第k配列数
第k配列システムに対して\(A_k(n)=nL_k[1,0,0,…(0がn個)…,0]\)とし、第k配列数を\(A^{10}_k(10)\)とする。
第1配列システム
概要
最も単純な構造の配列。
表記
・NFO型（F＝\("L_1"\)）
・配列構造
例：\(3L_1[2,3,0]\)
計算法
・\(Z\)：０個以上の０
・\(\#\)：０個以上の非負整数
(1) \(nL_1[\#,a]=(n+a)L_1[\#,0]\)
(2) \(nL_1[Z]=n\)
(3) \(nL_1[\#,a+1,0,Z]=nL_1[\#,a,n,Z]\)
評価
\(nL_1[1,0,0,…0]\approx f_{\omega}(n) \)
\(A^{10}_1(10)\approx f_{\omega+1}(10)\)
第２配列システム
概要
結合構造を導入することにより、多変数アッカーマン関数やBEAFの構造を表現。
表記
・NFO型（F=\("L_2"\)）
・配列構造＋結合構造
例：\(2L_2[1,0,5][2,1][1,4][3]\)
計算法
・\(Z\)：０個以上の０
・\(\#\)：０個以上の非負整数
・\(□\)：１個以上の配列
・\(n\)：変数
・右端の配列から計算を行う。
(1) \(nL_2□[Z]=(n+1)L_2□\)
(2) \(nL_[Z]=n+1\)
(3) \([\#,a+1]=[\#,a][＃,a]…([\#,a]がｎ個)…[\#,a]\)
(4) \([\#,a+1,0,Z]=[\#,a,n,Z]\)
評価
第１配列システム\(\approx nL_2[1,0]\)
\(nL_2[1,0,…0]\approx f_{\omega^\omega}(n)\)
\(A^{10}_2(10)\approx f_{\omega^{\omega}+1}(10)\)
第３配列システム
概要
ネスト構造を導入。超階乗配列表記とほぼ同じ？
表記
・係数構造＋結合構造＋配列構造＋ネスト構造
・NFO型（F=\("L_3"\)）
例：\(5L_3[1,1,[2,3]3][2,[1,[2,3]],5][3,[[1]2]2]\)
計算法
・\(Z\)：０個以上の０
・\(\#\)：０個以上の要素
・\(□\)：１個以上の要素
・\(n\)：変数
(1)\(nL_3a=n+a\)
(2)\(nL_3□a=(n+a)L□\)
(3)\([Z]=n\) ただし\([Z]\)の右側には自然数も０だけを含む配列も無い。
・以降の規則は要素の中で一番右側にある自然数が含まれる配列に対して適用する。
(4)\([\#,a+1]=[\#,a][\#,a]…([\#,a]がｎ個)…[\#,a]\)
(5)\([\#_1,\#_2a+1,0,Z]=f^n(0)\) ただし\(f(b)=[\#_1,\#_2a,b,Z]\)とする。
評価
第１配列システム\(\approx nL_3[[0]]\)
第２配列システム\(\approx nL_3[[[0]]]\)
\(nL_3[1,0,0,…0]\approx f_{\phi(\omega,0)}(n)\)
\(A^{10}_3(10)\approx f_{\phi({\omega},0)+1}(10)\)
第４配列システム
概要
配列の中での位置を表す「ランク」という概念を導入し、ψ関数の構造を表現。
表記
・係数構造＋結合構造＋配列構造＋ネスト構造
・NFO型（F=\("L_4"\)）
例：\(5L_4[1,1,[2,3]3][2,[1,[2,3]],5][3,[[1]2]2]\)
計算法
・\(Z\)：０個以上の０
・\(\#\)：０個以上の要素
・\(□\)：１個以上の要素
・\(n\)：変数
・ある要素が配列の右からn番目の要素であるとき、その要素のランクをnとする。
・1番外側の要素のランクは０とする。
例：\([1,[2,3][4,5]6,[7,[8]9],10][11,12,[[13,14]]]15\)
ランク0…\([1,[2,3][4,5]6,[7,[8]9],10]、[11,12,[[13,14]]]、15\)
1…\(3、5、8、[8]、9、10、[[13,14]]、[13、14]\)
2…\(2、4、7、[7,[8]9]、12\)
3…\([2,3]、[4,5]、6、11\)
4…\(1\)
・要素Aが配列Bの要素であるとき、BをAの親配列と呼ぶ。
例：\([1,[2,[[3]4,5],6],7,8]\)
・\(3\)の親配列は\([3]\)である。
・\([3]\)の親配列は\([[3]4,5]\)である。
・\([[3]4,5]\)の親配列は\([2,[[3]4,5],6]\)である。
・\([2,[[3]4,5],6]\)の親配列は\([1,[2,[[3]4,5],6],7,8]\)である。
