ブーフホルツのψ関数（弱マーロ基数に基づく）

他のψ関数については、ψ関数 をご覧ください。

ブーフホルツのψ関数は W. Buchholz が開発した順序数崩壊関数である．他にもブーフホルツのψ関数と呼ばれる関数があるがそちらとは別物であることに注意が必要である．

定義

以下\(\mathsf{ZFC}+\mathsf{MC}\)で作業する，つまり弱マーロ基数の存在を仮定し，\(\mathbb{M}\) を最小のマーロ基数とし，\(\mathrm{Reg}_\mathbb{M}\) を \(\mathbb{M}\) 以下の非可算正則基数全体の集合とする． \(\lambda\xi.\lambda\zeta.\varphi_\xi(\zeta)\)を二変数ヴェブレン関数とする．\(\mathrm{On}\) を順序数全体からなるクラスとする．また \(\lambda\xi.\Omega_\xi\) を \(\sigma\neq 0\) としたとき \(\Omega_0=1,\Omega_\sigma=\omega_\sigma\) とする．

以下、\(\alpha,\beta\in\mathrm{On},n\in\omega,\kappa\in\mathrm{Reg}_\mathbb{M}\) とし，集合 \(\mathrm{Cl}(\alpha,\beta),\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\) と関数 \(\psi\colon\mathrm{Reg}_\mathbb{M}\times\mathrm{On}\to\mathrm{On}\) を相互再帰で定義する．また \(\psi_\kappa(\alpha):=\psi(\kappa,\alpha)\) とする．

1. \(\mathrm{Cl}^0(\alpha,\beta):=\beta\cup\{0,\mathbb{M}\}\)
2. \(\begin{align*}\mathrm{Cl}^{n+1}(\alpha,\beta):=&\{\xi+\zeta\mid\xi\in\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\land\zeta\in\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\}\\ &\cup\{\varphi_\xi(\zeta)\mid\xi\in\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\land\zeta\in\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\}\\ & \cup\{\Omega_\xi\mid\xi\in\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\cap\mathbb{M}\}\\&\cup\{\psi_\pi(\xi)\mid\pi\in\mathrm{Reg}_\mathbb{M}\land\xi\in\alpha\cap\mathrm{Cl}(\xi,\psi_\pi(\xi))\cap\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\}\end{align*}\)
3. \(\mathrm{Cl}(\alpha,\beta):=\bigcup_{n\in\omega}\mathrm{Cl}^n(\alpha,\beta)\)
4. \(\psi_\kappa(\alpha):=\begin{cases}\min\{\xi\in\mathrm{Reg}_\mathbb{M}\mid(\alpha\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\mathbb{M})\lor\alpha\in\mathrm{Cl}(\alpha,\xi))\land\mathrm{Cl}(\alpha,\xi)\cap\kappa\subseteq\xi\} & \text{if $\kappa=\mathbb{M}$}\\ \min\{\xi\in\mathrm{On}\mid(\kappa\notin\mathrm{Cl}(\alpha,\kappa)\lor\kappa\in\mathrm{Cl}(\alpha,\xi))\land\mathrm{Cl}(\alpha,\xi)\cap\kappa\subseteq\xi\} & \text{if $\kappa<\mathbb{M}$}\end{cases}\)

関連項目

• 順序数崩壊関数
• ブーフホルツのψ関数