textrm{stand}}\) \(\newcommand{\pt}{\textrm{part}}\) \(\newcommand{\ts}{\textrm{trans}_{\lambda}}\) \(\newcommand{\tm}{\textrm{max}}\)
- 1 概要
- 2 ブーフホルツの\(\psi\)の準備
- 2.1 全体集合
- 2.2 自然数の形式化
- 2.3 表記集合
- 2.4 順序
- 2.5 \(0\)を単位元とする加法
- 2.6 左にある小さい項を消す
- 2.7 加法の分割
- 2.8 早めの崩壊
- 2.9 最左にある\(1\)を消す
- 2.10 基数の乗法
- 3 多変数亜関数の準備
- 3.1 全体集合
- 4 本編
- 4.1 変換写像
多変数亜関数からブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記への変換写像です。証明はありません。
定義の書き方はNaruyoko氏のブログ記事？→φ→ψ→三や、Mitsuki1729氏のブログ記事試作:くまくま(大嘘)多変数Ψや、Kanrokoti氏のブログ記事くまくま3変数ψの定義の書き直しや、P進大好きbot氏のブログ記事ヴェブレン関数→ブーフホルツのψ関数→？などを参考にしました。
多変数亜関数の定義はこちら
計算機はこちら
解析表はこちら
\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\(,\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T_B\)と\(PT_B\)を以下のように同時に再帰的に…
下書き５
階差関数数列関数
入力数列\(S=(S_0,S_1,...,S_{m-1}) \)
数列系\(S[n] = \begin{cases} n, & \text{if }S =() \\ \text{expand}(S,n)[n+1] , & \text{if }S \neq () \end{cases} \)
緩増加関数系\(\text{SG}_{S}(n) = \begin{cases} n, & \text{if }S =() \\ \text{SG}_{\text{expand}(S,n)}(n)+1 , & \text{if }S \neq () \end{cases} \)
展開\(\text{expand}(S,n) = \begin{cases} (S_0 , S_1 , \cdots , S_{m-1}) , & \text{if }S_{m}=0 \\ G \frown B^{(0)} \frown B^{(1)} \frown \cdots \frown B^{(n+1)} & \text{if }S_{m} \neq 0 \end{cases} \)
良い部分：\(G=(S_0 , S_1 , \cdots , S_{r-1})\)
悪い部分：\(B^{(a)} =\begin{cases} (S_r , S_{r+1} , \cdots , S_{m-1}) , & \text{if}a =0 \\ (B^{(a)}_{0},B^{(a)}_{1}, \cdots , B^{(a)}_{m-1-r}) , & \text{if}a > 0 \end{cases} \)
悪い部分の成分：\( B^{(a)}_{b}=P(B^{(0)},b) \frown \text…
辞書式順序について整列な正規言語の順序型
以下は、dama氏によって考案された問題である。
本記事では、実際に上限を求める。
もしかすると既に解決されているか、あるいは有名な定理から容易に導かれるのかもしれない。もしそのようなものがあれば教えていただきたい。
文字の(有限)集合を\(\Sigma\)とおく。\(\Sigma\)の元の有限列全体の集合を\(\Sigma^{
多変数亜関数の同値な定義
元記事の定義と少し書き方は異なるかもしれませんが、\(\textrm{dom}\)が\(0,$1,$\omega\)以外のとき全て\($\Omega\)としているだけで、\(\textrm{dom}(s) = \omega\)となる文字列\(s\)に対する基本列は同値となります。
自然数\(\lambda \in \mathbb N \setminus \{0,1\}\)について、形式的な文字列の集合\(T_\lambda, PT_\lambda\)を以下のように再帰的に定める。
- \(0 \in T_\lambda\)である。
- 任意の\(a \in PT_\lambda,\ b \in T_\lambda \setminus \{0\}\)について、\(a+b \in T_\lambda\)である。
- 任意の\(a_0,⋯,a_{\lambda−1} \in T_\lambda\)について、\(亜(a_{\lambda−1},\cdots,a_0) \in T_\lambda \cap PT_\lambda\)である。
\(T_\lambda \cap PT_\lambda\)の元\(亜(\underbrace{0,\cdots,0}_\lambda)\)を\($1\)と略記する。
\(T_\lambda \cap PT_\lambda\)の元\(亜(\underbrace{0,\cdots,0}_{\lambda-1},$1)\)を\($\omega\)と略記する。
\(T_\lambda \cap PT_\lambda\)の元\(亜(\underbrace{0,\cdots,0}_{\lambda-2},$1,0)\)を\($\Omega\)と略記する。
\(T_\lambda\)上の二…
巨大数に関係する僕のTwitterの内容の保存
諸事情により僕のTwitterのアカウントを一旦消して作り直す作り直したので、巨大数及び巨大数史について重要な諸々を残しておきます。