・\([1,[2,[[3]4,5],6],7,8]\)の親配列は存在しない。
(1)\(nL_4a=n+a\)
(2)\(nL_4□a=(n+a)L_4□\)
以降の規則は、右から左に向かって0以外の要素を持たない配列または自然数を探し、
最初に見つかったものに対して適用する。
(3)\([Z]=n\)
(4)\([\#,a+1]=[\#,a][\#,a]…([\#,a]がｎ個)…[\#,a]\)
(5)見つかった自然数\(a+1\)のランクをもとに、以下の手順で計算範囲を求める。
①\(a+1\)のランクを\(r\)とする。
②\(a+1\)の親配列のランクを調べ、\(r\)以上ならその配列の親配列のランクを調べる。
③「親配列のランクを\(r\)と比較する」という操作を続け、ランクが\(r\)より小さい配列が見つかったら
その配列までを計算範囲とする（計算範囲を\("\{\#,a+1,0,Z\}"\)と略記する。）。
\(\{\#,a+1,0,Z\}=f^n(0)\) ただし\(f(x)=\{\#a,x,Z\}\)とする。
評価
第１配列システム\(\approx nL_4[[0]]\)
第２配列システム\(\approx nL_4[[[0]]]\)
第３配列システム\(\approx nL_4[[[[0],0],0]\)
\(nL_4[1,0,0,…0]\approx f_{\psi_0(\Omega_{\omega})}(n)\)
\(A^{10}_4(10)\approx f_{\psi_0({\Omega_{\omega}})+1}(10)\)
拡張配列
配列システムにBEAFやSANのように配列をセパレータとして使う構造を導入する。
定義は面倒なので省略（大体元の配列と同じような感じ）。
第一配列
解析にはハーディー階層を使用。
\([1\{0\}0]={\omega^{\omega}}\)
\([1\{0\}1]={\omega^{\omega}+1}\)
\([1\{0\}1,0]={\omega^{\omega}+{\omega}}\)
\([2\{0\}0]={\omega^{\omega}×2}\)
\([1,0\{0\}0]={\omega^{\omega+1}}\)
\([1\{0\}0\{0\}0]={\omega^{\omega×2}}\)
\([1\{1\}0]={\omega^{\omega^2}}\)
\([1\{1\}1\{0\}0]={\omega^{\omega^2}+{\omega^{\omega}}}\)
\([2\{1\}0]={\omega^{\omega^2}×2}\)
\([1,0\{1\}0]={\omega^{\omega^2+1}}\)
\([1\{0\}0\{1\}0]={\omega^{\omega^2+{\omega}}}\)
\([1\{1\}0\{1\}0]={\omega^{\omega^2×2}}\)
\([1\{2\}0]={\omega^{\omega^3}}\)
\([1\{1,0\}0]={\omega^{\omega^{\omega}}}\)
\([1\{1,1\}0]={\omega^{\omega^{\omega+1}}}\)
\([1\{2,0\}0]={\omega^{\omega^{\omega×2}}}\)
\([1\{1,0,0\}0]={\omega^{\omega^{\omega^2}}}\)
\([1\{1\{0\}0\}0]={\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}\)
\([1\{1\{1\{…\}0\}0\}0]={\varepsilon_0}\)
第2配列
\([1\{0\}0]={\omega^{\omega^{\omega}}}\)
\([1\{0\}0][1\{0\}0]={\omega^{\omega^{\omega}}×2}\)
\([1\{0\}1]={\omega^{\omega^{\omega}+1}}\)
\([1\{0\}1,0]={\omega^{\omega^{\omega}+{\omega}}}\)
\([2\{0\}0]={\omega^{\omega^{\omega}×2}}\)
\([1,0\{0\}0]={\omega^{\omega^{\omega+1}}}\)
\([1\{0\}0\{0\}0]={\omega^{\omega^{\omega×2}}}\)
元の配列に結合構造があるのでセパレータにも使うことにする。
\([1\{0\}\{0\}0]={\omega^{\omega^{\omega^2}}}\)
\([2\{0\}\{0\}0]={\omega^{\omega^{\omega^2}×2}}\)
