概要[]
新しく作ったネスト表記について解説します。開発番号はESSSver.15です。定義はありません。作れる気がしません。強さは不明です。一番弱いバージョンでψ(Ι_ω)であることが判明しています。これ読んだ人解析して
ESSSver.15の開発指針は、より強いベースを作ることに行き着きました。それにともなって幾つかのバージョンの統廃合が行われました。
ESSSver.15[]
アイデア[]
ESSSver.15のアイデアは、BOのネスト構造の、各()nに対して×ωで中に1足すというのをやめて、1のネストで()1の中に1足す、2のネストで()2の中に1を足す…というようにして、BOのネスト構造を強化しようというものです。つまり、例えば
((((0)1)1…)1)1)0 = (((0)0)1)0
ということですが、意味がわかりませんね。勿論これではill-definedです。何故なら、
(((0)0)1)0 は普通、
((0)1 +(0)1 +… +(0)1 +(0)1)0
と、展開され、上記のルールを加えるとこれに競合するからです。
ESSSver.15では、この競合を避けるために別にネストできる場所を新しく作って、そこで上記のルールと同じ事を行うことでやりたいことを実現させています。
OCFには加法ベースやら冪ベースやらありますが、ESSSver.15は、言うなれば、「ネストベース」ですね。
表記[]
使う文字は非負整数、(、)、[、]、+のみです。FGHの順序数が入る部分で使います。(つまり、順序数に対応する表記(順序数表記ではない)です。)
解説[]
まずは、
0(0)[0] = 1
であることを約束(定義)します。
次に、a(X)[Y]を一般形とします。ここで、X,Yは構造、つまり入れ子構造になることを意味します。これは非負整数が入ることも含みます。aは非負整数のみが入る(つまり入れ子構造を取らない)ということです。
aが0のときは、×ωで()の中に1を足します。(つまり、0()の[]は使いません。使うバージョンは下項の「ESSSver.15.3」に書いています。)
それ以外の場合は[]の中に1を足します。つまり、[]がネストの逃げどころです。
今のところ必要な知識はこれだけです。
自己解析[]
0 = 0
0(0)[0] = 1
0(0)[0] +0(0)[0] = 2
0(0(0)[0])[0] = ω
0(0(0)[0])[0] +0(0)[0] = ω +1
0(0(0)[0])[0] +0(0(0)[0])[0] = ω ×2
0(0(0)[0] +0(0)[0])[0] = ω ^2
0(0(0(0)[0])[0])[0] = ω ^ω
0(0(0(0)[0])[0] +0(0)[0])[0] = ω ^(ω +1)
0(0(0(0)[0])[0] +0(0(0)[0])[0])[0] = ω ^(ω ×2)
0(0(0(0)[0] +0(0)[0])[0])[0] = ω ^ω ^2
0(0(0(0(0)[0])[0])[0])[0] = ω ^ω ^ω
0(1(0)[0])[0] = ε_0 = ψ(Ω)
0(1(0)[0] +0(0)[0])[0] = ψ(Ω +1)
0(1(0)[0] +0(0(0)[0])[0])[0] = ψ(Ω +ω)
0(1(0)[0] +0(1(0)[0])[0])[0] = ψ(Ω +ψ(Ω))
0(1(0)[0] +0(1(0)[0] +0(0)[0])[0])[0] = ψ(Ω +ψ(Ω +1))
0(1(0)[0] +0(1(0)[0] +0(1(0)[0])[0])[0])[0] = ψ(Ω +ψ(Ω +ψ(Ω)))
0(1(0)[0] +1(0)[0])[0] = ψ(Ω ×2)
0(1(0)[0(0)[0]])[0] = ψ(Ω ×ω)
0(1(0)[0(1(0)[0])[0]])[0] = ψ(Ω ×ψ(Ω)) = ε_ε_0
0(1(0)[1(0)[0]])[0] = ψ(Ω ^2) = ζ_0
0(1(0)[1(0)[0(0)[0]]])[0] = ψ(Ω ^ω) = φ(ω,0)
0(1(0)[1(0)[0(1(0)[0])[0]]])[0] = ψ(Ω ^ψ(Ω))
0(1(0)[1(0)[1(0)[0]]])[0] = ψ(Ω ^Ω)
0(1(0(0)[0])[0])[0] = ψ(Ω_2) = BHO
0(1(0(0)[0])[0]+0(0)[0])[0] = ψ(Ω_2 +1)
0(1(0(0)[0])[0]+0(1(0(0)[0])[0])[0] = ψ(Ω_2 +ψ(Ω_2))
0(1(0(0)[0])[0]+1(0)[0])[0] = ψ(Ω_2 +Ω)
0(1(0(0)[0])[0]+1(0(0)[0])[0])[0] = ψ(Ω_2 ×2)
0(1(0(0)[0])[0(0)[0]])[0] = ψ(Ω_2 ×ω)
