巨大数研究 Wiki

108Hassium 108Hassium 2019年12月2日 (月)
2

階差表記

注意:この記事には未定義概念への頻繁な言及が含まれます。

ここに載せた「階差表記」について考えたら結構面白かったので書き殴ります。


  • 1 定義
  • 2 性質
  • 3 Y数列と階差表記
    • 3.1 変形Y数列
    • 3.2 余談


階差表記は、数列を初項と階差を用いて以下の通りに書き表す表記です。

\(a_1,a_2,a_3,a_4...=a_1[a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3...]\)
例:2,0,1,9,1,2,0,2=2[-2,1,8,-8,1,-2,2]

階差数列もまた数列なので、階差表記はネストすることができます。

例:1,3,8,20,48=1[2,5,12,28]=1[2[3,7,16]]=1[2[3[4,9]]]=1[2[3[4[5]]]]

ネストした際、各階層の初項を集めた新たな数列(上記の例では1,2,3,4,5)を考えることができ、その階差数列を考えることができます。そこで、「ネスト階差表記の初項の階差数列」を表す「レベル2の階差表記」を以下のように定義します。

\(a_1[a_2[a_3[a_4[...]]]]=a_1[a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3...]_2\)
例:2,0,1,9,1,2,0,2=2[-2[3[4[-27[75[-160[301]]]]]]]=2[-4,5,1,-31,102,-235,461]₂

当然、これもネストできます。そこで、「レベル\(n\)のネスト階差表記の初項の階差数列」を表す「レベル\(n+1\)の階差表記」を同様に定義します。また、最初に定義した添字無しの階差表記をレベル1の階差表記として再定義します。


  • \(a[b]_c=a,ac+b\)
  • \(a_1[a_2,a_3,a_4...]_{n+1}=a_1[a_1+a_2[a_3,a_4...]_{…




投稿の全文を読む
108Hassium 108Hassium 2019年5月12日 (日)
0

東巨3エントリー

[1]


  • 1 L-階差数列類
    • 1.1 表記
    • 1.2 定義
      • 1.2.1 サブルール



  • \(a_0,a_1,...a_k:\)非負整数
  • \(n:\)自然数
  • \(M:\)L関数


  • 正規形\(:(a_0,a_1,...a_k)_{M}[n]=(S)_M[n]\)


  • \(c,e,g:\)自然数
  • 列の長さ

列\(s\)の長さを\(|s|\)と表記する。

例:\(|0,1,1,2,2,3|=6\)

  • 結合

列\(s\)と列\(t\)の結合を\(s\frown t\)と表記する。

例:\(0,1,1,2\frown 2,3=0,1,1,2,2,3\)

  • 展開度

列\(s=b_0,b_1,...b_c\)の「展開度」を\(max\{e|∃s'[∃g[s=s'+g×0\frown s'+g×1\frown ...s'+g×e]]\}\)と定義する。

例:\(s=0,1,1,2,2,3,3,4\)

\(s'=0,1,1,2→s=s'+0×2\frown S'+1×2→e=1\)
\(s'=0,1→s=s'+0×1\frown s'+1×1\frown s'+2×1\frown s'+3×1→e=3\)
  • L関数

L関数は、非負整数\(m\)と再帰順序数\({\alpha}\)を用いて\(L_{\alpha}(m)\)と表記され、列\(S\)に依存した関数である。

rule1:\(L_0(m)=\)「1以上の展開度を持ち、階差数列が全て-mより大きいようなSの連続部分列の最大長」
rule2:\(L_{\alpha+1}(m)=L^m_{\alpha}(m)\)
rule3:\(L_{\alpha}(m)=L_{\alpha[m]}(m):\)
  • \(a_l\)

