巨大数研究 Wiki
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Hexirp Hexirp 10時間前
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(2022-06-30) ラティエンの弱コンパクト性の崩壊

私は、弱マーロ性が、あんまり理解できておらず、それを崩壊させる関数も作れないでいた。そこで、安定順序数という良さそうなものを私は見つけて「反映順序数の崩壊」を作り始めたのだが無事に撃沈してしまった。そこで、素直に "Proof Theory of Reflection" の関数について学ぶことにした。

私が目指すものをはっきりさせておこう。まず、私は "degree" が気に入っていない。そこで、私は、 "degree" をクラスを引数に取ることで代替しようとしている。次に、私は、できるだけ表現できないものを減らそうとしている。たとえば、最小の到達不能基数を、そのまま表現できるようにしたい。

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Genius88888888 Genius88888888 20時間前
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ノコテトラ

ノコテトラは、SZ的追加形多種記号1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②で ßSTM(4) と表される巨大数である。

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Genius88888888 Genius88888888 1日前
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SZ的追加形多種記号1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②

SZ的追加形多種記号1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②は、SₖSTM(n)[a]をßSTM(n)またはßSTM(m)の形で表した関数であり、以下のルールに従って定義される。(nは2以上2以下の整数、mは2以上の整数)また、以下の2の変換をm変換とする。

  1. ßSTM(n-1)=SₙSTM(n)[n]
  2. ßSTM(m)=ßSTM(ßSTM(m+1))[ßSTM(ßSTM(m+1))]
  3. m変換m回目につきするm+1回目の入れ子の回数はm-1回である。
  4. m変換における入れ子の順序は、「追加形多種記号1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②においての、(n)成分→[a]成分」であり、ここで言う『入れ子の回数』とは、「」中の一連の流れである。
  5. m変換とルール3の変換の適用順序は、「ルール2→ルール3」である。
  6. m変換とルール3の変換終了後は、ßSTM(m)=ßSTM(ßSTM(m-1))[ßSTM(ßSTM(m-1((n)→n-1後)))]
  7. 全てのmがn-1の状態になったら計算は終了する。
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Gaoji Gaoji 2日前
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ハイパー総和・ハイパー総乗

こんにちは、お久しぶりです。がおじです。

今日は総和と総乗を「そのまままっすぐ」巨大数っぽく拡張したやつをのせます。総乗に関係する巨大数としては超階乗という概念が有名ですが、それとは少し違います。

以下がハイパー総和とハイパー総乗の定義です。


 計算がめんどくさくて大きさの見積もりはできていませんが、矢印表記みたいな感じになるような気がします。Σの中に数字が入っているやつは記事内では書けないので[Σ数字]と書くこととします。l[Σm](l+1)=2l+1です。「虫の華やぐ里山の夏」と命名した6[Σ8783108]72が「虫の華やぐ里山の夏」っぽくなくてグロいので、何かもっといい表現がないかなと考え中です。


こっちもハイパー総和と同じ感じで矢印表記みたいになる気がしますが、出力に階乗が現れるので最初から大きめです。Πが神社の鳥居⛩みたいだったので、巨大数の命名をするのが楽しかったです。12と51は狛犬です(見えるかな🐶)。ほんとうは鳥居を何個も重ねて伏見稲荷大社みたいにしたかったのですが、それをするには定義をもっとしっかり描かないといけなくなるので今回は見送りました。


「おもたる・あやかしこねのかず」と「虫の華やぐ里山の夏」はどっちが大きいんだろう。 それでは!ここまで読んでいただきありがとうございました!

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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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次元関数(拡張BEAF)

以下のルールに従って、次元関数を定義する。(a,b,c,dは非負整数、nは自然数) (ここでは、ルール4,6,7,8,9,10,11の等号の右側を変換結果と呼ぶ。変換結果によって得られたaの数を変換結果数(C)と呼ぶ。)

  1. Dim(a)=a
  2. Dim(0)=Dim(1)
  3. Dim(a,1)=Dim(a)
  4. Dim(a,b)=Dim((b個のa))
  5. Dim(a,1,1)=Dim(a)(補足)
  6. Dim(a,b,c)=Dim((c個の(b個のa)))
  7. Dim(a,b,c,d)=Dim((d個の(c個の(b個のa))))(補足)
  8. Dim(a,b,c,d..[n個の文字]..)=Dim(..[n個の文字 (a,b,c,dを含む) ]..(d個の(c個の(b個のa)..[n+1個の閉じ括弧]..)))
  9. 一次変換結果に対して、Dim(a,a)=Dim((C₁個の(a個のa)))
  10. 二次変換結果に対して、Dim(a,a)=Dim((C₂個の(a個のa)))(補足)
  11. n次変換結果に対して、Dim(a,a)=Dim((Cₙ個の(a個のa)))(nは自分で定めてもよい。が、基本はn=4096である。)
  12. n+1次変換が終わったら、Dim(a,a)={a,a}
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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超サブライム数

超サブライム数は自然数で、約数の個数が完全数であり、全ての約数の和が別の完全数になり、その数自身も完全数であり、約数が全て異なる完全数だけになるような数である。

『約数が全て異なる完全数』に関しては、どの自然数も約数が完全数だけになることは絶対にないので、ここでは『全て異なる完全数だけでかけ合わされた数』のほうが正しい。

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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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誰かこの証明を行ってください

「全ての自然数において、ある一つの自然数のその自然数を含まない約数の和は、その自然数の5/3未満になる。」

limはよくわかりませんが、こんな感じになると思います。

\(\lim_{n \to \infty} \frac{5n}{3n}\)

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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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アッカーマン関数の計算早くできる方法みつけた

(n=2しかやっていないが)

ルール3を適用せずにルール2を悪用する。(ここで悪用とは、A(x,y)のxとyがどちらとも自然数なのにルール2を使用することである。)


A(2,2)

=A(1,A(2,1))

=A(1,A(1,A(2,0)))

=A(1,A(1,A(1,1)))

=A(1,A(1,A(0,A(1,0))))

=A(1,A(1,A(0,A(0,1))))

=A(1,A(1,A(0,2)))

=A(1,A(1,3)) =A(1,A(0,4)=A(1,5)=A(0,6)=7 ここ

=A(1,A(0,A(1,2)))

=A(1,A(0,A(0,A(1,1))))

=A(1,A(0,A(0,A(0,A(1,0)))))

=A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,1)))))

=A(1,A(0,A(0,A(0,2))))

=A(1,A(0,A(0,3)))

=A(1,A(0,4))

=A(1,5) =A(0,6)=7 ここでもいける

=A(0,A(1,4))

=A(0,A(0,A(1,3)))

=A(0,A(0,A(0,A(1,2))))

=A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,1)))))

=A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0))))))

=A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1))))))

=A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,2)))))