0(1(0(0)[0])[0(1(0(0)[0])[0])[0]])[0] = ψ(Ω_2 ×ψ(Ω_2))
0(1(0(0)[0])[1(0)[0]])[0] = ψ(Ω_2 ×Ω)
0(1(0(0)[0])[1(0(0)[0])[0]])[0] = ψ(Ω_2 ^2)...多分
他者による解析[]
rpakr氏がESSSver.15シリーズの解析を行ってくれています。↓
ESSSver.15.3[]
アイデア[]
0(X)[Y]の[]が形式的に置いてあるだけ(Y=0にしかならない)で、無駄になっているので何とか活用できないか、というp進大好きbot氏の助言？があったので、それを使える形にしたバージョンです。
具体的には、1()の中に1を足すためには1()の[]でネストをしないといけないというルールを、0()とその[]に対しても適用するようにします。
ネストの極限、例えば((…((0))…)) をαを使って不動点風に α → (α) に書くとします。すると、ESSSver.15.3のルールの一部は、
a(X +0(0)[0])[0] = α → a(X)[α]
と書けます。
予想の段階ですが、ESSSver.15.3も大きさはψ(Ι_ω)だろうとのことです。それで、ver.15とver.15.3のどちらがψ(Ι_ω)に自然に対応するかというと、ver.15だそうです。
自己解析[]
0 = 0
0(0)[0] = 1
0(0)[0(0)[0]] = ω
0(0(0)[0])[0] = ε_0 = ψ(Ω)
0(0(0)[0])[0(0)[0]] = ψ(Ω +1)
0(0(0)[0])[0(0(0)[0])[0]] = ψ(Ω +ψ(Ω))
0(0(0)[0]+0(0)[0])[0] = ψ(Ω ×2)
0(0(0)[0(0)[0]])[0] = ψ(Ω ×ω)
0(0(0)[0(0(0)[0])[0]])[0] = ψ(Ω ×ψ(Ω))
0(0(0(0)[0])[0])[0] = ψ(Ω ^2)
0(0(0(0(0)[0])[0])[0])[0] = ψ(Ω ^Ω)
0(1(0)[0])[0] = ψ(Ω_2) = BHO
0(1(0)[0])[0(0)[0]] = ψ(Ω_2 +1)
0(1(0)[0]+0(0)[0(0)[0]])[0] = ψ(Ω_2 +Ω *ω)
0(1(0)[0]+0(0)[0(0)[0]]+0(0)[0])[0] ψ(Ω_2 +Ω *(ω +1))
0(1(0)[0]+0(0)[0(0)[0]]+0(0)[0(0)[0]])[0] = ψ(Ω_2 +Ω *ω *2)
0(1(0)[0]+0(0)[0(0)[0]+0(0)[0]])[0] ψ(Ω_2 +Ω *ω ^2)
0(1(0)[0]+0(0(0)[0])[0])[0] ψ(Ω_2 +Ω *ψ(Ω))
ESSSver.15.4[]
アイデア[]
15.3の「ネストベース」を、「BOのネスト構造ベース」に強化したものです。
具体的には、
a(X +0(0)[0])[0] = α → a(X)[α]
を、
a(X +0(0)[0])[0] = α → a(X)[α](a = a, a++)
にしたものです。
あまり大したことありません。
自己解析[]
0 = 0
0(0)[0] = 1
0(0)[0(0)[0]] = ω
0(0)[1(0)[0]] = ε_0 = ψ(Ω)
0(0(0)[0])[0] = ψ(Ω_ω) = BO
0(1(0)[0])[0] = ψ(Ω_{ω +1}) = TFBO
極限は多分ψ(Ι_{ω +1})
ESSSver.15.5[]
アイデア[]
15.4の「BOのネスト構造ベース」より強いベースを作る試みです。
ver15.3を「0-表記ネストベース」とし、
ベースを「0-表記ネストベース」にしたものを「1-表記ネストベース」、
ベースを「1-表記ネストベース」にしたものを「2-表記ネストベース」、
以下同様に続けて、その極限を「ω-表記ネストベース」、
そしてω +1,ω +2,,,
最終的にこれら順序数をver.15.3で表現し、ver.15.5で表現し、？？？「ver.15.5のlimit-表記ネストベース」を目指します。
自己解析[]
取り敢えず1-表記ネストベースの原型を載せていきます。
0 = 0
0(0){0}[0] = 1
0(0){0}[0(0){0}[0]] = ω
0(0){0(0){0}[0]}[0] = ε_0 = ψ(Ω)
0(0){0(0){0}[0]}[0(0){0}[0]] = ψ(Ω +1)
0(0){0(0){0}[0]}[0(0){0(0){0}[0]}[0]] = ψ(Ω +ψ(Ω))
0(0){0(0){0}[0]+0(0){0}[0]}[0] = ψ(Ω ×2)
0(0){0(0){0}[0(0){0}[0]]}[0] = ψ(Ω ×ω)