弱ωマーロ基数についてのメモ
\(
\newcommand\Lim{\textrm{Lim}}
\)
アドバイスをくれたみずどらさんに感謝します。
以下添字つきLim記法使用
証明がない部分の確実性は怪しいことに注意。
- 1 メモ
- 1.1 club集合
- 1.2 定常集合
- 1.3 弱マーロ基数
- 1.4 弱ωマーロ基数
- 1.5 \(M(M^{\leftarrow\o}(\On))\)
- 1.6 弱マーロと横ネスト
- 2 考察
- 2.1 疑問1
- 2.2 疑問2
- 2.3 疑問3
- 2.3.1 疑問3.1
- 2.3.2 疑問3.2
\(S\)が極限順序数\(\a\)のclub集合であるとは、以下のすべてを満たすということである:
- \(S \subset \a\)
- \(S\)は\(\a\)の閉集合、すなわち空でない任意の部分集合\(S' \subset S\)に対し、\(\sup_{\b \in S'}\b = \sup S' < \a \rightarrow \sup S' \in S\)が成り立つ。
- \(S\)は\(\a\)で非有界、すなわち任意の\(\b \in S\)に対し、\(\b \in \g\)を満たす\(\g \in S\)が存在する。
\(S\)が極限順序数\(\a\)の定常集合であるとは、\(S\)が\(\a\)の任意のclub集合と交わるということである。
\(\k\)が弱マーロ基数であるとは、以下のすべてを満たすということである:
- \(\k\)は弱到達不能基数である。
- \(\k\)未満の弱到達不能基数のなす部分集合が、\(\k\)の定常集合となる。
最小の弱ωマーロ基数を\(\mathbb{M}\)とおく。
\(\mathbb{M}\)は、任意の\(n \in \o\)に対し、\(\mathbb{M}\)未満の弱\(n\)マーロ基数全体のなす部分集合が\(\mathbb{M}\…
自作したψ関数の定義の書き直し
\(
\newcommand\t{\theta}
\newcommand\code[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand\add{\textrm{add}}
\newcommand\ap{\textrm{ap}}
\newcommand\lim{\textrm{lim}}
\newcommand\col{\textrm{col}}
\newcommand\Inacc{\textrm{Inacc}}
\newcommand\P{\Psi}
\newcommand\T{\Theta}
\)
- 1 メモ
- 2 動機
- 3 概要
- 4 共通定義
- 4.1 \(\p\)コード
- 4.2 コード読み取り関数
- 4.3 加法
- 4.4 APの基本列
- 4.5 崩壊の基本列
- 5 KBHψ関数改
- 5.1 \(\p\)コード
- 5.2 全体集合
- 5.3 順序
- 5.4 コード読み取り関数と共終数
- 5.5 基本列
- 5.6 限界関数
- 5.7 標準形
- 6 到達不能ψ関数改
- 6.1 \(\p\)コード
- 6.2 全体集合
- 6.3 順序
- 6.4 コード読み取り関数と共終数
- 6.5 基本列
- 6.6 限界関数
- 6.7 標準形
- 7 弱マーロBHψ関数
- 7.1 \(\p\)コード
- 7.2 全体集合
- 7.3 順序
- 7.4 コード読み取り関数と共終数
- 7.5 基本列
- 7.6 限界関数
- 7.7 標準形
- 8 弱マーロψ関数
- 8.1 \(\p\)コード
- 8.2 全体集合
- 8.3 順序
- 8.4 コード読み取り関数と共終数
- 8.5 基本列
- 8.6 限界関数
- 8.7 標準形
- 9 1-MFPψ関数
- 9.1 \(\p\)コード
- 9.2 全体集合
- 9.3 順序
- 9.4 コード読み取り関数と共終数
- 9.5 基本列
- 9.6 限界関数
- 9.7 標準形
- 10 n-MFPψ関数
- 10.1 変数の個数
- 10.2 \(\p\)コード
- 10.3 全体集合
- 10.4 順序
- 10.5 正則になる対象
- 10.6 コード読み取り関数と共終数
- 10.7 基本列
- 10.8 限界関数
- 10.9 標準…
ψコードを用いて拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記の基本列系を決定する
\(
\newcommand\add{\textrm{add}}
\newcommand\Trans{\textrm{Trans}}
\)
- 1 動機
- 2 Buchholz式コードψ関数
- 2.1 \(\p\)コード
- 2.2 全体集合
- 2.3 順序
- 2.4 加法
- 2.5 コード読み取り関数と共終数
- 2.6 基本列
- 3 Rathjen式コードψ関数
- 3.1 \(\p\)コード
- 3.2 全体集合
- 3.3 順序
- 3.4 加法
- 3.5 コード読み取り関数と共終数
- 3.6 基本列
- 4 備考
- 4.1 順序数との対応
- 4.2 \(\mathbf{b}_0 = N\)としている理由
- 4.3 既存の表記との関係
- 4.4 \(\p\)コードの拡張
- 5 参考文献
高階記述不可能性の崩壊では、許容パラメータ\((i,j)\)で崩壊対象と崩壊先を表す超限引数の制限を決定している。
また、2種類の閉点による多変数配列の分類や3種類の閉点による多変数配列の分類では、\(\p\)コードを用いて、どの変数がどんな種類の閉点を数え上げるかを一般化して表している。
これらに触発された筆者は
「\(\p\)コードの文字の種類を増やせば、閉点以外も表せる」
「そうすれば、崩壊やAPや極限の処理を\(\p\)コードで決定できる」
「ならば\(\p\)コードで拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記の基本列系を決定するようにすれば、拡張性・可読性に優れた表記ができるはず」
という案を思いついた。
本記事では、上の案を元に
- 拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記に、\(\p\)コードを組み込んだ表記(Buchholz式コードψ関数)
- 1.の表記を\(\textrm{Rathjen's}\p\)の形式にした表記(Rathjen式コードψ関数)
の2つの表記を作成した。
この2つの表記は、「共終数とそれに対応する\(\p\)コードで…
FNOCF Ver.Hyper-Mahloの解析(途中で詰まりました)
\( \newcommand\P{\Psi} \newcommand\T{\Theta} \newcommand\blue[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\PO{\Psi_1(0)} \)
FNOCF Ver.Hyper-Mahloの解析です。他の順序数崩壊関数や表記との比較の期待を書いていきます。証明はありませんので間違っている可能性は高いです。
\((\a_0,\b_0,\a_1,\b_1,\dots,\a_n,\b_n) \in \textrm{On}^{n\times 2} ~ (n < \o)\)に対し、 \(\P_{\dots_{\P_{\P_{T}^{\a_0}(\b_0)}^{\a_1}(\b_1)}\dots}^{\a_n}(\b_n)\)を \(\P_{\a_0}(\b_0)_{\a_1}(\b_1)\dots_{\a_n}(\b_n)\)と略記する。
ブーフホルツの\(\p\)と違って序盤から不規則な動きをしますのでご注意ください。