=A(0,A(0,A(0,A(0,3))))

=A(0,A(0,A(0,4)))

=A(0,A(0,5))

=A(0,6)

=7


しかも全て悪用せず式が短いときにだけ悪用する。

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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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追加形多種記号1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②

追加形多種記号1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②は、SSTMのSがどんどん追加されて表される巨大関数である。ルールは以下の通りである。(kは自然数)

  1. SₖSTMはS...S(k個のS)STMとも表記できる。
  2. (n)の部分にk-1したものを入れ子する。
  3. [a]の部分にルール3の終了後のものを入れ子する。
  4. 左側から順にkに-1をする。
  5. kが1になり、全てSSTMの状態になったら多種記号1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②の計算に移る。
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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タマテトラ

タマテトラは、多種記号1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②で、SSTM(4)[4]と表される巨大数である。

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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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多種記号1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②

多種記号1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②は、1種記号1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②を1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②としたときの、SSTM(n)[a](nはSSTM以外の記号の種類の数で、自然数)で表される関数で、以下のルールに従って定義される。(ここで、S(Symbol)は、ある関数を定義するために使う1種類のSSTM以外の記号で、SBS(Symbol Before the Symbol)は、Sの関数を定義するために使う1種類のSSTM以外の記号)(aは自然数)

  1. S(a)=SBS(SBS(...(SBS(a))...))(SBS(a)個のSBS(a)個の...SBS(a)(SBS(a)個のSBS(a)個の...SBS(a)(...(SBS(a)個のSBS(a))...)(SBS(a)個の(SBS(a)個のSBS(a)個の...SBS(a))
  2. SSTM(n)[a]=(n種類のS(a))
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②

1変数化多重強化拡張拡張タマトリエ関数②は、STM|(STM|...(STM|n;n)...)(STM|n;n個のSTM|)=STM(n)で表した1変数関数である。

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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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多重強化拡張拡張タマトリエ関数②

多重強化拡張拡張タマトリエ関数②は、重なりの数をxとしたとき、STM|x-1;n,n,...n(n個のn)=STM|x;nで表される関数であり、以下のようなルールに従って定義される。(a,b,c,d,x,nは自然数)(nは要素の最後)

  1. STM|x;a=STM|x-1;a,a,...a(a個のa)
  2. STM|x;a,1=STM|x;a
  3. STM|x;1,a=STM|x;1
  4. STM|x;a,b=(STM|x;a個のSTM|x;a個の...STM|x;a(b個のSTM|x;a))
  5. STM|x;a,b,c=(STM|x;a,b個のSTM|x;a,b個の...STM|x;a,b(STM|x;b個のSTM|x;b個の...STM|x;a,b(c-1個のSTM|x;bと1個のSTM|x;a,b)))
  6. STM|x;a,b,c,d=(STM|x;a,b,c個のSTM|x;a,b,c個の...STM|x;a,b,c(STM|x;b,c個のSTM|x;b,c個の...STM|x;a,b,c(STM|x;c-1個のSTM|x;c-1個の...STM|x;b,cと1個のSTM|x;a,b,c(d-1個のSTM|x;c-1と1個のSTM|x;a,b,c))))
  7. STM|x;a,b,...m,n=(STM|x;a,b,...m個のSTM|x;a,b,...m個の...STM|x;a,b,...m(STM|x;b...m個のSTM|x;b...m個の...STM|x;a,b,...m(...(n-1個のSTM|x;m-1と1個のSTM|x;a,b,...m)...))
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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2重強化拡張拡張タマトリエ関数②

2重強化拡張拡張タマトリエ関数②は、STM;n,n,..n(n個のn)=STM|2;nで表される関数であり、以下のようなルールに従って定義される。(a,b,c,d,nは自然数)(nは要素の最後)

  1. STM|2;a=STM;a,a,...a(a個のa)
  2. STM|2;a,1=STM|2;a
  3. STM|2;1,a=STM|2;1
  4. STM|2;a,b=(STM|2;a個のSTM|2;a個の...STM|2;a(b個のSTM|2;a))
  5. STM|2;a,b,c=(STM|2;a,b個のSTM|2;a,b個の...STM|2;a,b(STM|2;b個のSTM|2;b個の...STM|2;a,b(c-1個のSTM|2;bと1個のSTM|2;a,b)))
  6. STM|2;a,b,c,d=(STM|2;a,b,c個のSTM|2;a,b,c個の...STM|2;a,b,c(STM|2;b,c個のSTM|2;b,c個の...STM|2;a,b,c(STM|2;c-1個のSTM|2;c-1個の...STM|2;b,cと1個のSTM|2;a,b,c(d-1個のSTM|2;c-1と1個のSTM|2;a,b,c))))
  7. STM|2;a,b,...m,n=(STM|2;a,b,...m個のSTM|2;a,b,...m個の...STM|2;a,b,...m(STM|2;b...m個のSTM|2;b...m個の...STM|2;a,b,...m(...(n-1個のSTM|2;m-1と1個のSTM|2;a,b,...m)...))
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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強化拡張拡張タマトリエ関数②

強化拡張拡張タマトリエ関数②は、TM;n,n[n{n}]=STM;nで表される関数であり、以下のようなルールに従って定義される。(a,b,c,nは自然数)(nは要素の最後)

  1. STM;a=TM;a,a[a{a}]
  2. STM;a,1=STM;a
  3. STM;1,a=STM;1
  4. STM;a,b=STM;a,(STM;a,(...STM;a)...)(b個のSTM;a)
  5. STM;a,b,c=(c個のSTM;b個のSTM;a,b)
  6. STM;a,b,...n=(n個の...STM;b,....個のSTM;a,b,....)
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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拡張拡張タマトリエ関数②

拡張拡張タマトリエ関数②は、TM;a,b,...nの要素に含まれる文字の数をmとして表し、mとして表したときの左側の要素に含まれる文字の数を更にmで表し、そのmを第2のmとする。それが、第kのmとして表される関数である。(kには自然数が入る)

  1. 自然数kが1になったら、{k}を取る。
  2. TM;a[m{k}]=TM;a,a,...a[m{k-1}](m個のa)
  3. TM;a,b[m{k}]=TM;a[m{k}],a[m{k}],...a[m{k}](b個のa[m{k}])
  4. TM;a,b,c[m{k}]=(TM;a[m{k}],a[m{k}],...a[m{k}]),(TM;a[m{k}],a[m{k}],...a[m{k}]),...(TM;a[m{k}],a[m{k}],...a[m{k}])(c個のb個のa[m{k}])
  5. TM;a,b,...n[m{k}]=(n個の...b個のa[m{k}])
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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拡張タマトリエ関数②

拡張タマトリエ関数②は、TM;a,b,...nの要素に含まれる文字の数をmとして表した関数である。(mには自然数が入る)

