メルセンヌ素数 (Mersenne prime number) とは、メルセンヌ数\(2^{p}-1\) (pは素数) の形で表すことのできる素数である[1]。2022年7月1日時点で、メルセンヌ素数は51個知られており、うち48番目までは順番が確定している。最大のメルセンヌ素数は2018年12月7日に発見された\(2^{82589933}-1\)であり、これは知られている最大の素数でもある[2]。
LLT (リュカ-レーマー・テスト) を使用した効率的な計算が可能なため、メルセンヌ素数は巨大素数の探索対象となり、しばしばその時代の最大の素数の地位を占めている。実際、コンピューターによる素数の探索が始まった1951年からは、メルセンヌ素数以外の数が最大の素数であった時代は、1951年11月10日[3]から1952年1月30日[4]まで最大であった\(180\times(2^{127}-1)^2+1\)と、1989年8月6日[5]から1992年3月25日[6]まで最大であった\(391581\times2^{216193}-1\)のみであり、他の全ての期間は全てメルセンヌ素数である[4]。
メルセンヌ数\(2^{p}-1\)が素数な場合、\(2^{p-1}(2^{p}-1)\)は完全数である[7]。よって最大のメルセンヌ素数が更新されれば、最大の完全数も更新される事になる。
一覧[]
| 順番 | 形式 | 値 | 発見日 | 発見者 | 発見方法 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(2^{2}-1\) | \(=3\) | 不明 (紀元前500年頃?)[8] | 不明 (古代ギリシャの数学者?) | 不明 |
| 2 | \(2^{3}-1\) | \(=7\) | 不明 (紀元前500年頃?)[8] | 不明 (古代ギリシャの数学者?) | 不明 |
| 3 | \(2^{5}-1\) | \(=31\) | 不明 (紀元前500年頃?)[8] | 不明 (古代ギリシャの数学者?) | 不明 |
| 4 | \(2^{7}-1\) | \(=127\) | 不明 (紀元前500年頃?)[8] | 不明 (古代ギリシャの数学者?) | 不明 |
| 5 | \(2^{13}-1\) | \(=8191\) | 1456年[9] | 写本14908の名前未詳の著者[10] | 試し割り法 |
| 6 | \(2^{17}-1\) | \(=131071\) | 1588年[1] | ピエトロ・カタルディ | 試し割り法 |
| 7 | \(2^{19}-1\) | \(=524287\) | 1588年[1] | ピエトロ・カタルディ | 試し割り法 |
| 8 | \(2^{31}-1\) | \(=2147483647\) | 1752年から1772年の間[4] | レオンハルト・オイラー | モジュラー制限付き試し割り法 |
| 9 | \(2^{61}-1\) | \(=2305843009213693951\) | 1883年11月 | イヴァン・パヴジン[11] | リュカ数列 |
| 10 | \(2^{89}-1\) | \(\approx6.18970\times10^{26}\) | 1911年11月 | ラルファー・ネスト・パワーズ[12] | リュカ数列 |
| 11 | \(2^{107}-1\) | \(\approx1.62259\times10^{32}\) | 1914年6月 | ラルファー・ネスト・パワーズ[13] | リュカ数列 |
| 12 | \(2^{127}-1\) | \(\approx1.70141\times10^{38}\) | 1876年 | エドゥアール・リュカ[14] | リュカ数列 |
| 13 | \(2^{521}-1\) | \(\approx6.86480\times10^{156}\) | 1952年1月30日 | ラファエル・M・ロビンソン[15] | LLT / SWAC |
| 14 | \(2^{607}-1\) | \(\approx5.31138\times10^{182}\) | 1952年1月30日 | ラファエル・M・ロビンソン[15] | LLT / SWAC |
| 15 | \(2^{1279}-1\) | \(\approx1.04080\times10^{385}\) | 1952年6月25日 | ラファエル・M・ロビンソン[16] | LLT / SWAC |
| 16 | \(2^{2203}-1\) | \(\approx1.47598\times10^{663}\) | 1952年10月7日 | ラファエル・M・ロビンソン[17] | LLT / SWAC |
| 17 | \(2^{2281}-1\) | \(\approx4.46088\times10^{686}\) | 1952年10月9日 | ラファエル・M・ロビンソン[17] | LLT / SWAC |
| 18 | \(2^{3217}-1\) | \(\approx2.59117\times10^{968}\) | 1957年9月8日 | ハンス・リーゼル[18] | LLT / BESK |
| 19 | \(2^{4253}-1\) | \(\approx1.90797\times10^{1280}\) | 1961年11月3日 | アレクサンダー・フルヴィッツ[19] | LLT / IBM 7090 |
| 20 | \(2^{4423}-1\) | \(\approx2.85543\times10^{1331}\) | 1961年11月3日 | アレクサンダー・フルヴィッツ[19] | LLT / IBM 7090 |
| 21 | \(2^{9689}-1\) | \(\approx4.78220\times10^{2916}\) | 1963年5月11日 | ドナルド・ギリース[20] | LLT / ILLIAC II |
| 22 | \(2^{9941}-1\) | \(\approx3.46088\times10^{2992}\) | 1963年5月16日 | ドナルド・ギリース[20] | LLT / ILLIAC II |
| 23 | \(2^{11213}-1\) | \(\approx2.81411\times10^{3375}\) | 1963年6月2日 | ドナルド・ギリース[20] | LLT / ILLIAC II |
| 24 | \(2^{19937}-1\) | \(\approx4.31543\times10^{6001}\) | 1971年3月4日 | ブライアント・タッカーマン[21] | LLT / IBM 360/91 |
| 25 | \(2^{21701}-1\) | \(\approx4.48679\times10^{6532}\) | 1978年10月30日 | ランドン・カート・ノル & Laura Nickel[22] | LLT / CDC Cyber 174 |
