有限ラベル付き準ヒドラ

S+C+U+N+fLで表されるシステムのバリエーション

表記

• 項は列でもある
• 非負整数は列である
• 列\(S\)と非負整数\(a\)に対し\([S]_a\)は項である
• 項\(X\)と列\(S\)に対し\(XS\)は列である

関数記号\(H_k\)、自然数\(n\)、列\(S\)に対し\(nH_kS\)を第\(k\)準ヒドラの正規形とする。

第\(k\)準ヒドラ数

\(T_k(n)=nH_k[[...[0]_n...]_1]_0\)

第\(k\)準ヒドラ数\(=T_k^{10}(10)\)

第1準ヒドラシステム

計算法

• \(a,b:\)非負整数
• \(■:\)1個以上の項
• \(□:\)0個以上の項

rule1:　\(nH_1a=n+a\)

rule2:　\(nH_1■a=(n+a)H_1■\)

rule3:　\(■0=■\)

rule4:　\([0]_0=n\)

rule5:　\([□a+1]_b=\underbrace{[□a]_b[□a]_b...[□a]_b}_n\)

rule6:　\([0]_{a+1}=f^n(0):f(x)=[x]_a\)

評価

\([[0]_1]_0={\varepsilon_0}\)

\([[0]_11]_0={\varepsilon_0×{\omega}}\)

\([[0]_1[0]_1]_0={\varepsilon_0^2}\)

\([[1]_1]_0={\varepsilon_0^{\omega}}\)

\([[[0]_1]_1]_0={\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}\)

\([[[0]_2]_1]_0={\varepsilon_1}\)

\(T_1(n)\approx f_{\varepsilon_{\omega}}(n)\)

第2準ヒドラシステム

小拡張第3配列システム

計算法

• \(a,b:\)非負整数
• \(m,a_1,a_2,...a_m:\)自然数
• \(■:\)1個以上の項
• \(□,□^1,□^2,...□^{m-1}:\)0個以上の項

rule1:　\(nH_2a=n+a\)

rule2:　\(nH_2■a=(n+a)H_2■\)

rule3:　\(■0=■\)

rule4:　\([0]_0=n\)

rule5:　\([□a+1]_b=\underbrace{[□a]_b[□a]_b...[□a]_b}_n\)

rule6:　\([□[□^1[□^2...[□^{m-1}[0]_{a_m}]_{a_{m-1}}...]_{a_2}]_{a_1}]_0=f^n(0)　:f(x)=[□[□^1[□^2...[□^{m-1}x]_{a_{m-1}}...]_{a_2}]_{a_1}]_0\)

評価

\([[0]_1]_0={\varepsilon_0}\)

\([[0]_1[[0]_1]_0]_0={\varepsilon_0^2}\)

\([[0]_1[0]_1]_0={\varepsilon_1}\)

\([[1]_1]_0={\psi({\omega})}\)

\([[[[0]_1]_0]_1]_0={\psi({\psi(0)})}\)

\([[[0]_2]_1]_0={\psi({\Omega})}\)

\([[[0]_2]_1[0]_1]_0{\psi({\Omega+1})}\)

\([[[0]_2]_1[[0]_2]_1]_0={\psi({\Omega}×2)}\)

\([[[0]_21]_1]_0={\psi({\Omega×{\omega}})}\)

\([[[0]_2[0]_2]_1]_0={\psi({\Omega^2})}\)

\([[[1]_2]_1]_0={\psi({\Omega^{\omega}})}\)

\([[[[[[0]_2]_1]_0]_2]_1]_0={\psi({\Omega^{\psi({\Omega})}})}\)

\([[[[0]_3]_2]_1]_0={\psi({\Omega^{\Omega}})}\)

\(T_2(n)\approx f_{\psi({\varepsilon_{\Omega+1}})}(n)\)

第3準ヒドラシステム

BH、$、PS

計算法

• \(a,b:\)非負整数
• \(m,a_1,a_2,...a_m:\)自然数
• \(■:\)1個以上の項
• \(□,□^1,□^2,...□^{a_{m-1}}:\)0個以上の項

rule1:　\(nH_3a=n+a\)

rule2:　\(nH_3□a=(n+a)H_3□\)

rule3:　\(■0=■\)

rule4:　\([0]_0=n\)

rule5:　\([□a+1]_b=\underbrace{[□a]_b[□a]_b...[□a]_b}_n\)

rule6:　\([□^1[□^2...[□^{m-1}[0]_{a_m}]_{a_{m-1}}...]_{a_2}]_{a_1}=f^n(0)　:f(x)=[□^1[□^2...[□^{m-1}x]_{a_{m-1}}...]_{a_2}]_{a_1}\)