  1. 自然数mが0になったら、[m]を取る。
  2. TM;a[m]=TM;a,a,...a[m-1](m個のa)
  3. TM;a,b[m]=TM;a,b,a,b,...a,b[m-1](m個のa,b)
  4. TM;a,b,...n[m]=TM;a,b,...n,a,b,...n,...a,b,...n[m-1](m個のa,b,...n)
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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タマトリエ関数②

タマトリエ関数②は、TM;Xと表され(Xは1個以上の要素の列)、ここで要素とは、1以上の自然数もしくは(2個以上の)有限の自然数の組(\(a_1,a_2,...,a_k\))のことである。以下のようなルールに従って定義される。(a,b,c,d,l,m,nは自然数)(nは要素の最後)

  1. TM;a=a
  2. TM;1,a,b=TM;1
  3. TM;a,b,1=TM;a,b
  4. TM;a,b=TM;a↑ᷨa
  5. TM;a,b,c=TM;a,(TM;a,...(TM;a,b)...)(c個のa,)
  6. TM;a,b,c,d=TM;a,b,(TM;a,b,...(TM;a,b,c)...)(d個のa,b,)
  7. TM;a,b,...l,m,n=TM;a,b,...l,(TM;a,b,...l,...(TM;a,b,...l,m)...)(n個のa,b,...l,)
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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拡張多重チェーン表記

拡張多重チェーン表記は、拡張第nチェーン表記の総称である。(nは2以上の整数)

ルール1~5までは拡張チェーン表記と同じである。拡張多重チェーン表記ではルール4+nを新たに追加する。(a,b,cは非負整数、nは自然数)

  • a→ⁿ_cb=a→ⁿ_(c-1)...→ⁿ_(c-1)(b個の→ⁿ_(c-1))
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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多重チェーン表記

多重チェーン表記は、第nチェーン表記の総称である。(nは2以上の整数)

ルール1~4まではチェーン表記と同じである。多重チェーン表記ではルール4+nを新たに追加する。(a,b,cは非負整数、nは自然数)

  • チェーンの長さが3のときは a→ⁿb→ⁿc=a→ⁿ־¹־°_cb の形になる。

(→の右上の-0はUnicodeがうまくいかなかったためにあるので、実際の定義に-0は必要ない)

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Hexirp Hexirp 3日前
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(2022-06-27) 反映順序数の崩壊

p 進大好き bot さんが「高階記述不可能性の崩壊」を投稿した。これは実際の順序数解析に使うものではないとはいえ Rathjen や Stegert や Arai などが作成した関数を超えるものである。その一方で、私はマーロ基数の崩壊を理解し切れずに「順序数崩壊関数」を投稿したのを最後に順序数崩壊関数の作成を中断してしまっていた。つまり、私は弱コンパクト基数や記述不可能基数などの手前で立ち止まっていたのだ。 |- | 次は互いに同値である。

  1. 順序数 \( \alpha \) は \( \alpha \in \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 2 } } \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 2 } } \paren{ \mathrm{On} } } \) である。
  2. 順序数 \( \alpha \) は再帰的マーロ順序数である。

|}


  • 1 極限順序数の数え上げ
  • 2 許容順序数の崩壊
  • 3 再帰的到達不能順序数の崩壊
  • 4 失敗
  • 5 試作品
  • 6 注釈
  • 7 出典
  • 8 参考文献
  • 9 関連記事

\( \mathrm{Enum} \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{On} } } \paren{ \alpha } \) は \( \omega \times \alpha \) と等しい。

\( \mathrm{Enum} \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ …



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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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拡張第2チェーン表記

第2チェーン表記は、第2チェーン表記の拡張である。

ルール1~4まではチェーン表記と同じである。第2チェーン表記ではルール5,6を新たに追加する。(a,b,cは非負整数)

  • チェーンの長さが3のときは a→→b→→c=a→_cb の形になる。(ルール6)
  • a→→bは、a→²bと省略できる。(ルール5)
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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第2チェーン表記

第2チェーン表記は、拡張チェーン表記の一般化である。

ルール1~4まではチェーン表記と同じである。第2チェーン表記ではルール5,6を新たに追加する。(a,b,cは非負整数)

  • チェーンの長さが3のときは a→→b→→c=a→_cb の形になる。(ルール6)
  • a→→bは、a→²bと省略できる。(ルール5)
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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カッコ関数


(基本関数:乗算)

カッコ関数は、\(n)/と表す。

式変形は以下の通りである。(nは非負整数である)

\(n)/=()(n)()=(((n)))

この式を原型とし、以下のルールに従ってこの関数を定義する:

  • カッコの初めの大きさ(長さ)は1cmとする。
  • n=0のときは0である。
  • n=1のときは(((1)))である。
  • n>1のときは初めにncmのカッコを3n個つけて、(n-1)cmのカッコを3n個つける。・・・この作業をカッコの大きさ(長さ)が1になるまで繰り返す。
  • ncmの大きさ(長さ)のカッコは(n-1)cmのカッコn個分とみなす。
  • それぞれのカッコの前にnを入れて計算する。
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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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タマトリエ関数①


T(n)の n=1 を原型とし、以下のルールにのっとり、タマトリエ関数①を定める。(nは整数)

  • T(0)=0である。
  • T(1)は以下のような形に式が変形する。

T(1)

=a(T(1))・・・・・・・・・1変換目

=m(a(T(1))) ・・・・・・・2変換目

=a(m(a(T(1)))) ・・・・・・3変換目

=t(a(m(a(T(1))))) ・・・・・4変換目

=r(t(a(m(a(T(1)))))) ・・・・5変換目

=i(r(t(a(m(a(T(1))))))) ・・・6変換目

=e(i(r(t(a(m(a(T(1)))))))) ・・7変換目

  • 絶対値がn>1のとき、T(1)の形を基本形とし、以下のようなルールで定まる。(1~5までのルールは1変換ごとに行うものとする。)
  1. nの部分にn-1回入れ子する。
  2. 文字(a,Tなど)をn回重ねる。
  3. 重ねたものを省略する。ここでは、「重ね省略記号」と呼ぶ。(省略記号は後ほど説明する。)
  4. 重ね省略記号をn回重ね省略記号化する。
  5. 重ね省略記号化したものを省略する。ここでは、「省略化省略記号」と呼ぶ。(省略記号は後ほど説明する。
  6. 1変換目から7変換目までの動作をn回繰り返す。
  7. 2回目以降の1変換目の式変形は、前回の7変換目で得られた式に含まれるT(n)の部分で変換することとする。
  • 省略記号は以下の通りである。

文字(a,Tなど)がn個重なった場合は ”\(文字_{n}\)” と表す。

nがn個重ね省略記号化した場合は ”\(n[n]\)” と表す。(重ね省略記号化とは、\((文字やn)_{n}\)の形になることである。)