拡張弱ブーフホルツの\(\psi\)関数と弱ブーフホルツの\(\psi\)関数は僕とGaoji氏が作った関数です。
拡張弱ブーフホルツの\(\psi\)関数の定義は以下の通りです。 \begin{eqnarray*} \Omega_\alpha&=& \begin{cases} 0&(\alpha=0)\\ \aleph_\alpha&(\alpha>0) \end{cases}\\ C_\nu^0(\alpha)&=&\Omega_\nu\\ C_\nu^{n+1}(\alpha)&=&\{\beta,\psi_\mu(\eta)\mid\mu,\beta,\eta\in C_\nu^n(\alpha)\land\eta
拡張横ベクレミシェフ
かなり昔に作った数列系表記をサルベージしてきました。 拡張案がいくつかあるので、今後増やしていきたいと思います。
計算機 \begin{aligned} \mathrm{拡張横ベク数:} ~ K &= \mathrm{ESB}^{5}(3) \\ \mathrm{巨大関数:} ~ \mathrm{ESB}(n) &= \mathrm{expand}((0, 0, n)[n]) \\ \mathrm{出力:} ~ [n] &= n \\ \mathrm{展開:} ~ \mathrm{expand}({\boldsymbol{S}}[n]) &= \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{expand}({\boldsymbol G} [f(n)]) & (\mathrm{if} ~~ a_{\mathrm{Length}} = 0) \\ \mathrm{expand}({\boldsymbol G}\boldsymbol{B}^{(1)}\boldsymbol{B}^{(2)} \cdots \boldsymbol{B}^{(n)} [f(n)]) & (\mathrm{otherwise}) \\ \end{array}\right. \\ \mathrm{活性化関数:} ~ f(n) &= n+1 \\ \mathrm{入力数列:} ~ {\boldsymbol S} &= (a_k)_{k=1}^{\mathrm{Length}} \\ \mathrm{良い部分:} ~ {\boldsymbol G} &= (a_k)_{k=1}^{\mathrm{Length}-1} \\ \mathrm{悪い部分:} ~ {\boldsymbol B}^{(…
多変数亞関数からBuchholz OCFに伴う順序数表記への変換写像
\(\newcommand{\subo}{ {\large \textrm{亞}} }\) \(\newcommand{\ec}{\textrm{ec}}\) \(\newcommand{\ct}{\textrm{ct}}\) \(\newcommand{\lp}{\textrm{lp}}\) \(\newcommand{\st}{\textrm{stand}}\) \(\newcommand{\pt}{\textrm{part}}\)
- 1 概要
- 2 ブーフホルツの\(\psi\)の準備
- 2.1 全体集合
- 2.2 自然数の形式化
- 2.3 表記集合
- 2.4 順序
- 2.5 \(0\)を単位元とする加法
- 2.6 左にある小さい項を消す
- 2.7 \(n\)による加法の分割
- 2.8 早めの崩壊
- 2.9 基数の乗法
- 2.10 最左にある\(1\)を消す
- 3 \(S\)変数亞関数の準備
- 3.1 全体集合
- 4 本編
- 4.1 変換写像
多変数亞関数からブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記への変換写像です。証明はありません。
この定義を作るにあたって、みずどら氏のアイデア、定義を参考にしました。この場をお借りして感謝申し上げます。
多変数亞関数の定義はこちら
計算機はこちら
解析表はこちら
\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\(,\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T_B\)と\(PT_B\)を以下のように同時に再帰的に定める:
- \(0 \in T_B\)である。
- 任意の\((a,b) \in PT_B \times (T_B \setminus \set{0})\)に対して、\(a+b \in T_B\)である。
- 任意の\((a,b) \in T_B^2\)に対して、\(\psi(a,b) \in PT_B \cap T_B\)である。
任意の\…
ヴァナビリティ
\( \Sigma \)を文字の有限集合とし、\( T \)を\( \Sigma \)上の文字列全体の集合の部分集合とする。
\( \alpha \in T \)に対し、\( |\alpha| \)で\( \alpha \)の長さを表すことにし、\( 1 \leq n \leq |\alpha| \)を満たす自然数\( n \)に対して\( \alpha_n \)で\( \alpha \)の\( n \)文字目を表すことにする。最初の文字は\( 1 \)文字目とみなす。
\( []: T \times \mathbb{N} \rightarrow T \)が線形計算可能であるとは、それが\( O(N) \)で計算可能であることである。正確には、以下のYes-No questionが時間計算量\( O(N) \)で解けることを意味する。
- \( s \in T, N \in \mathbb{N}, a \in \{n \in \mathbb{N} \mid 1 \leq n \leq |\alpha| \}, \sigma \in \Sigma \)が与えられる。\( s[N]_a = \sigma \)であるか?