\([1\{0\}\{0\}0\{0\}\{0\}0]={\omega^{\omega^{\omega^2×2}}}\)
\([1\{0\}\{0\}\{0\}0]={\omega^{\omega^{\omega^3}}}\)
\([1\{1\}0]={\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}\)
\([1\{1\{1\{…\}0\}0\}0]={\varepsilon_0}\)
第３配列
\([1\{0\}0]={\psi_0({\Omega^{\omega}})}\)
\([1\{0\}1]={\psi_0({\Omega^{\omega}})}×{\omega}\)
\([1\{0\}1,0]={\psi_0({\Omega^{\omega}+1})}\)
\([2\{0\}0]={\psi_0({\Omega^{\omega}×2})}\)
\([1,0\{0\}0]={\psi_0({\Omega^{\omega+1}})}\)
\([1\{0\}0\{0\}0]={\psi_0({\Omega^{\omega×2}})}\)
\([1\{0\}\{0\}0]={\psi_0({\Omega^{\omega^2}})}\)
\([1\{0\}\{0\}1\{0\}0]={\psi_0({\Omega^{\omega^2}}+{\Omega^{\omega}})}\)
\([2\{0\}\{0\}0]={\psi_0({\Omega^{\omega^2}×2})}\)
\([1\{0\}0\{0\}\{0\}0]={\psi_0({\Omega^{\omega^2+{\omega}}})}\)
\([1\{0\}\{0\}0\{0\}\{0\}0]={\psi_0({\Omega^{\omega^2×2}})}\)
\([1\{0\}\{0\}\{0\}0]={\psi_0({\Omega^{\omega^3}})}\)
\([1\{1\}0]={\psi_0({\Omega^{\omega^{\omega}}})}\)
\([1\{[0]\}0]={\psi_0({\Omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}})}\)
\([1\{[1\{0\}0]\}0]={\psi_0({\Omega^{\psi_0({\Omega^{\omega}})}})}\)
\(\{0\}\)を\(\{\}\)内での対角化成分とする。
\([1\{\{0\}\}0]={\psi_0({\Omega^{\Omega}})}\)
\([1,0\{\{0\}\}0]={\psi_0({\Omega^{\Omega+1}})}\)
\([1\{\{0\}\}0\{\{0\}\}0]={\psi_0({\Omega^{\Omega×2}})}\)
\([1\{\{0\}\}\{0\}0]={\psi_0({\Omega^{\Omega×{\omega}}})}\)
\([1\{\{0\}\}\{\{0\}\}0]={\psi_0({\Omega^{\Omega^2}})}\)
\([1\{\{0\}1\}0]={\psi_0({\Omega^{\Omega^{\omega}}})}\)
\([1\{\{0\}\{0\}\}0]={\psi_0({\Omega^{\Omega^{\Omega}}})}\)
\([1\{\{0\}\{0\}\{0\}\}0]={\psi_0({\Omega^{\Omega^{\Omega^2}}})}\)
\([1\{\{1\}\}0]={\psi_0({\Omega^{\Omega^{\Omega^{\omega}}}})}\)
\([1\{\{\{0\}\}\}]={\psi_0({\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega}}}})}\)
\([1\{1,0\}0]={\psi_0({\psi_1(0)})}\)
\([1\{1,0,0\}0]={\psi_0({\psi_1({\Omega_2})})}\)
\(\{\}\)を\(\{\}_0\)と書き換え、\(\{\}_n\)内のセパレータを\(\{\}_{n+1}\)とする。
\([1\{1\{0\}_10\}_00]={\psi_0({\psi_1({\Omega_2^{\omega}})})}\)
\([1\{1\{1,0\}_10\}_00]={\psi_0({\psi_1({\psi_2(0)})})}\)
\([1\{1\{1\{…\}_20\}_10\}_00]={\psi_0({\Omega_{\omega}})}\)
第４配列
