マシモ関数

マシモ関数 \(M(x)\) は、様々な大きさの巨大数を作るように設計された関数である^[1]。定義域が実数で値域が正の実数となる単調増加の連続関数である。マシモ関数を使った巨大数の指標にマシモスケールがある。マシモは、寿司虚空編の登場人物である。

\(x \ge 1\) の時、 \[M(x) = max(10^{10x}, ^{x/5}e, H(^{x/20}2,2), H(^{H(x-70,2)}3,3), \\ V(x-72), V(3^{x-80}), BHO(x-83), O(x-85), OF(x-86),\\ L(x-90), D(5(x-94),10), \\ FC(x-80), RC(x-120)) \]

\(0 \le x < 1\)の時、\(M(x) = 10^{10x}\)

\(x < 0\) の時、\(M(x) = M(-x)^{-1}\)

ここで、\(max\) 関数は引数の中で最大値を返す関数で、サブ関数 \(H, V, BHO, O, OF, L, D, FC, RC\) は以下に定義される関数である。テトレーションの連続関数化は、以下の定義による^[2]。

\begin{eqnarray*} ^{x}a &=& log_a{(^{x+1}a)} &for& x \le -1 \\ ^{x}a &=& x+1 &for& -1 < x \le 0 \\ ^{x}a &=& a^{(^{x-1}a)} &for& 0 < x \\ \end{eqnarray*}

サブ関数[]

まずは、 \(x<0\) に対して \(H(x,n) = V(x) = BHO(x) = O(x) = OF(x) = L(x) = D(x,n) = FC(x) = RC(x) = 0\) とする。

H 関数[]

H関数は、ハーディー階層から次のように定義される^[3]^[4]。

\[H(a,n) = H_\alpha(n)\]

ここで、 \(a\) は自然数、 \(n \ge 2\) は自然数で、 \(\alpha\) は \(a\) をnを底とした遺伝的記法で表記して、 \(n\) を \(\omega\) に換えた順序数である。たとえば、

\[H(35,2) = H(2^{2^2+1}+2+1,2) = H_{\omega^{\omega^\omega+1}+\omega+1}(2) \]

と計算される。したがって、 \(\alpha < \epsilon_0\) となる。順序数の基本列には Wainer 階層を使う。

H関数の第1引数 \(a\) は、次のようにして実数に拡張される。

\begin{eqnarray*} N &=& floor(a) \\ r &=& a-N \\ H(N,n) &=& H(x,N+1) \\ H(N+1,n) &=& H(y,N+1) \\ \end{eqnarray*}

として、 \(H(a,n) = H(N+r,n)\) を

\[H(a,n) = H(x+r(y-x),n+1)\]

と定義する。たとえば、

\begin{eqnarray*} H(4,2) &=& H_{\omega^{\omega}}(2) = H_{\omega+2}(2) = H_{\omega+1}(3)\\ &=& H(4,3) \\ H(5,2) &=& H_{\omega^{\omega}+1}(2) = H_{\omega^{\omega}}(3) \\ &=& H(27,3) \\ \end{eqnarray*}

となるため、この間は次のように補間する。

\[H(4.3,2) = H(4+0.3(27-4),3) = H(10.9,3) \]

\(n\) が増えると、H関数の第1引数に対応するハーディー階層の順序数が下降するため、順序数の無限下降列は存在しないことから、順序数はやがて 0 に到達する（これは、グッドスタイン数列がやがて0になる証明と同様の理屈である）。したがって、

\[H(r,n) = n+r (0 \le r < 1)\]

と定義することで、計算が終了することが保証され、 \(H(a,n)\) は実数 \(a\) に対して定義される。

V 関数[]

V 関数は、ヴェブレン階層とハーディー階層から、次のように定義される。ヴェブレン階層の多変数化については、Veblen function参照。

\[V(\sum_{k=0}^{n} 3^k a_k) = H_{\phi(..., a_3, a_2, a_1, a_0)}(3) \]

