階差表記
注意：この記事には未定義概念への頻繁な言及が含まれます。
ここに載せた「階差表記」について考えたら結構面白かったので書き殴ります。
- 1 定義
- 2 性質
- 3 Y数列と階差表記
- 3.1 変形Y数列
- 3.2 余談
階差表記は、数列を初項と階差を用いて以下の通りに書き表す表記です。
- \(a_1,a_2,a_3,a_4...=a_1[a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3...]\)
- 例:2,0,1,9,1,2,0,2=2[-2,1,8,-8,1,-2,2]
階差数列もまた数列なので、階差表記はネストすることができます。
- 例:1,3,8,20,48=1[2,5,12,28]=1[2[3,7,16]]=1[2[3[4,9]]]=1[2[3[4[5]]]]
ネストした際、各階層の初項を集めた新たな数列(上記の例では1,2,3,4,5)を考えることができ、その階差数列を考えることができます。そこで、「ネスト階差表記の初項の階差数列」を表す「レベル2の階差表記」を以下のように定義します。
- \(a_1[a_2[a_3[a_4[...]]]]=a_1[a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3...]_2\)
- 例:2,0,1,9,1,2,0,2=2[-2[3[4[-27[75[-160[301]]]]]]]=2[-4,5,1,-31,102,-235,461]₂
当然、これもネストできます。そこで、「レベル\(n\)のネスト階差表記の初項の階差数列」を表す「レベル\(n+1\)の階差表記」を同様に定義します。また、最初に定義した添字無しの階差表記をレベル1の階差表記として再定義します。
- \(a[b]_c=a,ac+b\)
- \(a_1[a_2,a_3,a_4...]_{n+1}=a_1[a_1+a_2[a_3,a_4...]_{…
東巨3エントリー
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- 1 L-階差数列類
- 1.1 表記
- 1.2 定義
- 1.2.1 サブルール
- \(a_0,a_1,...a_k:\)非負整数
- \(n:\)自然数
- \(M:\)L関数
- 正規形\(:(a_0,a_1,...a_k)_{M}[n]=(S)_M[n]\)
- \(c,e,g:\)自然数
- 列の長さ
列\(s\)の長さを\(|s|\)と表記する。
例:\(|0,1,1,2,2,3|=6\)
- 結合
列\(s\)と列\(t\)の結合を\(s\frown t\)と表記する。
例:\(0,1,1,2\frown 2,3=0,1,1,2,2,3\)
- 展開度
列\(s=b_0,b_1,...b_c\)の「展開度」を\(max\{e|∃s'[∃g[s=s'+g×0\frown s'+g×1\frown ...s'+g×e]]\}\)と定義する。
例:\(s=0,1,1,2,2,3,3,4\)
- \(s'=0,1,1,2→s=s'+0×2\frown S'+1×2→e=1\)
- \(s'=0,1→s=s'+0×1\frown s'+1×1\frown s'+2×1\frown s'+3×1→e=3\)
- L関数
L関数は、非負整数\(m\)と再帰順序数\({\alpha}\)を用いて\(L_{\alpha}(m)\)と表記され、列\(S\)に依存した関数である。
- rule1:\(L_0(m)=\)「1以上の展開度を持ち、階差数列が全て-mより大きいようなSの連続部分列の最大長」
- rule2:\(L_{\alpha+1}(m)=L^m_{\alpha}(m)\)
- rule3:\(L_{\alpha}(m)=L_{\alpha[m]}(m):\)
- \(a_l\)
\(M\)の値に対応する列の内、最も左側にある列の初項を\(a_l\)とする。
- \(d_0,d_1,...d_k\…
数列・行列関連
- 1 定義済み
- 1.1 大SZNO数列システム(LSZNOSs)
- 1.1.1 表記
- 1.1.2 サブルール
- 1.1 大SZNO数列システム(LSZNOSs)
\(BW+SZNO(=SpS+SZNO×2)\)
\((a_0,a_1,a_2...a_k)[n]\)
- 大小関係
- \(A
有限ラベル付き準ヒドラ
S+C+U+N+fLで表されるシステムのバリエーション
- 1 表記
- 2 第\(k\)準ヒドラ数
- 3 第1準ヒドラシステム
- 3.1 計算法
- 3.2 評価
- 4 第2準ヒドラシステム
- 4.1 計算法
- 4.2 評価
- 5 第3準ヒドラシステム
- 5.1 計算法
- 5.2 評価
- 6 第4準ヒドラシステム
- 6.1 サブルール
- 6.2 計算法
- 6.3 評価
- 項は列でもある
- 非負整数は列である
- 列\(S\)と非負整数\(a\)に対し\([S]_a\)は項である
- 項\(X\)と列\(S\)に対し\(XS\)は列である
関数記号\(H_k\)、自然数\(n\)、列\(S\)に対し\(nH_kS\)を第\(k\)準ヒドラの正規形とする。
\(T_k(n)=nH_k[[...[0]_n...]_1]_0\)
第\(k\)準ヒドラ数\(=T_k^{10}(10)\)
- \(a,b:\)非負整数
- \(■:\)1個以上の項
- \(□:\)0個以上の項
rule1: \(nH_1a=n+a\)
rule2: \(nH_1■a=(n+a)H_1■\)
rule3: \(■0=■\)
rule4: \([0]_0=n\)
rule5: \([□a+1]_b=\underbrace{[□a]_b[□a]_b...[□a]_b}_n\)
rule6: \([0]_{a+1}=f^n(0):f(x)=[x]_a\)
- \([[0]_1]_0={\varepsilon_0}\)
- \([[0]_11]_0={\varepsilon_0×{\omega}}\)
- \([[0]_1[0]_1]_0={\varepsilon_0^2}\)
- \([[1]_1]_0={\varepsilon_0^{\omega}}\)
- \([[[0]_1]_1]_0={\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}\)
- \([[[0]_2]_1]_…
順序数表記
自作の順序数表記の構想メモ。定義は多分一生完成しない。
※関数記号に特に意味はありません。使われていないものを適当に選んでいます。
- 1 \({\rho}\)関数
- 2 \({\tau}\)関数
- 3 \({\beta}\)関数
- 4 多変数\({\psi}\)関数
- 5 \({\nu}\)関数
ψ関数を拡張した順序数崩壊関数。
\({\rho^{\omega}_n}(0)={\rho^{n+1}_n}({\Omega_{n+1}})\)
\({\rho_1}({\Omega_2×{\alpha}})→{\Omega_{1+\alpha}}\)
- \({\rho}_0(0)={\psi}_0(0)\)
- \({\rho}_0({\Omega})={\psi}_0({\Omega})\)
- \({\rho}_0({\rho}_1(0))={\psi}_0({\psi}_1(0))\)
- \({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)))={\psi}_0({\psi}_1({\Omega}_2))\)
- \({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)+1))={\psi}_0({\psi}_1({\Omega}_2+1))\)
- \({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)^}})))={\rho_0({\rho}_1({\rho}_1({\rho}_2(0))))}\)
\({\rho}\)関数の旧バージョンの簡略化。
- \({\tau_0}({\tau_0}({\Omega}))={\varepsilon_0}\)
- \({\tau_0}({\tau_0}({\Omega}),{\tau_0}({\Omega}))={\varepsilo…