これは私の古い表記法である賢さのOCFの更新です。メタ巧妙さのレベルに到達するために関与する枢機卿のサイズを拡大しただけでなく、反射構成とインスタンスの微細構造も刷新しました。古いバージョンの定義はここにあります： [1].
意味[]
微妙な枢機卿の存在によって増強された\(\textsf{ZFC}\)で作業しましょう。これは、うまくいけば、十分な条件です。
定義1.1 以下の定義は同時であることに注意してください。
算術項を定義します。そのセットは\(\mathfrak{T}\)で表され、巧妙なエンコーディングも定義されます。そのセットは\(\mathrm{ME}\)で表され、次のような特定の順序タプルとして定義されます。
- すべての\((a,c,b) \in (\mathfrak{T} \cup \mathrm {Ord} \backslash \{0\})^2 \times \mathrm{Ord}\)、\((a,b,c) \in \mathfrak{T}\)
- \(\emptyset \in \mathrm{ME}\)
- いくつかの\(t \in \mathfrak{T}\)と有限関数\(\vec{\mathbb{A}}\)の場合\(: \mathbb{N} \to \textrm{ME}\)、\(\mathbb{X} \in \mathrm{ME}\)および\(\alpha \in \mathrm{Ord}\)、\((\vec{\mathbb{A}}, t, \mathbb{X}, \alpha)\in \mathrm{ME}\)
\((\emptyset, t, \mathbb{X}, \alpha)\)を\((t, \mathbb{X}, \alpha)\)と省略します。
\(\mathbb{X} \in \mathrm{ME}\)の場合、\(V \mathbb{X} \in \mathcal{P}(\textrm{Ord})\)を次のように定義します。
- \(V\emptyset = \emptyset\)。
- \(V(\vec{\mathbb{A}}, t, \mathbb{X}, \alpha)=（\bigcup \limits_{\mathbb{Y} \in \textrm{ran}(\vec{\mathbb{A}})} V \mathbb{Y})\cup V\mathbb {X} \cup \{\alpha\}\)
セット\(C(\alpha, \beta)\)を、再帰を介して\(\beta \cup \{0\} \cup \{\Sigma^t: t \in \mathfrak{T}\}\)のクロージャとして定義します。 \((\delta, \eta)\mapsto \delta + \eta)\)、\((\delta \mapsto \omega^\delta)\)、\((\delta \mapsto \delta^+)\)、\(((\kappa, \mathbb{X}, \delta)\mapsto \Psi_\kappa^{\mathbb{X}}(\delta))_{\mathbb{X} \bar{\in} \delta \in \alpha}\)および\((\mathbb{X} \mapsto \mathcal{N}(\mathbb{X}))\)。
これは、次のプロセスを介して帰納的に定義することもできます。
\(\begin{array}{ll} C_0(\alpha, \beta)= \beta \cup \{0\} \cup \{\Sigma^t: t \in \mathfrak{T}\} \\ \\ C_{n + 1}(\alpha, \beta) = \{\delta + \eta, \omega^\delta, \delta^+, \Psi_\kappa^{\mathbb{X}}(\mu), \mathcal{N}(\mathbb{X}): \delta, \eta, \mu, \kappa \in C_n(\alpha, \beta)\land \mathbb{X}\bar {\in} \mu \in \alpha \land \mathbb{X} \in C_n(\alpha, \beta)\} \\ \\ C(\alpha, \beta) = \bigcup \limits_{n \in \omega} C_n(\alpha, \beta)\end{array}\)
表記 \(C(\alpha, \Psi_\kappa^{\mathbb{X}}(\alpha))\)を\(C_\kappa^{\mathbb{X}}(\alpha)\)と省略します。セット\(X\)の場合、\(V \mathbb{X} \subset X\)を\(\mathbb{X} \in X\)と省略し、\(V \mathbb{X} \subseteq X\)を\(\mathbb{X} \bar{\in} X\)。