\({\psi}_0({\psi}_{I_{\omega}}(0))\)程度？
セパレータを使わない構造
「配列を伸ばす役割の要素」を追加することにより、同様の構造をネストセパレータなしで作ることができる。
定義を書きやすくなるが、強配列表記のような複雑な拡張には向かないと思われる。
例：第2配列
\([[0]]={\omega^{\omega^{\omega}}}\)
\([[0]1]={\omega^{\omega^{\omega}+1}}\)
\([[0]1,0]={\omega^{\omega^{\omega}+{\omega}}}\)
\([[0][0]]={\omega^{\omega^{\omega}×2}}\)
\([[1]]={\omega^{\omega^{\omega+1}}}\)
\([[1][0]]={\omega^{\omega^{\omega+1}+{\omega^{\omega}}}}\)
\([[1][1]]={\omega^{\omega^{\omega+1}×2}}\)
\([[2]]={\omega^{\omega^{\omega+2}}}\)
\([[1,0]]={\omega^{\omega^{\omega×2}}}\)
\([[1,1]]={\omega^{\omega^{\omega×2+1}}}\)
\([[2,0]]={\omega^{\omega^{\omega×3}}}\)
\([[1,0,0]]={\omega^{\omega^{\omega^2}}}\)
\([[[0]]]={\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}\)
例：第３配列
\([[0]_1]_0={\psi_0({\Omega^{\omega}})}\)
\([[0]_11]_0={\psi_0({\Omega^{\omega}})×{\omega}}\)
\([[0]_11,0]_0={\psi_0({\Omega^{\omega}+1})}\)
\([[0]_1[0]_1]_0={\psi_0({\Omega^{\omega}×2})}\)
\([[1]_1]_0={\psi_0({\Omega^{\omega}×{\omega}})}\)
\([[[[0]_1]_0]_1]_0={\psi_0({\Omega^{\omega}×{\psi_0({\Omega^{\omega}})}})}\)
\([[[0]_1]_1]_0={\psi_0({\Omega^{\omega+1}})}\)
\([[[0]_1[0]_1]_1]_0={\psi_0({\Omega^{\omega+2}})}\)
\([[[1]_1]_1]_0={\psi_0({\Omega^{\omega×2}})}\)
\([[[[0]_1]_1]_1]_0={\psi_0({\Omega^{\Omega}})}\)
\([[1,0]_1]_0={\psi_0({\psi_1(0)})}\)
小拡張第3配列システム
概要
上記のものより弱い第3配列の拡張。東方巨大数1で出したやつ。
表記
- 係数構造＋結合構造＋配列構造＋ネスト構造＋有限レベル構造
※レベル\(n\)の配列の要素は非負整数、レベル0の配列、レベル\(n+1\)の配列のみとする。
- NOF型(F="\(L_3\)")
計算法
- \(n\):変数
- \(a,b\):非負整数
- \(□,□^1,□^2,□^3,□^4\):0個以上の要素
- \(■\):角括弧で閉じられた1個以上の要素
- \(Z,Z^1,Z^2,Z^3,Z^4\):0個以上の0
- \(\{＿\}_a\):1重以上のレベル\(a\)の配列
(1)\(nL_31=n+1\)
(2)\(nL_3■(a+1)=(n+1)L_3■a\)
(3)\(■0=■\) ※適用可能な全ての式に同時に適用する。
・(1)(2)(3)が適用できない場合、右端から左端に向かって「自然数」と「0以外の要素を持たない配列」を探し、
最初の見つかったものに対して以下のルールを適用する。
(4)\([Z]_0=n\)
(5)\([□[Z^1]_{a+1},Z^2]=[□1,0,...(n個の0)...,0]_a\)
(6)\([a+1]_b=[a]_b(n個の[a]_b)[a]_b\)
(7)\([□\{□^1...\{□^2a+1,0,Z^2\}_b...,Z^1\},Z]=f^n(0)\)
\(f(k)=[□\{□^1...\{□^2a,k,Z^2\}_b...,Z^1\},Z]\)
評価
第3配列システム\(=nL_3[[0]_1]_0\)
\(nL_3[[...[0]_n...]_1]_0\approx f_{\psi_0({\varepsilon_{\Omega+1}})}(n)\)