  • (カッコの外し方についてです。良い方法が思いつかないので、皆さんに考えていただきたいです!あとあればアドバイスください。)


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Genius88888888 Genius88888888 3日前
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a²の図形に含まれる一筆書きで書ける線の数

a=1の場合、一辺を1cmとすると、1cmの線が4本、2cmの線が4本、3cmの線が4本、4cmの線が1本で13本となります。できる方はa=2にチャレンジしてみてください。

aマス×aマスの図形です。フカシギの数え方みたいな。変域は、自然数です。

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Namekabl Namekabl 5日前
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自作巨大数その8-拡張S変換数

  • 1 概要
  • 2 定義
    • 2.1 用語
    • 2.2 変換
    • 2.3 命名

ふぃっしゅ数で使われるS変換は、自然数から自然数への関数、自然数と関数から自然数と関数への変換、自然数と関数と変換から自然数と関数と変換への写像、と発展させていました。
対してm変換は、自然数から自然数への写像(m(1))、M1からM1への写像(m(2))、M2からM2への写像(m(3))...と一般化していきます。
ここで、関数→S変換→SS変換というプロセスを一般化すればm変換に届くのではと考えたので、定義してみます。
理想はε0です。多少定義を調整しています。


・S0変換は、非負整数から非負整数への写像である。
・Sn+1変換は、非負整数、S0変換、S1変換、...、Sn変換から非負整数、S0変換、S1変換、...、Sn変換への写像である。


・S0変換B0を、B0(x)=x+1と定義する。
・Sn+1変換Bn+1を、Bn+1(x,s0,s1,...,sn)=g(x,s0,s1,...,sn-1),gと定義する。
ただし、g(x,s0,s1,...,sn-1)=snx(x,s0,s1,...,sn-1)と定義する。
ここで、siは任意のSi変換であり、ƒxはƒをx回合成した写像である。


・関数F(x)をBx(x,B0,B1,...,Bx-1)の第一成分と定義し、これを拡張S変換関数と命名する。
・F63(3)を、拡張S変換数と命名する。

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Hexirp Hexirp 5日前
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(2022-06-25) メモ

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Relyls Relyls 7日前
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ネイピア数さんがサンクトペテルブルクの賭けで儲ける数

10進法での桁操作の為に以下の関数を定める。


結論:巨大関数ではない。

巨大関数じゃないんか~い!もうええわ。ありがとうございました。

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Freighter-number Freighter-number 8日前
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偽BEAF(LXまで)

\( \newcommand\a{\alpha} \newcommand\b{\beta} \newcommand\g{\gamma} \newcommand\ar{~\&~} \newcommand\N{\mathbb{N}} \) BEAF(LXまで)に似たナニカです。


  • 1 配列
    • 1.1 基数
    • 1.2 プライム
    • 1.3 パイロット
    • 1.4 副操縦士
    • 1.5 乗客
    • 1.6 セパレータ
    • 1.7 変換写像
    • 1.8 展開写像
  • 2 構造
  • 3 前置
  • 4 プライムブロック

正整数全体の集合を\(\N\)とおく。

  • \(b,\b_0,\dots,\b_k\in\N~(k\in\N\cup\{0\})\)かつ\(\a_0,\dots,\a_k\in TS\)なら、\(\{b(\a_0)\b_0\dots(\a_k)\b_k\}\)は配列である。
  • \(\a_0,\dots,\a_k\in TS\)かつ\(\b_0,\dots,\b_k\in S\setminus\{0\}~(k\in\N\cup\{0\})\)かつ\(l\in PS\)なら、\(\{l(\a_0)\b_0\dots(\a_k)\b_k\}\)は配列である。

配列全体の集合を\(AR\)とおく。


配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に対し、\(b\)を\(\a\)の基数とする。


配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に対し、プライムを以下で定める。

  1. もし\(\a_{10}=0\)ならば、プライムは\(\a_0\)である。
  2. もし\(\a_{10}\neq 0\)ならば、プライムは\(1\)である。

配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に…






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九矛乃 九矛乃 8日前
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ベクベク数列の虫手続き版

ベクベク数列の虫

極限系は({0,0,0}{n,n,n})[n]

{x,y,z}

x…yにヤベーことをする数、左数

y…「何重のinベクレミシェフの虫の中の数か」を示す数、中数

z…1以上なら数値、0の場合は括弧の端であることを示す、右数

a,b,c,x,y,z=0または正の整数

()内で一番右の{}をA、その左数をa、その中数をb、その右数をcとする

()の中に何もなければ[]内の数の数値を出す

cが0ならAを消して[]内の数を+1する

cが1かつaが1以上なら

Aを「全ての{}の左数がa-1」「左端の中数はb、{}2連続ごとに次からの{}の中数を+1、中数がnになるまで続く」「{}ごとに右数が0とnが交互かつ左端の{}の右数は0かつ右端の{}の右数はn」の3つを満たす列に置換し、[]内の数を+1

cが2以上かつbが0なら

右から順に「中数0、右数が1以上c未満の{}」を探し、見つけたらその右に、見つからなければ()内の左端に「仕切り1」を入れる

同じく「中数0、右数0の{}」を探索し、その右から右を「基準右付属」と定義

「2つの「中数0、右数0の{}」に挟まれている部分を「右付属」と定義

[]内の数をnとして

右から順に「({0,0,0}右付属)[n]<({0,0,0}基準右付属)[n]」となる右付属を探し、見つけたらその右に、見つからなければ()内の左端に「仕切り2」を入れる

cを-1してから「仕切り1」の右側を右端にn個コピーして「仕切り1」を抜く

そこから「仕切り2」の右側を右端にn個コピーして「仕切り2」を抜く

[]内の数を+1して変形終了

cが2以上かつbが1以上なら

右から順に「中数b超え、または中数bかつ右数c未満」を探し、見つけたらその右に、見つからなければ()内の左端に「仕切り1」を入れる

同じく…

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九矛乃 九矛乃 8日前
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ベクベク数列の虫

ベクベク数列の虫

極限系は({0,0,0}{n,n,n})[n]

{x,y,z}

x…yにヤベーことをする数、左数

y…「何重のinベクレミシェフの虫の中の数か」を示す数、中数

z…1以上なら数値、0の場合は括弧の端であることを示す、右数

a,b,c,x,y,z=0または正の整数

・()[n]

=n

・({○,}{a,b,0})[n]

=({○,})[n+1]

・({○,}{a+1,b,1})[n]

=({○,}{a,b,0}{a,b,c}{a,b+1,0}{a,b+1,c}{a,b+2,0}{a,b+2,c}…{a,n-1,0}{a,n-1,c}{a,n,0}{a,n,c})[n+1]