また、\(C\)に沿った関数の反復を定義します。 \(f: \mathcal{P}(\textrm{Ord})\to \mathcal{P}(\textrm{Ord})\)とし、\(f^\alpha(X)\)を\(f^\alpha(X) = \{\pi \in X: \forall \xi \in C(\alpha, \pi) \cap \alpha (\pi \in f(f^\xi(X)))\}\}\)。
いくつかの\(t \in \mathfrak {T} \cup \mathrm {Ord} \)が与えられると、\(f_t: \mathrm{Ord} \to \mathrm{Ord}\)を次のように定義された関数とします。
- \(t \in \mathrm{Ord}\)の場合、\(f_t(\alpha) = t\)。
- そうしないと、\(t = (a, b, c)\)を設定します。
- 次に、序数\(\alpha\)の場合、\(f_t(\alpha) = \alpha^{f_a(\alpha)} \times b + f_c(\alpha)\)。ここで、\(\times\)は、デカルト積ではなく序数乗算を示します。
\(X \in \mathcal{P}(\mathrm{Ord})\)および\(t \in \mathfrak{T}\)の場合、\(\mathrm{Shr}(t, X)\)を次のように定義します。それで：
- 関数\(f: \mathrm{Ord} \to \mathrm{Ord}\)とクラス\(X\)の場合、枢機卿\(\kappa\)は\(f \)と呼ばれます-\(X\)iff、すべての式に対して\(\varphi\)および\(A \subseteq V_\kappa\) with \((V_{\kappa + f(\kappa)}, \in, A) \vDash \varphi\)、\((V_{\alpha + \lambda}, \in, A \cap V_\alpha) \vDash \varphi\)を含む\(\alpha, \lambda \in X \cap \kappa\)が存在します
- 次に、\(\mathrm{Shr}(t, X)\)は、\(f_t\)-\(X\)に押し込まれた枢機卿のクラスです。
\(\mathrm{Shr}(t, X)\)の最小要素は\(\Sigma^t\)で示されます。以前は定義せずに見ましたが、定義を同時に読めば大丈夫です。
\(\mathbb{X} \in \textrm{ME}\)の場合、クラス\(\mathfrak{H}(\mathbb{X}, C)\subseteq C\)を次のように再帰的に定義します。
- \(\mathfrak{H}(\emptyset, C) = C\)
- \(\mathfrak{H}((\vec{\mathbb{A}}, t, \mathbb{Y}, \alpha), C) = (\lambda X.\mathrm{Shr}(t,X) \cap \\(\bigcap \limits_{x \in \textrm{ran}（\vec{\mathbb{A}})} \mathfrak{H}(x, X)))^\alpha(\mathfrak{H}(\mathbb{Y},C))\) \(\vec {\mathbb{A}}\)が空でない場合。
- \(\mathfrak{H}((t, \mathbb{Y}, \alpha), C) = (\lambda X.\mathrm{Shr}(t,X))^\alpha(\mathfrak{H}(\mathbb{Y},C))\)
備考 マップ\((X \mapsto \mathfrak{H}(\mathbb{X}, X))\)は間引き演算子であり、間引きは\(\mathbb{X}\)によって決定されることに注意してください。
それで、\(\mathcal{N}(\mathbb{X}) = \min(\mathfrak{H}(\mathbb{X},\textrm{Ord}))\). 次に、階層を間引くを定義します\(\mathfrak{M}_\kappa^{\mathbb{X}}(\alpha)\)次のように：
- \(\mathfrak{M}_\kappa^\emptyset(\alpha) = \{\gamma: \sup(C(\alpha, \gamma) \cap \kappa) = \gamma\}\)
- \(\mathfrak{M}_\kappa^{(\vec{\mathbb{A}}, n, \mathbb{Y}, \beta)}(\alpha) = \mathfrak{M}_\kappa^{\emptyset}(\alpha) \cap \mathfrak{H}((\vec{\mathbb{A}}, n, \mathbb{Y}, \beta), \textrm{Ord})\)
\(\Psi_\kappa^{\mathbb{X}}(\alpha)\)は\(\mathfrak{M}_\kappa^{\mathbb{X}}(\alpha)\)の最小要素を示します。
ここで、定義が完了しました。