ユシリーズ数列 (Ulysses sequence)[1] 、またはジョイス数列 (Joyce Sequence)[2] とは、\(n^{n^{n}}\)で表される数の数列である。
矢印表記では\(n \uparrow\uparrow 3\)、テトレーションでは\({}^{3}n\)で表される。
概要[]
この数列の名は、ジェイムズ・ジョイス (James Augustine Aloysius Joyce) の小説『ユリシーズ (Ulysses)』の内容に関連している。第十七挿話「イタケ (Ithaca)」には、 "9th power of the 9th power of 9" と言及される非常に大きな数が登場し、全ての桁数を書ききるには1000ページの本が33冊必要だと喩える表現が言及されている[3]。
もし言葉通り "9th power of the 9th power of 9" を表記すると\(\left(9^{9}\right)^{9}\)となるが、これはわずか78桁の数である[3][4]。
\begin{eqnarray} \left(9^{9}\right)^{9}&=&387420489^{9}\\ &=&196627050475552913618075908526912116283103450944214766927315415537966391196809 \end{eqnarray}
本の冊数の喩えからすると、これは\(9^{9^{9}}\)を表していると考える方が妥当である。これは実際に十分に大きく、3億6969万3100桁の数となり、1000ページの本33冊分で全ての桁を表現するには1ページの片面ずつに5602桁を表記する必要がある[3]。この考えを踏襲し、33ページ分けて十進数展開を表示するサイトもある[5]。
\begin{eqnarray} 9^{9^{9}}&=&9^{387420489}\\ &\approx&4.28125\times10^{369693099} \end{eqnarray}
\(9^{9^{9}}\)[]
\(9^{9^{9}}\)は1桁の自然数3つと一般的な演算子を使用して (あるいは冪乗を "数字の並び替え" と見なせば演算子なしで) 表すことのできる最大の数であるため、しばしば注目される[3]。
上記のエピソードから、cookiefonsterは\(9^{9^{9}}\)にユシリーズ数 (Ulysses Number) という固有の名称を与えている[4]。またClifford Pickoverは著書『Wonders of Numbers』にて、この数をベビー・リヴァイアサン (baby Leviathan) と呼んでいる。ただしこの呼称はリヴァイアサン数の大きさを説明する過程で述べられたものであり、固有名を名付ける意図があったわけではないと思われる[6]。
例[]
ユシリーズ数列は無限に続くため、小さいほうのいくつかを挙げる。なお\(n=0\)での値は\(0^{0}\)の定義の問題に絡むが、ここではオンライン整数列大辞典での定義に基づく[1]。
\(n\) | \(n^{n^{n}}\) | 値または近似値 |
---|---|---|
\(0\) | \(0^{0^{0}}\) | \(=1\) |
\(1\) | \(1^{1^{1}}\) | \(=1\) |
\(2\) | \(2^{2^{2}}=2^{4}\) | \(=16\) |
\(3\) | \(3^{3^{3}}=3^{27}\) | \(=7625597484987\) |
\(4\) | \(4^{4^{4}}=4^{256}\) | \(\approx1.34078\times10^{154}\) |
\(5\) | \(5^{5^{5}}=5^{3125}\) | \(\approx1.91101\times10^{2184}\) |
\(6\) | \(6^{6^{6}}=6^{46656}\) | \(\approx2.65912\times10^{36305}\) |
\(7\) | \(7^{7^{7}}=7^{823543}\) | \(\approx3.75982\times10^{695974}\) |
\(8\) | \(8^{8^{8}}=8^{16777216}\) | \(\approx6.01452\times10^{15151335}\) |
\(9\) | \(9^{9^{9}}=9^{387420489}\) | \(\approx4.28125\times10^{369693099}\) |
\(10\) | \(10^{10^{10}}\) | \(=10^{10000000000}\) |
\(100\) | \(100^{100^{100}}\) | \(=10^{10^{2\times100}}\) |
\(1000\) | \(1000^{1000^{1000}}\) | \(=10^{10^{3\times1000}}\) |
\(10^{n}\) | \(\left(10^{n}\right)^{\left(10^{n}\right)^{\left(10^{n}\right)}}\) | \(=10^{10^{\left(n\times10^{n}\right)}}\) |
オンライン整数列大辞典のA054382には\(1000^{1000^{1000}}=10^{10^{3\times10^{3000}}}\)までの正確な桁数が掲載されている[1]。
出典[]
- ↑ 1.0 1.1 1.2 "A054382: James Joyce's "Ulysses" sequence: number of digits in n^(n^n)" On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ Eric Weisstein. "Joyce Sequence" Wolfram MathWorld.
- ↑ 3.0 3.1 3.2 3.3 Robert P. Munafo. "4.281247731...×10369693099 = 9↑↑3 = 999 = 9387420489". Notable Properties of Specific Numbers.
- ↑ 4.0 4.1 cookiefonster. "Pointless Gigantic List of Numbers - Part 2 (1,000,000 ~ 10^10^1,000,000)". Pointless Large Number Stuff.
- ↑ "9^9^9 in 33 volumes (published 6 Jan 2004)".
- ↑ Clifford A. Pickover. (2002) "Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning". Oxford University Press. ISBN: 978-0195157994