ただし、\(a_1,a_2,...a_{m-1}\)の内\(a_m\)より小さいのは\(a_1\)のみである。

評価

\([[0]_1]_0={\varepsilon_0}\)

\([[[0]_1]_1]_0={\psi_0({\Omega})}\)

\([[[0]_1]_1[[0]_1]_1]_0={\psi_0({\Omega×2})}\)

\([[[0]_1[0]_1]_1]_0={\psi_0({\Omega^2})}\)

\([[[1]_1]_1]_0={\psi_0({\Omega^{\omega}})}\)

\([[[[0]_1]_1]_1]_0={\psi_0({\Omega^{\Omega}})}\)

\([[[0]_2]_1]_0={\psi_0({\psi_1(0)})}\)

\([[[0]_21]_1]_0={\psi_0({\psi_1(0)×{\omega}})}\)

\([[[0]_2[0]_1]_1]_0={\psi_0({\psi_1(0)×{\Omega}})}\)

\([[[0]_2[[0]_2]_1]_1]_0={\psi_0({\psi_1(0)^2})}\)

\([[[0]_2[0]_2]_1]_0={\psi_0({\psi_1(1)})}\)

\([[[1]_2]_1]_0={\psi_0({\psi_1({\omega})})}\)

\([[[[[0]_2]_1]_2]_1]_0={\psi_0({\psi_1({\psi_1(0)})})}\)

\([[[[0]_2]_2]_1]_0={\psi_0({\psi_1({\Omega_2})})}\)

\([[[[0]_3]_2]_1]_0={\psi_0({\psi_1({\psi_2(0)})})}\)

\(T_3(n)\approx f_{\psi_0({\Omega_{\omega}})}(n)\)

第4準ヒドラシステム

E2:C-02-Hs、τ?

未完成

サブルール

• \(a,b:\)非負整数
• \(E:\)空の列
• \(□:\)列
• \(■,◆:\)空でない列

rule1:　\(■>E\)

rule2:　\(a>b⇒[□]_a>[■]_b\)

rule3:　\((□>■)∧(□>◆)⇒[□]_a>[■]_a[◆]_a\)

rule4:　\(■>◆⇒□■>□◆\)

rule5:　\([■]_{a+1}>[[■]_{a+1}]_a\)

rule6:　\([[■]_a]_a>[■]_a\)

rule7:　\(■0=■\)

rule8:　\(Lv([■]_a)=a\)

計算法

rule1:　\(nH_4a=n+a\)

rule2:　\(nH_4□a=(n+a)H_4□\)

rule3:　\(■0=■\)

rule4:　\([0]_0=n\)

rule5:　\([□a+1]_{b+1}=\underbrace{[□a]_b[□a]_b...[□a]_b}_n\)

rule6:　

評価

\([[0]_1]_0={\varepsilon_0}\)

\([[0]_1[[[0]_1]_0]_0]_0=[[0]_1[[[[...]_0]_0]_0]_0]_0={\varepsilon_0}^2\)

\([[0]_1[[[0]_1]_0[[[0]_1]_0]_0]_0]_0=[[0]_1[[[0]_1]_0[[[[...]_0]_0]_0]_0]_0]_0={\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}\)

\([[0]_1[[[0]_1]_0[[0]_1]_0]_0]_0=[[0]_1[[[0]_1]_0[[[[0]_1]_0[[[[0]_1]_0[...]_0]_0]_0]_0]_0]_0]_0={\varepsilon_1}\)

\([[0]_1[[[0]_11]_0]_0]_0=[[0]_1[[[0]_1]_0[[0]_1]_0[[0]_1]_0...]_0]_0={\psi_0({\omega})}\)

\([[0]_1[[[0]_1[[[0]_1]_0]_0]_0]_0]_0={\psi_0({\psi_0(0)})}\)

\([[0]_1[[0]_1]_0]_0=[[0]_1[[[0]_1[[[0]_1[...]_0]_0]_0]_0]_0]_0={\psi_0({\Omega})}\)