※極限系からの展開であればb<n※

・{○,}

=任意の列

・({△,0,0}{◇,0,c+1≦◇}{a,0,c+1})[n]

=(<{△,0,0}<{◇,0,c+1≦◇}{a,0,c+1}>*n個>*n個)[n+1]

・({△,0,0}{△,b+1,0}{◇,b+1,c+1≦◇}{a,b+1,c+1})[n]

=({△,0,0}{○}{△,b+1,0}{◇,b+1,c+1≦◇}{a,b+1,c+1})[n]

・{◇,y,z≦◇}

=任意の「中数がyかつ右数がz以上」である{}を任意個並べた列

=「中数がyを超える、または中数がyかつ右数が1以上」の中身を持つ{}を任意個並べた右端に「中数がyを超える、または中数がyかつ右数が1以上x以下」である{}を置いた列、または列が無い

=「左端に「中数がy右数0がである{}」その右に「この条件式内で、中数がyを超える、または中数が1」かつ「右数が1以上」かつ「この変換式の変換間の式の内で{△,y,0}で表される最も右にある{}の「{」から「c+1}」までのコピー以上の右付属」である列」を任…

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Namekabl Namekabl 10日前
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自作巨大数その7-拡張虫配列数

  • 1 概要
  • 2 定義
    • 2.1 用語
    • 2.2 順序

ブーフホルツのヒドラでノードにさらにヒドラを入れ込んだ表記は存在しますが、原子数列やベクレミシェフの虫の非負整数部分にさらに配列を入れ込んだ表記は存在しないように見えたので、定義してみます。
多分ζ0ぐらいになるんじゃないかと思っています。


・任意の配列Aとその任意の要素aに対して、Aはaの親であり、aはAの子であるという。また、aが配列であった場合、aとaの任意の子孫a`はAの子孫であり、Aとaはa`の先祖である。
・拡張虫配列とは、0個以上の拡張虫配列からなる配列である。このとき、任意の拡張虫配列は自身を子孫として持たないように定義される。
・0個の要素からなる拡張虫配列を、単位配列と呼び、0と表記する。


任意の拡張虫配列a,bについての二項関係a

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Freighter-number Freighter-number 10日前
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偽BEAF(レギオン配列)

\( \newcommand\a{\alpha} \newcommand\b{\beta} \newcommand\g{\gamma} \newcommand\ar{~\&~} \newcommand\N{\mathbb{N}} \) BEAF(レギオン配列)に似たナニカです。


  • 1 配列
    • 1.1 基数
    • 1.2 プライム
    • 1.3 パイロット
    • 1.4 副操縦士
    • 1.5 乗客
    • 1.6 変換写像
    • 1.7 展開写像
  • 2 構造
  • 3 前置
  • 4 配列次元演算子
  • 5 プライムブロック
    • 5.1 X構造
    • 5.2 レギオン構造

正整数全体の集合を\(\N\)とおく。

  • \(b,\b_0,\dots,\b_k\in\N~(k\in\N\cup\{0\})\)かつ\(\a_0,\dots,\a_k\in TS\)なら、\(\{b(\a_0)\b_0\dots(\a_k)\b_k\}\)は配列である。
  • \(\a_0,\dots,\a_k\in TS\)かつ\(\b_0,\dots,\b_k\in S~(k\in\N\cup\{0\})\)なら、\(\{X(\a_0)\b_0\dots(\a_k)\b_k\}\)と\(\{L(\a_0)\b_0\dots(\a_k)\b_k\}\)は配列である。

配列全体の集合を\(AR\)とおく。


配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に対し、\(b\)を\(\a\)の基数とする。


配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に対し、プライムを以下で定める。

  1. もし\(\a_{10}=0\)ならば、プライムは\(\a_0\)である。
  2. もし\(\a_{10}\neq 0\)ならば、プライムは\(1\)である。

配列\(\a=\{b(\a_{10})\a…






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九矛乃 九矛乃 11日前
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二乗ベクレミシェフの虫

標準系は

({a,b,c,…d,}{e,f,g,…h,}{i,j,k,…l,}…{m,n,o,…p,})[x]

極限系は

({n,})[0]

手順1

[]の中の数に1を足す

手順2

()内の右端の{}の内に何もないなら消して終了

そうでないなら以下の関数を用いて右から順に「()内の右端の{}内の数列より小さい数列」を探す

※ぶっちゃけ「右端の{}内の数列αと比較対象の{}内の数列βを本家ベクレミシェフの虫に突っ込んで大きさを比べる」だけ※

手順2-0

標準系は

{a,b,c,…d,}

極限系は

{n,}

手順2-1

内の数に1を足す

手順2-2

数列の右端が0なら消して変形終了

0でないならそれより小さい数を右から順に探す

手順2-3

見つけたらその数の右に、見つからなかったら数列の左端に仕切りを入れる

手順2-4

右端から1を引く

手順2-5

仕切りより右側のコピーを[]内の自然数子作り、数列の右端の数の右に並べて仕切りを抜いたら変形終了

手順2-6

()内の右端の{}内の数列α、比較対象の{}内の数列β、[]内の数をxとして{α}と{β}の大小を比較する

{α}が{β}より大きいときのβが「()内の右端の{}内の数列より小さい数列」である

手順3

数列を見つけたらその数列の右に、見つからなかったら()内の左端に仕切りを入れる

手順4

右端の数列を以下の手順に従って1度だけ変形させる

※本家ベクレミシェフの虫そのままな変形※

手順4-1

数列の右端が0ならそれを消して変形終了

0でないならそれより小さい数を右から順に探す

手順4-2

見つけたらその数の右に、見つからなかったら数列の左端に仕切りを入れる

手順4-3

数列の右端から1を引く

手順4-4

仕切りより右側のコピーを[]内の数個作り、数列の右端の数の右に並べて仕切りを抜いたら変形終了

手順5

仕切りの…

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九矛乃 九矛乃 12日前
1

多数列ベクレミシェフの虫

標準系は

({a,b,c,…d,}{e,f,g,…h,}{i,j,k,…l,}…{m,n,o,…p,})[x]

極限系は

({1,1,1,…n個…})[0]

手順1

[]の中の数に1を足す

手順2

()内の右端の数列の右端が0なら、右端の数列の右から順に「0でない項」を探す

見つけたらその項から1を引き、それより右の項をxに置き換える

見つからなかったら右端の数列を消して終了

()内の右端の数列の右端の項が0でないなら

「左端からA項目までの項全てにおいて『左端からn項目の数は右端の数列の左端からn項目の数以下』である」かつ「左端からA項目の数は右端の数列の左端からA項目の数未満」を満たす正の整数Aが存在する数列を()内の右から順に探す

手順3

数列を見つけたらその数列の右に、見つからなかったら()内の左端に仕切りを入れる

手順4

右端の数列の右端から1を引く

手順5

仕切りの右から()内の右端までコピーを、右端の数列の右にx個コピーする

手順6

仕切りを抜く

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Hexirp Hexirp 16日前
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(2022-06-15) 反映

順序数崩壊関数に現れる全ての概念は、反映により説明できるのではないか?


\( L \) の論理式 \( \psi \) を取り \( A \models \psi \) と書くとき、暗黙的に \( A \) は標準的な解釈関数の下で \( L \)-構造になっていることにする。


ある一階述語論理の言語 \( L \) を設定する。 \( L \) は、その関数記号として \( 0 \) と \( \_ + \_ \) を持ち、その述語記号として \( \_ = \_ \) と \( \_ \leq \_ \) と \( \_ < \_ \) を持つ。

任意の \( L \) の論理式 \( \psi \) に対して \( \mathrm{On} \models \psi \leftrightarrow \alpha \models \psi \) が成り立つとき、 \( \alpha \) を加素順序数 (additive principal ordinal) と呼ぶ。

この解釈ならば、加素順序数が \( 0 \) を含まないことを自然に説明できる。


同様に ε 数も表現可能である。

ある一階述語論理の言語 \( L \) を設定する。 \( L \) は、その関数記号として \( 0 \) と \( \_ + \_ \) と \( \omega ^ \_ \) を持ち、その述語記号として \( \_ = \_ \) と \( \_ \leq \_ \) と \( \_ < \_ \) を持つ。

任意の \( L \) の論理式 \( \psi \) に対して \( \mathrm{On} \models \psi \leftrightarrow \alpha \models \psi …




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P進大好きbot P進大好きbot 20日前
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高階記述不可能OCF観察日記

許容パラメータ\((i,j) = (1,1), (2,1), (3,3)\)に対する高階記述不可能性の崩壊観察日記です。他の順序数崩壊関数との比較の期待を書いていきます。証明はありませんので間違っている可能性は高いです。

ちなみに許容パラメータ\((i,j) = (1,1), (2,1), (3,3)\)に対する高階記述不可能\(\psi\)は

  1. 正則基数の数え上げを使っていないので、Buchholzの\(\psi\)などにおける正則基数の役割を弱到達不能基数が担っている。
  2. 弱コンパクト基数の数え上げを使っていないので、Rathjenの\(\Psi\)における弱コンパクト基数の役割を\(\Pi^2_0\)記述不可能基数が担っている。
  3. \(n \in \omega \setminus \{0\}\)に対する\(\Pi^1_n\)記述不可能基数の数え上げを使っていないので、Arai先生の\(\psi\)における\(\Pi^1_n\)記述不可能基数の役割を\(\Pi^{1+n}_0\)記述不可能基数が担っている。

ということに注意してください。



  • 1 vs Buchholzのψ
  • 2 vs 拡張Buchholzのψ
  • 3 vs 超限変数拡張Buchholzのψ
  • 4 vs Rathjenのψ
  • 5 vs 各種OCFの可算限界
  • 6 脚注

Buchholzの\(\psi\)と違って序盤から不規則な動きをしますのでご注意ください。




Buchholzの\(\psi\)との比較でBuchholzの\(\psi_{\omega}\)が出た時に高階記述不可能\(\psi\)側は\(\psi_{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right)}(0)_{\left( \begin{array}…







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Nayuta Ito Nayuta Ito 22日前
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拡張BuchholzにI追加したらどうなるの? /やり直し

まず、拡張Buchholzの定義を再掲します。

  • \(C_\nu^0(\alpha) = \Omega_\nu\)
  • \(C_\nu^{n+1}(\alpha) = \{\xi+\zeta\mid\xi\in C_\nu^n(\alpha)\land \zeta\in C_\nu^n(\alpha)\}\cup\{\psi_\mu(\xi)\mid \mu\in C_\nu^n(\alpha)\land\xi\in C_\nu^n(\alpha)\cap \alpha\}\)
  • \(C_\nu(\alpha) = \bigcup_{n < \omega} C_\nu^n (\alpha)\)
  • \(\psi_\nu(\alpha) = \min\{\xi \mid \xi \notin C_\nu(\alpha)\}\)

これはなぜOFPで終わりなのでしょう? なぜなら、OFPより大きな順序数を得る手段がないからです。

???「OFPがないなら追加すればいいじゃない」

  • \(C_\nu^0(\alpha) = \Omega_\nu \cup \{ \mathrm{OFP} \} \)
  • \(C_\nu^{n+1}(\alpha) = \{\xi+\zeta\mid\xi\in C_\nu^n(\alpha)\land \zeta\in C_\nu^n(\alpha)\}\cup\{\psi_\mu(\xi)\mid \mu\in C_\nu^n(\alpha)\land\xi\in C_\nu^n(\alpha)\cap \alpha\}\)
  • \(C_\nu(\alpha) = \bigcup_{n < \omega} C_\nu^n (\alpha)\)
  • \(\psi_\nu(\alpha) = \mi…
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Freighter-number Freighter-number 22日前
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偽BEAF(L空間)

\( \newcommand\a{\alpha} \newcommand\b{\beta} \newcommand\g{\gamma} \newcommand\ar{~\&~} \newcommand\N{\mathbb{N}} \) BEAF(L空間)に似たナニカです。


  • 1 配列
    • 1.1 基数
    • 1.2 プライム
    • 1.3 パイロット
    • 1.4 副操縦士
    • 1.5 乗客
    • 1.6 変換写像
    • 1.7 展開写像
  • 2 構造
  • 3 前置
  • 4 配列次元演算子
  • 5 プライムブロック

正整数全体の集合を\(\N\)とおく。

  • \(b,\b_0,\dots,\b_k\in\N~(k\in\N\cup\{0\})\)かつ\(\a_0,\dots,\a_k\in TS\)なら、\(\{b(\a_0)\b_0\dots(\a_k)\b_k\}\)は配列である。
  • \(\a_0,\dots,\a_k\in TS\)かつ\(\b_0,\dots,\b_k\in S~(k\in\N\cup\{0\})\)なら、\(\{X(\a_0)\b_0\dots(\a_k)\b_k\}\)は配列である。

配列全体の集合を\(AR\)とおく。


配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に対し、\(b\)を\(\a\)の基数とする。


配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に対し、プライムを以下で定める。

  1. もし\(\a_{10}=0\)ならば、プライムは\(\a_0\)である。
  2. もし\(\a_{10}\neq 0\)ならば、プライムは\(1\)である。

配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に対し、パイロットを以下で定める。

  1. もし\(\a_n\neq…





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Freighter-number Freighter-number 23日前
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三関数の順序数版(試作)