2024WA-ハンバーガー最新プログラム
ユーザーブログ:Nayuta_Ito/2021HB-p進大好きbotさんの「お料理巨大数投稿用記事」をプログラミング言語に翻訳するにバグがあったので修正し、最新の定義を反映させました。
オリジナルの定義: ユーザーブログ:P進大好きbot/お料理巨大数投稿用記事
命題論理の形式的証明と型理論
- 1 論理式
- 2 導出可能
- 3 矛盾式
- 4 CUT除去
論理式を以下のように再帰的に定義する。
- 論理式の定義
- \(\bot\)は論理式である。
- 大文字のアルファベットは論理式である。
- 任意の論理式\(\phi,\psi\)について、\(\phi \land \psi,\ \phi \lor \psi,\ \phi \to \psi\)は論理式である。
特に、大文字のアルファベットを原始論理式という。また、定義の3. により複数の論理式から得た論理式を複合論理式という。
ある論理式の有限列\(\Gamma\)、長さが\(0\)または\(1\)の論理式列\(Delta\)を用いて\(\Gamma \vdash \Delta\)と表せる文字列をシークエントという。
以降、\(\phi,\psi\)を任意の論理式、\(\Gamma,\Sigma,\Delta\)を任意の論理式の有限個の列とする。ただし、\(\Delta\)は\(0\)個または\(1\)個の論理式とする。
シークエントに対して、導出可能であるという述語を以下のように再帰的に定義する。
- 「導出可能である」の定義
- \(\phi \vdash \phi\)は導出可能である。
- \(\bot \vdash\)は導出可能である。
- \(\Gamma \vdash\)が導出可能ならば、\(\Gamma \vdash \phi\)は導出可能である。
- \(\Gamma \vdash \Delta\)が導出可能ならば、\(\Gamma,\phi \vdash \Delta\)は導出可能である。
- \(\Gamma,\phi,\phi \vdash \Delta\)が導出可能ならば、\(\Gamma,\phi \vdash \Delta\)は導出可能である。
- \(\Gamma,\phi,\…
全部食う。
おなかすいた。
パティをハンバーガーの列の形で表し、ハンバーガーをパティに\(\psi\)をつけ、それらを\(+\)で結合したもののように表す。パティは定義から奇数番目と偶数番目の役割がかなり異なるので、2行の行列表示で表す。
形式的な文字列の集合\(T,PT,S\)を以下のように同時再帰的に定義する。
- \(T,PT,S\)の定義
- \(\begin{pmatrix}\ \\\ \end{pmatrix} \in S\)である。
- 任意の\(a \in T\)について、\(\begin{pmatrix}\ \\a\end{pmatrix} \in S\)である。
- 任意の\(a,b \in T\)、任意の\(P \in S\)について、\(P \frown \begin{pmatrix}b\\a\end{pmatrix} \in S\)である。(ただし、\(\frown\)は行列をつなげる操作)
- 任意の\(P \in S\)について、\(\psi P \in T \cap PT\)である。
- 任意の\(a \in PT\)、\(b \in T\)について、\(a + b \cap T\)である。
\(S\)の元に対して、\(\begin{pmatrix}\ \\\ \end{pmatrix}\)でなく、右上の成分が空であるもの全体を\(S_{uncomp}\)、それ以外を\(S_{comp}\)とする。
(本家定義との対応関係を一応書く。下の定義には用いないので、覚えなくてよい。
\(S_{uncomp}\)がイブンパティ、\(S_{comp}\)がオッドパティに対応する。
パティ素材は縦2横1の\(T\)の元(あるいは上が空)による行列のことであり、パティ土台とはその下の要素である。
「\(x\)を切り分…
テスト ２
\begin{align*} \text{expand}(D,n) &= \begin{cases} G & (D_{X-1}=0) \cr G \smallfrown B_0 \smallfrown B_1 \smallfrown ... B_n & (otherwize) \cr \end{cases} \cr \text{入力：} D &= (D_0,...D_X-1) \cr \text{GoodPart：} G &= (D_0,...D_{fan(p)-1}) \cr \text{BadPart：} B_a &= (D_{fan(p)}+aδ,...D_{X-2}+aδ) \cr \text{階差上昇量：} δ &= \begin{cases} (D_{X-2}-1) \times (s(y-1))^{(n+1)n/2} & (p=0) \cr (s(y-1)-s(p-1)-1) \times (s(y-1))^{(n+1)n/2} & (p>0) \cr \end{cases} \cr \text{塊上昇量：} ε₀ &= \begin{cases} s(x-1)-1 & (p=0) \cr s(x-1)-s(p-1)-1 & (p>0) \cr \end{cases} \cr \text{塊上昇：} Δ(B,ε) &= \begin{cases} () & (B=()) \cr \delta(S,\epsilon) \smallfrown (0,a,a,...a) & (a=D_X-2 \cap S=S \smallfrown (0)) \cr \delta(S,\epsilon) \smallfrown (a) & (a \ne D_X-2 …
テスト
- a
- aa
\(E=mmmmmmmmc^2\)
\(N\)
\(\mathbb{N}\)
\(\mathfrak{A}\)
\(\mathcal{A}\)
\(a_ba_c\)
\({a_b}_c\)
\(a_{b_c}\)
\(\omega_{\omega^a}\) BAHANAAAAAAAAAAAAAA
\(\phi_c^a\)
- 適当な文字列１
- 適当な
文字列２- 適当な文字列３
- 適当な文字列２
- 適当な
適当な文字列１
適当な文字列３
適当な文字列２
バシクテンソルシステム
- 1 オメガ数列数
- 2 オメガ多重数列数
- 3 アッカーマン数列数
- 4 アッカーマン多重数列数
- 5 ペア亜数列数
- 6 ペア大数列数
- 7 バシクテンソル数
- 8 バシク多角行列数
- 9 横に伸びるバシク行列システム
(0,0)(n,n)[x]
バシクテンソルシステム試作。
(0)(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...,n)[x]
(0,0)(1,2)=(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)...
(0,0)(1.2)(1,3)=(0,0)(1,2)(1,2)(2,4)(3,6)...
(0,0)(2,2)=(0,0)(1,2)(1,3)(1,4)...(1,n)(1,n+1)
バシクテンソルシステム拡張試作。
ペア亜数列システム。
バシクテンソルシステム。ペア亜数列の行列。
ペア大数列の行列、急増加数列の作用素を行列に効果。
(0)(1),(0,0)(1,2),(0,0,0)(1,2,3)...,
(0)(1)(1)(2)...=(0)(1,1),(0)(1,1,...,1)=(0)(1)(2)
お祓い棒の基本列をできるだけ速く求める
目標: O(N^2)、もしうまくいけばO(NlogN)、もっとうまくいけばO(N)
\( N \in \mathbb{N} \)と\( s \in OT_{\textrm{☯}, N} \)が与えられる。\( t \in OT_{\textrm{☯}, N} \)であって、\( s < t \)かつ\( \lnot \exists u \in OT_{\textrm{☯}, N}\ s.t. s < u < t \)であるものを求めよ。解なしであることもある。
弱虫
界隈でたまに見るベクレミシェフの虫の定義をミスって弱くなったやつ、略して弱虫です。
「ベクレミシェフの弱虫」にしようか迷いましたが、本気で誹謗中傷と捉えられかねないのでやめときます。
写像\(\textrm{wBek} : (\mathbb{N}^{
実変数関数を写像の反復か否か判定
概要
数列には写像の反復によって定義されるもの、 すなわち隣接2項間漸化式 \(a_{n+1} = f(a_n)\) が存在して \(a_0, f(a_0), f^2(a_0), \dots\) と表せるものと そうでないものが存在する。 ここではこれを数列に限らず実数の部分群を定義域とする写像が写像の反復であるか否かを判定する。
数列の場合を考えるとき、このようなものは基本周期の大きさ(\(f^n(a_m) = a_m\) をみたす最小の \(n\)) と、 その周期が始まる位置によって完全に特徴付けられると分かる。 例えば、 \[ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4, 5, \dots \] という数列は第4項から大きさ3の周期が始まっている。 定義域が \(\mathbb{R}\) の関数についても、 基本周期はその部分群、周期の始まる位置はその切断によって表す事ができることを以下で示す。
- 1 本文
- 1.1 定義 1.1.