| 26 | \(2^{23209}-1\) | \(\approx4.02874\times10^{6986}\) | 1979年2月9日 | ランドン・カート・ノル & Laura Nickel[22] | LLT/ CDC Cyber 174 |
| 27 | \(2^{44497}-1\) | \(\approx8.54510\times10^{13394}\) | 1979年4月8日 | ハリー・ネルソン & David Slowinski[23] | LLT / Cray-1 |
| 28 | \(2^{86243}-1\) | \(\approx5.36928\times10^{25961}\) | 1982年9月25日 | David Slowinski[24] | LLT / Cray-1 |
| 29 | \(2^{110503}-1\) | \(\approx5.21928\times10^{33264}\) | 1988年1月29日 | Walter Colquitt & Luke Welsh[25] | LLT / NEC SX-2 |
| 30 | \(2^{132049}-1\) | \(\approx5.12740\times10^{39750}\) | 1983年9月19日 | Cray Research, Inc. (現Cray Inc.)[26] | LLT / Cray X-MP |
| 31 | \(2^{216091}-1\) | \(\approx7.46093\times10^{65049}\) | 1985年9月1日 | Cray Research, Inc. (現Cray Inc.)[26][27] | LLT / Cray X-MP/24 |
| 32 | \(2^{756839}-1\) | \(\approx1.74136\times10^{227831}\) | 1992年2月17日 | Cray Research, Inc. (現Cray Inc.)[28] | LLT / Cray-2 |
| 33 | \(2^{859433}-1\) | \(\approx1.29498\times10^{258715}\) | 1994年1月4日 | Cray Research, Inc. (現Cray Inc.)[29] | LLT / Cray C90 |
| 34 | \(2^{1257787}-1\) | \(\approx4.12246\times10^{378631}\) | 1996年9月3日 | Cray Research, Inc. (現Cray Inc.)[30] | LLT / Cray T94 |
| 35 | \(2^{1398269}-1\) | \(\approx8.14718\times10^{420920}\) | 1996年11月13日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 36 | \(2^{2976221}-1\) | \(\approx6.23340\times10^{895931}\) | 1997年8月24日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 37 | \(2^{3021337}-1\) | \(\approx1.15880\times10^{909513}\) | 1998年1月27日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 38 | \(2^{6972593}-1\) | \(\approx4.37076\times10^{2098959}\) | 1999年6月1日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 39 | \(2^{13466917}-1\) | \(\approx9.24948\times10^{4053945}\) | 2001年11月14日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 40 | \(2^{20996011}-1\) | \(\approx1.25977\times10^{6320429}\) | 2003年11月17日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 41 | \(2^{24036583}-1\) | \(\approx2.99410\times10^{7235732}\) | 2004年5月15日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 42 | \(2^{25964951}-1\) | \(\approx1.22165\times10^{7816229}\) | 2005年2月18日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 43 | \(2^{30402459}-1\) | \(\approx3.15417\times10^{9152051}\) | 2005年12月15日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 44 | \(2^{32582657}-1\) | \(\approx1.24575\times10^{9808357}\) | 2006年9月4日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 45 | \(2^{37156667}-1\) | \(\approx2.02254\times10^{11185271}\) | 2008年9月6日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 46 | \(2^{42643801}-1\) | \(\approx1.69874\times10^{12837063}\) | 2009年6月4日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 47 | \(2^{43112609}-1\) | \(\approx3.16470\times10^{12978188}\) | 2008年8月23日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 48 | \(2^{57885161}-1\) | \(\approx5.81887\times10^{17425169}\) | 2013年1月25日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| \(2^{66674137}-1\approx1.48597\times10^{20070915}\)以下のメルセンヌ数は探索が完了している。[31] | |||||