\( \newcommand\a{\alpha} \newcommand\b{\beta} \newcommand\g{\gamma} \newcommand\d{\delta} \newcommand\e{\eta} \newcommand\x{\xi} \newcommand\n{\nu} \newcommand\m{\mu} \newcommand\On{\text{On}} \newcommand\dom{\text{dom}} \newcommand\cl{\text{cl}} \newcommand\Reg{\text{Reg}} \newcommand\T{\text{三}} \)

三関数の順序数版の試作です。
エラーを発見したらぜひ教えてください。


以下ZFC+MCで作業する。
\(M_0=1,M_{n+1}=n\text{番目の弱マーロ基数}\)とする。
\(\text{Reg}\)を非加算正則基数全体の集合とする。
\(\cl(X)=X\cup\{\a:\a\text{は}X\text{の極限}\}\)とする。

\begin{eqnarray} C_\n^0(\a) &=& M_\n\\ C_\n^{n+1}(\a) &=& \{\g_0+\g_1:\g_0,\g_1 \in C_\n^n(\a)\}\\ &&\cup \{\T_{\g_0}(\g_1):\g_0,\g_1 \in C_\n^n(\a) \land \g_1\lt\a\}\\ C_\n(\a) &=& \bigcup_{n\lt\omega}C_\n^n(\a)\\ \T_\n(\a) &=& \begin{cases} \min\{\b:\b\notin C_\n(\a)\} & ( \dom(\a…






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Binary198 Binary198 26日前
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私の最高傑作:メタ賢さのOCF

これは私の古い表記法である賢さのOCFの更新です。メタ巧妙さのレベルに到達するために関与する枢機卿のサイズを拡大しただけでなく、反射構成とインスタンスの微細構造も刷新しました。古いバージョンの定義はここにあります: [1].


微妙な枢機卿の存在によって増強された\(\textsf{ZFC}\)で作業しましょう。これは、うまくいけば、十分な条件です。

定義1.1 以下の定義は同時であることに注意してください。

算術項を定義します。そのセットは\(\mathfrak{T}\)で表され、巧妙なエンコーディングも定義されます。そのセットは\(\mathrm{ME}\)で表され、次のような特定の順序タプルとして定義されます。

  1. すべての\((a,c,b) \in (\mathfrak{T} \cup \mathrm {Ord} \backslash \{0\})^2 \times \mathrm{Ord}\)、\((a,b,c) \in \mathfrak{T}\)
  2. \(\emptyset \in \mathrm{ME}\)
  3. いくつかの\(t \in \mathfrak{T}\)と有限関数\(\vec{\mathbb{A}}\)の場合\(: \mathbb{N} \to \textrm{ME}\)、\(\mathbb{X} \in \mathrm{ME}\)および\(\alpha \in \mathrm{Ord}\)、\((\vec{\mathbb{A}}, t, \mathbb{X}, \alpha)\in \mathrm{ME}\)

\((\emptyset, t, \mathbb{X}, \alpha)\)を\((t, \mathbb{X}, \alpha)\)と省略します。

\(\mathbb{…


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P進大好きbot P進大好きbot 27日前
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高階記述不可能性の崩壊

たまには順序数崩壊関数も作ろうと思います。順序数表記は構成していませんが、付随する順序数表記を構成しやすいように色々な制限をつけています。詳しくは#期待で述べます。この順序数崩壊関数に関する性質はほとんど何も証明していないので何か意図しない挙動があるかもしれません。そのため不具合が見つかって定義を後で更新する可能性は高いです。一方で拡張もしやすいため、テンプレート化を行うことで何度か拡張も繰り返しています。



  • [Ste10] J. C. Stegert, Ordinal Proof Theory of Kripke-Platek Set Theory Augmented by Strong Refection Principles, doctral thetis in University of Munster, 2010.
  • [Ara20] T. Arai, A Simplified Ordinal Analysis of First-order Reflection, The Journal of Symbolic Logic, Volume 85, Number 3, pp. 1163--1185, 2020.

主に[Ara20]の手法を参考にしましたが、どうも論文中の記法で\(\psi_{\mathbb{K}_N}^{(1,0,\ldots,0)}(2) \in \textrm{Mh}_2^2(1)\)であることが意図されているように見えるのですがそれが成り立っていないように思い。

更により強く

  1. \(i = 1\)かつ\(j \leq 3\)(高次記述不能性の崩壊)
  2. \(i = 2\)かつ\(j \leq 3\)(shrewd性の崩壊)
  3. \(i = 3\)かつ\(j = 3\)(高階記述…


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Freighter-number Freighter-number 27日前
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BEAFの定義を試みる

\( \newcommand\a{\alpha} \newcommand\b{\beta} \newcommand\g{\gamma} \newcommand\k{\kappa} \newcommand\p{\pi} \newcommand\d{\delta} \newcommand\e{\eta} \newcommand\c{\chi} \newcommand\x{\xi} \newcommand\n{\nu} \newcommand\m{\mu} \newcommand\up{\uparrow} \newcommand\And{~\&~} \)

ここでは、テトレーション配列以降のBEAFの代替的定式化を試みる。


  • 1 ペンテーション構造
    • 1.1 構造
    • 1.2 プライムブロック
    • 1.3 計算例
  • 2 矢印構造
    • 2.1 構造
    • 2.2 プライムブロック
  • 3 4変数配列構造
    • 3.1 構造
    • 3.2 プライムブロック
  • 4 線形配列構造
    • 4.1 構造
    • 4.2 プライムブロック
  • 5 セパレータ写像
  • 6 配列次元演算子


構造を以下のように定める。

  • \(0\)は構造である。
  • \(\a\)が構造なら、\(X\up\a\)は構造である。
  • \(\a\)が構造なら、\(X\up\up\a\)は構造である。
  • \(\a\)と\(\b\)が\(0\)以外の構造なら、\(\a+\b\)は構造である。

\(X\up 0\)または\(X\up\up 0\)を\(1\)と略記し、
1より大きい各整数\(n\)に対し\(\underbrace{\a+\dots+\a}_{\a\text{が}n\text{個}}\)を\(n\a\)と略記し、
\(n1\)を\(n\)と略記し、
\(X\up 1\)または\(X\up\up 1\)を\(X\)と略記する。
構造\(\a\)が後続構造であるとは、\(\…






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Hexirp Hexirp 5月28日 (土)
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(2022-05-28) 有理数の輪を完備化すると実数の輪になる

有理数を完備化すると実数になる。では、有理数の輪を完備化すると実数の輪になるのだろうか。


まず、有理数を完備化すると実数になるというのは、どういうことだろうか。


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P進大好きbot P進大好きbot 5月28日 (土)
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亜原始数列とVeblen関数

亜原始数列の停止性を証明するための記事です。十分に見直していないので誤植や論理的誤りがいっぱいあるかもしれません。何か見つけたら教えて下さい。



ユーザーブログ:Naruyoko/亜原始数列とペア数列システム(2022/05/18 17:01の版)に

亜原始数列とはYukito氏が考案した表記で、極限\((0,\omega)\)はヴェブレンの関数で\(\varphi(\omega,0)\)に対応すると信じられてきたが、その証明は2022/05/17現在存在しない。