\(\epsilon_1\) の基本列としては \(lim(\epsilon_0+1, \omega^{\epsilon_0+1}, \omega^{\omega^{\epsilon_0+1}}, ...)\) が使われ、次のように計算される。

\begin{eqnarray*} V(0) &=& H_{\phi(0,0)}(3) = H_1(3) = 4 \\ V(1) &=& H_{\phi(0,1)}(3) = H_\omega(3) = 6 \\ V(2) &=& H_{\phi(0,2)}(3) = H_{\omega^2}(3) = 24 \\ V(3) &=& H_{\phi(1,0)}(3) = H_{\epsilon_0}(3) = H_{\omega^{\omega^{\omega}}}(3) \\ V(4) &=& H_{\phi(1,1)}(3) = H_{\epsilon_1}(3) = H_{\omega^{\omega^{\epsilon_0+1}}}(3) = H_{\epsilon_0^{\omega}}(3) = H_{\epsilon_0^3}(3) = f_{\epsilon_0 3}(3)\\ V(5) &=& H_{\phi(1,2)}(3) = H_{\epsilon_2}(3) = f_{\epsilon_1 3}(3) \\ V(6) &=& H_{\phi(2,0)}(3) = H_{\zeta_0}(3) \approx f_{\zeta_0}(3) \\ V(7) &=& H_{\phi(2,1)}(3) = H_{\zeta_1}(3) \approx f_{\zeta_1}(3)\\ V(8) &=& H_{\phi(2,2)}(3) = H_{\zeta_2}(3) \approx f_{\zeta_2}(3)\\ V(9) &=& H_{\phi(1,0,0)}(3) = H_{\Gamma_0}(3) \approx f_{\Gamma_0}(3)\\ V(10) &=& H_{\phi(1,0,1)}(3) = H_{\Gamma_1}(3) \approx f_{\Gamma_1}(3)\\ V(27) &=& H_{\phi(1,0,0,0)}(3)\\ V(81) &=& H_{\phi(1,0,0,0,0)}(3)\\ \end{eqnarray*}

\(V(a) = H_{\alpha}(3)\) と \(V(a+h) = H_{\beta}(3)\) の間は、次のように補間される。

\(\beta = lim(\beta_i)\) かつ \(\alpha < \beta_1\) の時は、 \(V(a+ih/3) = H_{\beta_i}(3)\) \((i=1,2,3)\)
\(\beta = lim(\beta_i)\) かつ \(\beta_1 \le \alpha < \beta_2\) の時は、 \(V(a+(i-1)h/2) = H_{\beta_i}(3)\) \((i=2,3)\)
\(\beta = lim(\beta_i)\) かつ \(\beta_2 \le \alpha\) の時は、 \(V(a+h) = H_{\beta_3}(3)\)
\(\beta\) が後続順序数の時は、線形補間 \(V(a+nh) = V(a) + (n/h)[V(a+h)-V(a)]\)

たとえば、 \(V(5) = \epsilon_2\) と \(V(6) = \zeta_0 = lim(0, \epsilon_0, \epsilon_{\epsilon_0}, \epsilon_{\epsilon_{\epsilon_0}}, ...)\) の間の補間は

\begin{eqnarray*} V(5.5) &=& H_{\epsilon_{\epsilon_0}}(3)\\ V(6) &=& H_{\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_0}}}(3)\\ \end{eqnarray*}

となり、この間の補間は

\begin{eqnarray*} V(5+4/6) &=& H_{\epsilon_{\epsilon_{\omega}}}(3)\\ V(5+5/6) &=& H_{\epsilon_{\epsilon_{\omega^{\omega}}}}(3)\\ V(6) &=& H_{\epsilon_{\epsilon_{\omega^{\omega^{\omega}}}}}(3)\\ \end{eqnarray*}

となる。V(3) と V(4) と間の補間は

\(V(3+1/3) = H_{\epsilon_0+1}(3) = H_{\epsilon_0}(4) = f_{\epsilon_0}(3)\)
- - \(V(3+7/18) = H_{\epsilon_0 +\omega}(3) = H_{\epsilon_0 +3}(3) = f_{\epsilon_0}(5)\)
  - \(V(3+8/18) = H_{\epsilon_0 +\omega^{\omega}}(3) \approx f_{\epsilon_0}(3↑↑3)\)
- \(V(3.5) = H_{\epsilon_0 2}(3) = H_{\epsilon_0 +\omega^{\omega^{\omega}}}(3) \approx f_{\epsilon_0}(A(1,0,0,0,3))\)
\(V(3+2/3) = H_{\epsilon_0 \omega}(3) = f_{\epsilon_0 + 1}(3)\)
- \(V(3+5/6) = H_{\epsilon_0 ^2}(3)\)

となる。

BHO 関数[]