- 1.2 定義 1.2.
- 1.3 補題 1.3.
- 1.4 命題 1.4.
- 1.5 補題 1.5.
- 1.6 系 1.6.
- 1.7 補題 1.7.
- 1.8 補題 1.8.
- 1.9 補題 1.9.
- 1.10 命題 1.10.
- 1.11 命題 1.11.
- 1.12 例 1.12.
- 2 あとがき
- 3 参考文献
\[ \newcommand{\ang}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\1}{^{-1}} \newcommand{\e}{\epsilon} \newcommand{\oa}{\te…
ブラウワー順序数の制限と拡張
ブラウワー順序数の制限と拡張について論じる。
ブラウワー順序数は、構成主義数学で順序数を扱う一種の方法であり、その定義は基本列と同等である。このため、巨大な順序数を定理証明支援系で扱う場合に有用な手段である。だが、私が知る限りブラウワー順序数について日本語で説明した文献はなく、その知名度が低いように感じる。そのため、ここで普及を図りたい。
この記事は、四つの主要な節を有する。一つ目の節では、ブラウワー順序数の定義を説明する。二つ目の節では、直前の節で示した定義が持つ問題を指摘する。三つ目の節では、直前の節で指摘した問題を解決する新たなブラウワー順序数の定義を示す。四つ目の節では、直前の節で示した定義が問題なく使えることを確かめるために、簡単な順序数崩壊関数を定義する。
ブラウワー順序数は、構成主義数学で順序数を扱う一種の方法である。 "Brouwer ordinals" や "Brouwer trees" や "Brouwer tree ordinals" などとも呼ぶ。
ブラウワー順序数は次のような帰納型として表すことができる。
までの崩壊を実装している。 Coq と Agda は宇宙を有しており、宇宙が到達不能基数と対応することから、 Coq と Agda で到達不能基数の崩壊の対応物を記述することができるかもしれないが、宇宙を透過的に取り扱うことは困難であり、もしかしたら inductive-recursive type が必要になるかもしれない。
この記事のコードの全体は "brouwer_ordinal.v" に置いてあり、 Coq で検証済みである。
- "Large countable ordinals and numbers in Agda" (2019, András Ko…
Extreme Shitagaki
- 1 もはや何でもない \(\Psi\)
- 1.1 激しく疑わしいOCF
- 1.2 \(T, PT, RT, KT\)
- 1.3 \(m\)
\(\pi\)は常に非可算正則基数を表す。
\(C(\alpha, \beta)\)は以下の閉包:
- \(\beta \cup \{0, 1, K\}\)
- \((\xi, \eta) \mapsto \xi+\eta\)
- \(\xi \mapsto \omega^\xi\)ただし\(\xi > K\)
- \(\xi \mapsto \Xi(\xi)\)ただし\(1 + \xi < \alpha\)
- \((\xi, \pi, \delta) \mapsto \Psi^\xi_\pi(\delta)\)ただし\(\xi \le \delta < \alpha\)
\(M^0 = K \cap AP\)とし、\(\alpha > 0\)について \[ M^\alpha = \left\{ \pi < K \colon \begin{array}{rl} & \pi = K \cap C(\alpha, \pi) \land \alpha \in C(\alpha, \pi) \\ & \land (\forall \xi \in C(\alpha, \pi) \cap \alpha) [M^\xi \, \text{is stationary in} \, \pi] \end{array} \right\} \] と定める。
\[\Xi(\alpha) = \min(M^{1 + \alpha} \cup \{K\})\]
\(\xi \leq \alpha\)について、 \[ \Psi^\xi_\pi(\alpha) = \min(\{\rho \in M^\xi \cap \pi …