\(M\)の値に対応する列の内、最も左側にある列の初項を\(a_l\)とする。

  • \(d_0,d_1,...d_k\…






投稿の全文を読む
108Hassium 108Hassium 2018年7月8日 (日)
1

数列・行列関連

  • 1 定義済み
    • 1.1 大SZNO数列システム(LSZNOSs)
      • 1.1.1 表記
      • 1.1.2 サブルール



\(BW+SZNO(=SpS+SZNO×2)\)


\((a_0,a_1,a_2...a_k)[n]\)


  • 大小関係
\(A
投稿の全文を読む
108Hassium 108Hassium 2018年4月20日 (金)
0

有限ラベル付き準ヒドラ

S+C+U+N+fLで表されるシステムのバリエーション


  • 1 表記
  • 2 第\(k\)準ヒドラ数
  • 3 第1準ヒドラシステム
    • 3.1 計算法
    • 3.2 評価
  • 4 第2準ヒドラシステム
    • 4.1 計算法
    • 4.2 評価
  • 5 第3準ヒドラシステム
    • 5.1 計算法
    • 5.2 評価
  • 6 第4準ヒドラシステム
    • 6.1 サブルール
    • 6.2 計算法
    • 6.3 評価


  • 項は列でもある
  • 非負整数は列である
  • 列\(S\)と非負整数\(a\)に対し\([S]_a\)は項である
  • 項\(X\)と列\(S\)に対し\(XS\)は列である

関数記号\(H_k\)、自然数\(n\)、列\(S\)に対し\(nH_kS\)を第\(k\)準ヒドラの正規形とする。


\(T_k(n)=nH_k[[...[0]_n...]_1]_0\)

第\(k\)準ヒドラ数\(=T_k^{10}(10)\)


  • \(a,b:\)非負整数
  • \(■:\)1個以上の項
  • \(□:\)0個以上の項

rule1: \(nH_1a=n+a\)

rule2: \(nH_1■a=(n+a)H_1■\)

rule3: \(■0=■\)

rule4: \([0]_0=n\)

rule5: \([□a+1]_b=\underbrace{[□a]_b[□a]_b...[□a]_b}_n\)

rule6: \([0]_{a+1}=f^n(0):f(x)=[x]_a\)


\([[0]_1]_0={\varepsilon_0}\)
\([[0]_11]_0={\varepsilon_0×{\omega}}\)
\([[0]_1[0]_1]_0={\varepsilon_0^2}\)
\([[1]_1]_0={\varepsilon_0^{\omega}}\)
\([[[0]_1]_1]_0={\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}\)
\([[[0]_2]_1]_…






投稿の全文を読む
108Hassium 108Hassium 2018年2月20日 (火)
0

順序数表記

自作の順序数表記の構想メモ。定義は多分一生完成しない。

※関数記号に特に意味はありません。使われていないものを適当に選んでいます。


  • 1 ​\({\rho}\)関数
  • 2 \({\tau}\)関数
  • 3 \({\beta}\)関数
  • 4 多変数\({\psi}\)関数
  • 5 \({\nu}\)関数


ψ関数を拡張した順序数崩壊関数。

\({\rho^{\omega}_n}(0)={\rho^{n+1}_n}({\Omega_{n+1}})\)

\({\rho_1}({\Omega_2×{\alpha}})→{\Omega_{1+\alpha}}\)

\({\rho}_0(0)={\psi}_0(0)\)
\({\rho}_0({\Omega})={\psi}_0({\Omega})\)
\({\rho}_0({\rho}_1(0))={\psi}_0({\psi}_1(0))\)
\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)))={\psi}_0({\psi}_1({\Omega}_2))\)
\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)+1))={\psi}_0({\psi}_1({\Omega}_2+1))\)
\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)^}})))={\rho_0({\rho}_1({\rho}_1({\rho}_2(0))))}\)


\({\rho}\)関数の旧バージョンの簡略化。

\({\tau_0}({\tau_0}({\Omega}))={\varepsilon_0}\)
\({\tau_0}({\tau_0}({\Omega}),{\tau_0}({\Omega}))={\varepsilo…




投稿の全文を読む