\([[0]_1[[0]_1]_0[[[0]_1[[0]_1]_0]_0[[0]_1]_0]_0]_0={\psi_0({\Omega+1})}\)

\([[0]_1[[0]_1]_0[[[0]_1[[0]_1]_0]_0[[0]_1[[0]_1]_0]_0]_0]_0=\)

\([[0]_1[[0]_1]_0[[[0]_1[[0]_1]_0]_0[[0]_1[[[[0]_1[[0]_1]_0]_0[[0]_1[[[[0]_1[[0]_1]_0]_0[[0]_1[...]_0]_0]_0]_0]_0]_0]_0]_0]_0]_0={\psi_0({\Omega×2})}\)

\([[0]_1[[0]_1]_0[[[0]_1[[0]_1]_01]_0]_0]_0={\psi_0({\Omega×{\omega}})}\)

\([[0]_1[[0]_1]_0[[[0]_1[[0]_1[[[0]_1[[0]_1]_0]_0]_0]_0]_0]_0]_0={\psi_0({\Omega}×{\psi_0({\Omega})})}\)

\([[0]_1[[0]_1]_0[[0]_1]_0]_0=[[0]_1[[0]_1]_0[[[0]_1[[0]_1]_0[[[0]_1[[0]_1]_0[...]_0]_0]_0]_0]_0]_0={\psi_0({\Omega^2})}\)

\([[0]_1[[0]_11]_0]_0={\psi_0({\Omega^{\omega}})}\)

\([[0]_1[[0]_1[[[0]_1]_0]_0]_0]_0={\psi_0({\Omega^{\psi_0(0)}})}\)

\([[0]_1[[0]_1[[0]_1]_0]_0]_0=[[0]_1[[0]_1[[[0]_1[[0]_1[[[0]_1[[0]_1[...]_0]_0]_0]_0]_0]_0]_0]_0]_0={\psi_0({\Omega^{\Omega}})}\)

\([[0]_1[0]_1]_0=[[0]_1[[0]_1[[0]_1...]_0]_0]_0={\psi_0({\psi_1(0)})}\)

\([[0]_1[0]_1[[0]_1[[0]_1[0]_1]_0]_0]_0=[[0]_1[0]_1[[0]_1[[0]_1[[0]_1[[0]_1[[0]_1[[0]_1...]_0]_0]_0]_0]_0]_0]_0={\psi_0({\psi_1(0)×2})}\)

\([[0]_1[0]_1[[0]_1[[0]_1[0]_1]_0[[0]_1[0]_1]_0]_0]_0=\)

\([[0]_1[0]_1[[0]_1[[0]_1[0]_1]_0[[0]_1[[0]_1[[0]_1[0]_1]_0[[0]_1[[0]_1[[0]_1[0]_1]_0[[0]_1...]_0]_0]_0]_0]_0]_0]_0={\psi_0({\psi_1(1)})}\)

\([[0]_1[0]_1[[0]_1[[0]_1[0]_1[[0]_1[[0]_1[0]_1]_0]_0]_0]_0]_0={\psi_0({\psi_1({\psi_1(0)})})}\)

\([[0]_1[0]_1[[0]_1[0]_1]_0]_0=[[0]_1[0]_1[[0]_1[[0]_1[0]_1[[0]_1[[0]_1[0]_1[[0]_1...]_0]_0]_0]_0]_0]_0={\psi_0({\psi_1({\Omega_2})})}\)

\([[0]_1[0]_1[[0]_1[0]_1[[0]_1[0]_1]_0]_0]_0={\psi_0({\psi_1({\Omega_2^{\Omega_2}})})}\)

\([[0]_1[0]_1[0]_1]_0=[[0]_1[0]_1[[0]_1[0]_1[[0]_1[0]_1...]_0]_0]_0={\psi_0({\psi_1({\psi_2(0)})})}\)

\([[1]_1]_0=[[0]_1[0]_1[0]_1...]_0={\psi_0({\Omega_{\omega}})}\)

\([[[[0]_1]_0]_1]_0=[[[[[[[[[...]_0]_1]_0]_0]_1]_0]_0]_1]_0={\psi_0({\Omega_{\Omega}})}\)

\([[[0]_1]_1]_0=[[[[[[...]_1]_0]_1]_0]_1]_0={\psi_0({\psi_I(0)})}\)