数列の階差を関数として捉える試み
- 1 概要
- 2 定義１（自身を階差関数として持つ数列系）
- 3 各関数についてのコメント
- 3.1 展開
- 3.2 悪い部分\(B\)
- 3.3 階差\(Df\)について
- 4 これからの方針
- 4.1 2024.10.14
- 4.2 2024.11.06
数列\(S= (S_0 , S_1 , \cdots , S_{m}) \)が与えられたとき、その形はおおよそ等差数列であったり等比数列のようになります。
もし数列の一般項が急増加する場合に、その増加速度を検出したくなったので作りました。
具体的には、\(a,b\)の二項間の階差を考えるときに、差\(b-a\)を考えるのではなく、\(f(a)=b\)が成り立つ関数\(f\)のことを考えます。
特にここでは、関数fを導入する代わりに数列系そのものも関数として使用しています。
関数の作成には、ゆきと氏の「亜原始数列」を参考にしました。亜原始数列の階差を関数に変更したものです。
構文には、koteitan氏の「バシク行列の数式的定義」を参考にしました。
入力数列：\(S=(S_0 , S_1 , \cdots , S_{m}) \)
\(% 展開規則：\text{expand}(S[n]) = \begin{cases} n, & \text{if }S =() \\ \text{expand}((S_0 , S_1 , \cdots , S_{m-1})[n+1]) , & \text{if }S_{m}=0 \\ \text{expand}(G \frown B^{(0)} \frown B^{(1)} \frown \cdots \frown B^{(n+1)} [n+1]) & \text{if }S_{m} \neq 0 \end{cases} \)
数列系：\(S[n] = \be…
ベクレミシェフに関する予想
2年ほど前からの予想を、別視点で形式化しようと思います。具体的にこのアイディアに沿って巨大関数を構成する試みは、既に竹取翁氏によって行われています。詳しくはこちらをご覧ください。
記事内容を大まかに言うと、「整列集合\(WO\)の元からなる有限列全体の集合\(WO^{
下書き41
- 1 概要
- 2 前文
- 3 項
- 3.1 略記
- 4 oplus
- 5 パース
- 5.1 Dig
- 5.2 Layer
- 5.3 Replace
- 5.4 IntoLayer
- 5.5 Van
- 5.6 前者
- 5.6.1 PredBase
- 5.6.2 Pred
- 5.7 掛け算
- 5.7.1 MultBase
- 5.7.2 Mult
- 6 タイプ
- 7 順序
- 7.1 反
- 7.2 零
- 7.3 正
- 7.4 負
- 7.5 項
- 7.6 左
- 7.7 内
- 7.8 シンタックスシュガー
2025年エイプリルフール用
この表記で使用される文字\( A \)はどの順序数にも対応しないことが期待されている。
\( 0 \)と\( + \)と\( ( \)と\( ) \)と\( \psi \)と\( \psi_A \)と\( A \)からなる文字列の集合\( T \)と\( PT \)を以下のように定義する:
- \( 0 \in T \cap PT \)である。
- 任意の\( a \in PT, b \in T \setminus \{ 0 \} \)に対し、\( a + b \in T \)かつ\( a + b \notin PT \)である。
- 任意の\( a \in T \)に対し、\( \psi(a) \in T \cap PT \)である。
- 任意の\( a \in T \)に対し、\( \psi_A(a) \in T \cap PT \)である。
- 任意の\( a \in T \)に対し、\( A(a) \in T \cap PT \)である。
以下の略記を使用するかもしれない。
- \( $0 := 0 \)
- \( $1 := \psi($0) \)
- \( $\omega := \psi($1) \)
- \( $A := A($0) \)
- 任意の\( \alpha \in T \)に対し、\( A \times \omega^{\alpha} := A…