ペンテーション

ペンテーション (Pentation) あるいは quintation は、矢印表記で \(a \uparrow\uparrow\uparrow b\) と書かれる関数である。テトレーションで作られる数よりもずっと大きな数が得られる^[1]。

ペンテーションは配列表記では {a,b,3}、チェーン表記では \(a \rightarrow b \rightarrow 3\)、そしてハイパーE表記では E(a)1#1#b と書くことができる。

ペンテーションはテトレーションほどは使われていないが、いくつかの巨大数にも使われている: 3↑↑↑3はトリトリ、 10↑↑↑100はギャゴルである。

Sunir Shah はこの関数に \(a * b\) という表記を使った。^[2] Jonathan Bowers はこれを"a to the b'th tower"と呼んだ。^[3] Sbiis Saibian は表記 \(_{b \leftarrow}a\)を使った。^[4]

ペンテーションの増加率は急増加関数で\(f_4(n)\)ほどである。

Saturday Morning Breakfast Cereal では"ペネトレーション" という名が、セクセーションからのユーモラスなアナロジーでつけられた。^[5]

例

ペンテーションの挙動の例をここに示す。

\(1 \uparrow\uparrow\uparrow b = 1\)
\(a \uparrow\uparrow\uparrow 1 = a\)
\(2 \uparrow\uparrow\uparrow 2 = 4\)
\(2 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = {^{^{2}2}2} = {^{4}2} = 2^{2^{2^{2}}} = 65536\)
\(3 \uparrow\uparrow\uparrow 2 = {^{3}3} = 3^{3^{3}} = 7625597484987\)

\(5 \uparrow\uparrow\uparrow 2 = {^{5}5} = 5^{5^{5^{5^5}}}\)
\(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = {^{^{3}3}3} = {^{3^{3^{3}}}3} = {^{7625597484987}3} = \underbrace{3^{3^{3^{.^{.^{.^{3^{3^{3}}}}}}}}}_{7625597484987}\)
\(6 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = {^{^{6}6}6}\)
\(5 \uparrow\uparrow\uparrow 5 = {^{^{^{^{5}5}5}5}5}\)

下はペンテーションの擬似コードである。

function pentation(a, b):
    result := 1
    repeat b times:
        result := a tetrated to result
    return result