プロス素数

プロス素数 (Proth prime) とは素数なプロス数である。即ち\(k\)を正の奇数、\(n\)を自然数、\(2^{n}>k\)とした時に\(k\times2^{n}+1\)で表される素数のことである。

概要

プロス素数の名称は、1878年にこの形式の素数の特殊な性質を発見したフランソワ・プロスに因んでいる。プロスは\(a^{\left(\frac{p-1}{2}\right)}\equiv-1 \pmod p\)を満たす整数\(a\)があれば\(p\)は素数であると証明した。これは\(a^{\left(\frac{p-1}{2}\right)}+1\)が\(p\)で割り切れることと同義である。今日ではこれをプロスの定理 (Proth's theorem) と呼ぶ。

現在知られている最も大きなプロス素数は\(10223\times2^{31172165}+1\approx5.06250\times10^{9383760}\)である。2016年11月にPrimeGridによって、\(10223\)が第2種シェルピンスキー数ではない反例として発見された。これは発見時点で知られている7番目に大きな素数、かつ知られている最大の非メルセンヌ素数であった。現在でも知られている最大の非メルセンヌ素数である。

プロス素数が無数に存在するのかは未解決問題である。プロス素数の逆数和は\(\omega_{\mathscr{R}}\approx0.747392479\cdots\)に収束することが示されているが、これはプロス数の逆数和\(\omega_{\mathscr{F}}\approx1.09332245579\cdots\)よりも大幅に小さい。

プロス素数と関連のある数

プロス素数は多くの数と関連しており、プロスの定理を利用してプロス素数を探索することは、他の性質を持つ素数の探索にも繋がるため、PrimeGridのような分散コンピューティングプロジェクトも存在する。

\(k\times 2^n+1\) で表される数の中には様々なクラスが考えられている。以下のリストは、プロス数に関連する (プロス数・プロス素数を含むことがある) 数のクラスを列挙している。

• カレン素数 - \(n\times2^{n}+1\)
• サービト素数 - \(3\times2^{n}+1\)
• 第2種シェルピンスキー数 - 正の奇数\(k\)が第2種シェルピンスキー数ではない時の反例として与えられる。またこのうち、\(k<78557\)かつ十進数展開が100万桁を越える素数はコルベール数と呼ばれる。
• ピアポント素数 - \(2^{m}\times3^{n}+1\)
• フェルマー数 - \(2^{2^{n}}+1\)
• フェルマー素因数 - フェルマー数の素因数は全て \(k\times2^{n+2}+1\) (\(k\geqq 3\)) の形である。

関連項目

• 知られている最大の素数