ミルズの定理 (Mills' Theorem) とは、W. H. Millsが1947年に発表した素数に関する定理である[1]。
概要[]
1947年にMillsは、ある正実数\(A\)が存在して全ての整数\(n\geqq1\)に対して以下の値が素数になるという事を証明した[1]。
\[\left\lfloor A^{3^{n}} \right\rfloor\]
ミルズの定理はリーマン予想と関わりがあり、リーマン予想が真の場合、全ての隣接する立方数の間に素数が少なくとも1つ存在する事と関係している。Millsはリーマン予想の真偽ではなく、HoheiselとInghamが示した、十分に大きな立方数では、連続する立方数の間に素数が少なくとも1つ存在する[2][3]、という証明を利用し、ミルズの定理を導き出した[1]。
定数\(A\)とミルズ定数[]
ミルズの定数を元にした技が使用された戦闘シーン
ミルズの定理で重要なのは定数\(A\)である。Millsはこの値を具体的に与えなかったが[4][5]、後にこのような\(A\)は無数に存在することが証明された[6]。全ての\(A\)の中で最小のものをミルズ定数と呼び、以下の通りである[7][8]。
\[A=1.306377883863080690\cdots\]
ミルズの定理の説明では、ミルズ定数を前提に説明している文献が多い。ミルズ定数はリーマン予想が真と仮定し、2005年にはCaldwellとChengによって6850桁が計算されている[9]。ミルズ定数が無理数であるかどうかは分かっていない[7]。
ミルズの定理は素数を与える関数であるが、大きな素数を与えるには\(A\)の正確な値を導く必要があるため、実質的に新たな素数を生み出す事には役に立たない[4]。実際、先述の十分に大きな立方数\(n^{3}\)とは\(n \geqq e^{e^{33.3}} \approx 2.08015\times10^{125831843324806}\)である事が2016年に示されており、この値以下の素数を全てチェックする事は現時点で不可能なほど大きい[10]。
ミルズの定理は数論の古典的な定理であり、p進大好きbotは数論を専攻していたVTuberの叶数理らのファンアートとして、ミルズ定数を元にした技が使用された戦闘シーンを描いた。
ミルズ素数[]
ミルズの定理で与えられる素数をミルズ素数と呼ぶ。ミルズ素数は以下の再帰的に定義される関数で表す事も可能である[5][9]。
\[\begin{eqnarray*} b_{1}&=&2 \\ b_{n+1}&=& b_{n}^{3}+a_{n} \end{eqnarray*}\]
例えば\(b_{4}=((2^{3}+3)^{3}+30)^3+6=2521008887\)である。\(a_{n}\)の詳細な値を与える事は、ミルズ定数を正確に求める事と同義である[9]。
ミルズ素数およびその候補と\(a_{n}\)を以下に示す[11]。
| \(n\) | \(a_{n}\) | \(b_{n}\) | ステータス |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(2\) | 素数[9] | |
| \(2\) | \(3\) | \(11\) | 素数[9] |
| \(3\) | \(30\) | \(1361\) | 素数[9] |
| \(4\) | \(6\) | \(2521008887\) | 素数[9] |
| \(5\) | \(80\) | \(16022236204009818131831320183\) | 素数[9] |
| \(6\) | \(12\) | \(\sim4.1131\times10^{84}\) | 素数[9] |
| \(7\) | \(450\) | \(\sim6.9584\times10^{253}\) | 素数[9] |
| \(8\) | \(894\) | \(\sim3.3692\times10^{761}\) | 素数[9] |
| \(9\) | \(3636\) | \(\sim3.8245\times10^{2284}\) | 素数[9] |
| \(10\) | \(70756\) | \(\sim5.5940\times10^{6853}\) | 素数[9] |
| \(11\) | \(97220\) | \(\sim1.7505\times10^{20561}\) | 確率的素数[5][12] |
| \(12\) | \(66768\) | \(\sim5.3640\times10^{61683}\) | 確率的素数[5][13] |
| \(13\) | \(300840\) | \(\sim1.5433\times10^{185051}\) | 確率的素数[13] |
| \(14\) | \(1623568\) | \(\sim3.6759\times10^{555153}\) | 確率的素数[13] |
その他[]
ミルズの定理の指数部の\(3\)は、より小さい実数に置き換えることができる。当初、ルシャンドル予想が正しければ、\(\left\lfloor A^{2^{n}} \right\rfloor\)が全て素数となるような定数\(A\)が存在することが示されていたが、2010年にK. Matomäkiは、ルシャンドル予想の真偽に関わらず\(2\)に置き換えられると証明した[14][15]。
出典[]
- ↑ 1.0 1.1 1.2 W. H. Mills. "A prime-representing function" Bulletin of the American Mathematical Society, 1947; 53 (6) 604.
- ↑ G. Hoheisel. "Primzahlprobleme in der Analysis". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1930; 2, 580-588.
- ↑ A. E. Ingham. "On the Difference Between Consecutive Primes". The Quarterly Journal of Mathematics, 1937; os-8 (1) 255-266. DOI: 10.1093/qmath/os-8.1.255
- ↑ 4.0 4.1 "Mills' Theorem". Wolfram MathWorld.
- ↑ 5.0 5.1 5.2 5.3 "Mills' prime". The PrimePages.
- ↑ E. M. Wright. "A class of representing functions". Journal of the London Mathematical Society, 1954; 29, 63-71.
- ↑ 7.0 7.1 "Mills' Constant". Wolfram MathWorld.
- ↑ "A051021: Decimal expansion of Mills's constant, assuming the Riemann Hypothesis is true" The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ 9.00 9.01 9.02 9.03 9.04 9.05 9.06 9.07 9.08 9.09 9.10 9.11 9.12 Chris K. Caldwell & Yuanyou Cheng. "Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem". Journal of Integer Sequences, 2005; 8, 05.4.1.
- ↑ Adrian W. Dudek. "An explicit result for primes between cubes". Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. 2016; 55 (2) 177-197. DOI: 10.7169/facm/2016.55.2.3
- ↑ "A108739: Mills' constant A generates a sequence of primes via b(n)= floor(A^3^n). This sequence is a(n) = b(n+1)-b(n)^3" The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "((((((25210088873 + 80)3 + 12)3 + 450)3 + 894)3 + 3636)3 + 70756)3 + 97220". The PrimePages.
- ↑ 13.0 13.1 13.2 Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz. "Search for : (?+450)^3+?". PRP Records.
- ↑ "A059784: a(n+1) = nextprime(a(n)^2). Smallest prime following the square of previous prime. Initial value = 2". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ K. Matomäki. "Prime-representing functions". Acta Mathematica Hungarica, 2010; 128, 307-314. DOI: 10.1007/s10474-010-9191-x