BHO 関数は、バッハマン・ハワード順序数と急増加関数によって、次のように定義される。

\[BHO(n) = f_{\psi(\varepsilon_{\Omega+1})}(n)\]

ここで、順序数の基本列は Ordinal collapsing function#Standard sequences for ordinal notations (2014年7月7日参照)に記載されているものを使うものとする。すなわち、次のように計算される。

\begin{eqnarray*} BHO(0) &=& f_{\psi(\Omega)}(0) = f_{\psi(0)}(0) = f_{\omega}(0) = 0 \\ BHO(1) &=& f_{\psi(\Omega^\Omega)}(1) = f_{\psi(\Omega^{\psi(0)})}(1) = f_{\psi(\Omega^{\omega^{\omega}})}(1) \\ &=& f_{\psi(\Omega)}(1) = f_{\psi(\psi(0))}(1) = f_{\psi(1)}(1) = f_{\psi(0)^{\psi(0)}}(1) \\ &=& f_{1}(1) = 2 \\ BHO(2) &=& f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}(2) = f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\psi(0)})}}})}(2) \\ &=& f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\omega^{\omega^{\omega}}})}}})}(2) \\ &=& f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\omega^{\omega+2}})}}})}(2) \\ &=& f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\omega^{\omega+1}\omega})}}})}(2) \\ &=& f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\omega^{\omega+1}2})}}})}(2) \\ &=& f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\omega^{\omega+1}}+{\omega^{\omega}}+\omega+2)}}})}(2) \\ &=& ... \end{eqnarray*}

補間の方法は、V関数と同じように、極限順序数の基本列で補間して、後続順序数の時は線形補間する。たとえば、

\[BHO(2) = f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\psi(0)})}}})}(2)\]

なので、 \(BHO(1.5)\) はこのようになる。

\[BHO(1.5) = f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi(0)}})}(2)\]

O 関数[]

O 関数は、Ψ₀(Ωω)と急増加関数から次のように定義される。

\[O(n) = f_{\vartheta(\Omega_\omega)}(n)\]

このレベルの順序数までの正式な順序数の基本列の定義ははっきりとしていないため、基本列が定義された時に明確な定義が与えられることとなる。

OF 関数[]

OF 関数はΨ(ψᵢ(0))と急増加関数によって定義された。ただし、Ψ(ψᵢ(0)) という表記は不適切である。詳細は巨大数論に現れるよくある間違い#ψ_0(ψ_I(0))とはなんですか?参照。

\[OF(n) = f_{\psi(\psi_I(0))}(n)\]

ここで、\(\psi(\psi_I(0))\) の基本列は \(\psi(0), \psi(\omega), \psi(\Omega_\omega), \psi(\Omega_{\Omega_\omega}), ... \) とする。

L 関数[]

L 関数は、BEAFの Ln 空間、すなわち L2, L3, L4, ... 空間によって、次のように定義される。線形補間とする。

\[L(n) = \lbrace Ln,10\rbrace_{10,10}\]

D 関数[]

2 変数の D 関数は、ローダー数の1変数の \(D(k)\) 関数、すなわち、 calculus of constructions の表現で最初のk個の表現で表記出来るすべてのビット列（2進数）の合計から、次のように定義される。線形補間とする。

\[D(m,n) = D^m(n)\]

CKF 関数[]

CKF 関数は、次の FC 関数と RC 関数で使われる順序数を返すサブ関数である。

\begin{eqnarray*} CKF(0) &=& 1 \\ CKF(1) &=& 2 \\ CKF(2) &=& 3 \\ CKF(3) &=& \omega \\ CKF(4) &=& \omega+1 \\ CKF(5) &=& \omega 2 \\ CKF(6) &=& \omega^2 \\ CKF(7) &=& \omega^\omega \\ CKF(8) &=& \omega^{\omega^\omega} \\ CKF(9) &=& \epsilon_0 = \phi(1,0) = \psi(0) \\ CKF(10) &=& \epsilon_1 = \phi(1,1) = \psi(1) \\ CKF(11) &=& \zeta_0 = \phi(2,0) = \psi(\Omega) \\ CKF(12) &=& \Gamma_0 = \phi(1,0,0) = \psi(\Omega^{\Omega}) = \vartheta(\Omega) \\ CKF(13) &=& \phi(1,0,0,0) = \psi(\Omega^{\Omega^2}) = \vartheta(\Omega^2) \\ CKF(14) &=& \psi(\Omega^{\Omega^\omega}) = \vartheta(\Omega^\omega) \\ CKF(15) &=& \psi(\Omega^{\Omega^\Omega}) = \vartheta(\Omega^\Omega) \\ CKF(16) &=& \psi(\epsilon_{\Omega+1}) = \vartheta(\varepsilon_{\Omega+1}) \\ CKF(17) &=& \psi_0(\Omega_{\omega}) \\ CKF(18) &=& \psi_0(\varepsilon_{\Omega_\omega + 1}) \\ CKF(19) &=& \psi(\psi_I(0)) \\ \end{eqnarray*}