| 49? | \(2^{74207281}-1\) | \(\approx3.00376\times10^{22338617}\) | 2016年1月7日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 50? | \(2^{77232917}-1\) | \(\approx4.67333\times10^{23249424}\) | 2017年12月26日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| 51? | \(2^{82589933}-1\) | \(\approx1.48894\times10^{24862047}\) | 2018年12月7日 | GIMPS[31] | LLT / Prime95 |
| \(2^{115066813}-1\approx1.65371\times10^{34638562}\)以下のメルセンヌ数は最低でも1回検証されている。[31] | |||||
関連項目[]
- 知られている最大の完全数
- 知られている最大の素数
- 二重メルセンヌ素数
- カタラン・メルセンヌ数
- レピュニット - 二進数のレピュニット素数はメルセンヌ素数である。
出典[]
- ↑ 1.0 1.1 1.2 "Mersenne Prime". Wolfram MathWorld
- ↑ "Mersenne Prime Number discovery - 282589933-1 is Prime!". Great Internet Mersenne Prime Search.
- ↑ J. C. P. Miller. "Large Prime Numbers". Nature, 1951; 168 (4280) 838 DOI: 10.1038/168838b0
- ↑ 4.0 4.1 4.2 "The Largest Known prime by Year: A Brief History". The PrimePages
- ↑ "391581*2^216193-1 is prime". isthe.com.
- ↑ "The finding of the 32nd Mersenne". The PrimePages.
- ↑ "Perfect Number". Wolfram MathWorld.
- ↑ 8.0 8.1 8.2 8.3 "Known Mersenne Primes". isthe.com.
- ↑ "Mersenne Primes: History, Theorems and Lists". The PrimePages.
- ↑ "Calendarium ecclesiasticum - BSB Clm 14908". Bavarian State Library.
- ↑ Ivan M. Pervushin. "Sur un nouveau nombre premier, annoncé par le père Pervouchine". Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg. 1887; 31, 532–533.
- ↑ R. E. Powers. "The Tenth Perfect Number". The American Mathematical Monthly. 1911; 18 (11) 195–197. DOI: 10.1080/00029890.1911.11997637
- ↑ R. E. Powers. "Records of Proceedings at Meetings". Proceedings of the London Mathematical Society. 1914; s2-13 (1) iv-xl. DOI: 10.1112/plms/s2-13.1.1-s
- ↑ Édouard Lucas. "Note sur l'application des séries récurrentes à la recherche de la loi de distribution des nombres premiers". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 1876 82, 165-167.
- ↑ 15.0 15.1 "Notes". Mathematics of Computation. 1952; 6, 58-61. DOI: 10.1090/S0025-5718-52-99405-2
- ↑ "Notes". Mathematics of Computation. 1952; 6, 204-205. DOI: 10.1090/S0025-5718-52-99389-7
- ↑ 17.0 17.1 "Notes". Mathematics of Computation. 1953; 7, 67-72. DOI: 10.1090/S0025-5718-53-99372-7
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- ↑ 26.0 26.1 Lee Dembart. (Sep 17, 1985) "Supercomputer Comes Up With Whopping Prime Number". Los Angeles Times.
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- ↑ John Maddox. "The endless search for primality". Nature, 1992; 356 (6367) 283. DOI: 10.1038/356283a0
- ↑ "Largest Known Prime Number Discovered on Cray Research Supercomputer". (Jan 10, 1994) PR Newswire.
- ↑ Dan Gillmor. (Sep 3, 1996) "Crunching numbers: Researchers come up with prime math discovery". Knight Ridder/Tribune News Service.
- ↑ 31.00 31.01 31.02 31.03 31.04 31.05 31.06 31.07 31.08 31.09 31.10 31.11 31.12 31.13 31.14 31.15 31.16 31.17 31.18 "GIMPS Milestones Report". Great Internet Mersenne Prime Search.