および

過去にヴェブレンの関数への対応写像を公開したが、非常に乱雑かつ複雑であり、証明は難航していた。

と書かれているのを2022/05/18 21:00頃に読んだ。当時「亜原始数列から順序数への適切な対応はVeblen関数を用いて非常に簡潔に書ける」と思っていたので驚き、

亜原始数列の解析って未証明なんですね。難しいのかな。

とtweetし、直後に変換写像の定義を

例えば単純にoを加法的にしてaddive principalな亜原始数列xの根の右端の子cの成分をdとしてcより左側をyとしてcとその右側の数列全てからdを引いた数列をzとしてo(x)を o(y)==0?(φ_{d-1}(o(z)):o(y)のφ_{d-1}成分を1+o(z)上げたもの) とするだけじゃ駄目かな?

とtweetした。ただしここでは空列は扱わず\(o(0) = 0\)と定める流儀で、addiveはadditiveの誤植である。更に亜原始数列の停止性に関して

亜原始数列の[n]は右端の子が子を持つ限り伝播しVeblen関数も通常の基本列系に関してそのような伝播をするから右端の子が子を持たない場合に帰着され、この場合は[n]が全体のコピーをずらしただけなので、o…



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Nayuta Ito Nayuta Ito 5月28日 (土)
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Miku to Ord

みくみく順序数Act 3.7.βから順序数への変換アルゴリズムを定義する。

(3,3)の挙動が特殊で扱いにくいので(3,3)=(((...(3)...)))=ε₀となるようにしている。

この変更で全体の強さは変わらない。

基本的にはVeblen's phiを使用するが、順序数そのものを扱う。

動作確認は行っていません。

コア数A=(C_m,...,C_2,C_1)と自然数n(1

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Hexirp Hexirp 5月28日 (土)
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(2022-05-28) トンデモ数学者への対応の仕方について

トンデモ数学者への対応の仕方について考察する。ここでは、そのようなトンデモ数学者を A と名付ける。


  • 1 全般
  • 2 Wiki
  • 3 Twitter
  • 4 YouTube

トンデモの類型を知り、それに対する上手な指摘の仕方も知ることは大事である。


A が嘘を記事に書き込んでいたら?

A の記述を消去する。 A が記述を再び書き込んできたら他の利用者にも意見を求め合意を形成する。

また、それと別に正しい知識を記事にして啓蒙し続けることが有用である。


A が嘘をツイートしていたら?

A に直接リプライするのは、 A が自身の誤りを正せると信じている時だけにした方が良い。リプライは他の人に読まれにくいし、それが長く伸びたリプライツリーになるとなおさらである。そして、自分の MP を消費するだけになり、 A が信頼できないことを他の人に周知することは出来ず、 A についての情報を共有することは出来ない。

そこで、 A の主張を引用リツイートして問題を指摘するようにする。この時は、 A を説得するのではなく、他の人に A の問題点を伝えることを優先する。すると、自分の MP を少し消費するだけで、 A が信頼できないことを他の人に周知することができ、 A についての情報を共有することができ、社会貢献をしたことによる MP 回復も見込める。また、この際は A の議論に付き合いすぎないことも重要である。

また、それと別に正しい知識をツイートして啓蒙し続けることが有用である。


A が嘘を動画にしていたら?

YouTube はレコメンド機能を徹底的に推進しているためエコーチェンバー現象が起きやすいプラットフォームである。さらに、動画へのコメントは、目立たないようになっている上に、その動画の投稿者が消せるようになっている。そのため、既…






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AlweLogic AlweLogic 5月26日 (木)
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加法のない順序数崩壊関数に関して

加法を基底関数として持たない順序数崩壊関数は巨大数研究に於いて、最近注目されているように思える。例えば弱Buchholzや拡張弱Buchholzなどがそのような例となる。 弱Buchholzの順序数崩壊関数は証明論では \(\pi_i\)-関数と呼ばれていて、Friedmanの木に関する間隙埋め込みによる順序に関する研究で用いられているようである。正直良くわかっていないので以下に文献を纏める。

弱Buchholzは証明論の文脈では以下の論文で導入されている。

> Schütte, K., Simpson, S.G. Ein in der reinen Zahlentheorie unbeweisbarer Satz über endliche Folgen von natürlichen Zahlen. Arch math Logik 25, 75–89 (1985).

また様々な \(\varepsilon_0\) までの順序数表記との関係は以下で考察されている。

> Lee, Gyesik. "A comparison of well-known ordinal notation systems for ε0." Annals of Pure and Applied Logic 147.1-2 (2007): 48-70.

最近の研究では加法のない \(\vartheta\)-関数なども研究されているようである。研究の概要は Van der Meerenの博論が詳しそう。

> Van der Meeren, Jeroen. Connecting the two worlds: Well-partial-orders and ordinal notation systems. Diss. Gh…

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Hexirp Hexirp 5月22日 (日)
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(2022-05-22) 会話

User:Tamanegikun さんと User:p進大好きbot さんの間の会話について。


Tamanegikun さんは Twitter において数学的に問題ある主張を多々行い、それについて p進大好きbot さんに指摘されると礼儀を失した行動を取っていた。

  1. Tamanegikun さんは Twitter で自身が超限帰納法の考案者であると詐称した。(例)
  2. Tamanegikun さんは Twitter でRSA暗号を破ったと主張した。

Tanamegikun は Fandom の登録を行い巨大数研究ウィキで活動し始めた。


  1. Special:Permalink/46909 (T)
    1. 「意味がなくなる」は、ここのコメントの中では「違いがなくなる」ことだと定義されている。
    2. 「写像を送る」の意味は不明である。「 \( x \) を \( f \) で送ると \( y \) になる」と似ているが、ここから意味を完全に推察することは出来ないため。
    3. 「違いがなくなる」の数学的な意味は不明である。どのような方法で同一視するか明示されていないため。
    4. 「正則基数から順序数に写像を送るのと自然数全体の無限集合から順序数に写像を送るのと違いがなくなる」の意味は不明である。「写像を送る」の意味が不明であるため。「違いがなくなる」の意味が不明であるため。
    5. 「巨大数を定義する時は無限という概念が含まれていると上手く行かない」は誤りである。
    6. 「順序数を定義するなら巨大基数を使う必要がない」の意味は不明である。「必要がない」の意味が不明であるため。
  2. Special:Diff/46909/46910 (P)
    1. 「気がするのは自由ですが」は過度に攻撃的である。記述しない方が良い。
    2. 「たまねぎさんの勘違いです」は過度に攻撃的である。「たま…


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