\(n \ge 20\) の時は、 \[CKF(n) = \omega_{CKF(n-20)}^\text{CK}\]

FC 関数[]

FC 関数は、前節で定義された CKF 関数と急増加関数から、このように定義される。線形補間である。

\[FC(x) = f_{CKF(x)}(1000)\]

チャーチ・クリーネ順序数と Kleene's O において、クリーネ (Kleene) の\(\mathcal{O}\) が定義されている。これは、すべてのチューリングマシンを辞書順に並べてすべての部分的再帰関数 (partial recursive function) を \(f_0, f_1, f_2, \ldots\) と並べたもので、 \(\mathcal{O}\) が定義されると、チャーチ・クリーネ順序数の基本列として使うことができる。

Admissible ordinal (2014年7月7日参照) には、このように書かれている。

By a theorem of Sacks, "the countable admissible ordinals are exactly those constructed in a manner similar to the Church-Kleene ordinal, but for Turing machines with oracles.^[5] One sometimes writes \(\omega_\alpha^{\mathrm{CK}}\) for the \(\alpha\)-th ordinal which is either admissible or a limit of admissibles; an ordinal which is both is called recursively inaccessible.^[6]

しかし、神託機械によって \(\omega_2^{\mathrm{CK}}\) に到達できるかどうかは、巨大数研究者の間で議論がされているところである^[7]が、まず何を神託として加えるか不明瞭であり，仮にチューリングマシンの停止性問題を神託として加えても，KleeneとSuslinのTuringジャンプを超限回繰り返して得られる超算術的階層と\(\Delta^1_1\)が一致するという定理からたかだか \(\alpha<\omega_1^\mathrm{CK}\) 回のTuringジャンプでは/\(\omega_1^\mathrm{CK}\)にすら到達できない。 \(\omega_2^\mathrm{CK}\) に到達するためにはハイパージャンプを考えたり， \(\omega_1^\mathrm{CK}\)-再帰関数を再帰関数の代わりに用いてKleeneの \(\mathcal{O}\) を作るなどの手法が考えられる．

上記の、神託機械によって可算のadmissibleな順序数が構成できるという Sacks の定理に従い、 \(f_{\omega_{\alpha+1}^{\mathrm{CK}}}\) を \(f_{\omega_{\alpha}^{\mathrm{CK}}}(n)\) を神託として持つ神託機械を全て並べた \(\mathcal{O}_\alpha\) によって、\(f_{\omega_1^{\mathrm{CK}}}\) の基本列と同じように定める。

RC 関数[]

RC 関数は、 CKF 関数とふぃっしゅ数バージョン7のラヨ階層によって、次の様に定義し、線形補間をした関数である。

\[RC(x) = R_{CKF(x)}(10^{10})\]

出典[]

↑ User_blog:Kyodaisuu/マシモ関数
↑ Tetration#Extension to real heights (2014年7月7日閲覧)
↑ 巨大数スケール関数（１）
↑ 巨大数スケール関数（２）
↑ Friedman, Sy D. (1985), "Fine structure theory and its applications", Recursion theory (Ithaca, N.Y., 1982), Proc. Sympos. Pure Math. 42, Amer. Math. Soc., Providence, RI, pp. 259–269, doi:10.1090/pspum/042/791062, Mathematical Reviews 791062. See in particular p. 265.
↑ Friedman, Sy D. (2010), "Constructibility and class forcing", Handbook of set theory. Vols. 1, 2, 3, Springer, Dordrecht, pp. 557–604, doi:10.1007/978-1-4020-5764-9_9, Mathematical Reviews 2768687. See in particular p. 560.
↑ en:Forum:On oracles and admissibles