偽BEAF(L空間)

\( \newcommand\a{\alpha} \newcommand\b{\beta} \newcommand\g{\gamma} \newcommand\ar{~\&~} \newcommand\N{\mathbb{N}} \) BEAF(L空間)に似たナニカです。

配列

正整数全体の集合を\(\N\)とおく。

• \(b,\b_0,\dots,\b_k\in\N~(k\in\N\cup\{0\})\)かつ\(\a_0,\dots,\a_k\in TS\)なら、\(\{b(\a_0)\b_0\dots(\a_k)\b_k\}\)は配列である。
• \(\a_0,\dots,\a_k\in TS\)かつ\(\b_0,\dots,\b_k\in S~(k\in\N\cup\{0\})\)なら、\(\{X(\a_0)\b_0\dots(\a_k)\b_k\}\)は配列である。

配列全体の集合を\(AR\)とおく。

基数

配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に対し、\(b\)を\(\a\)の基数とする。

プライム

配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に対し、プライムを以下で定める。

1. もし\(\a_{10}=0\)ならば、プライムは\(\a_0\)である。
2. もし\(\a_{10}\neq 0\)ならば、プライムは\(1\)である。

パイロット

配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に対し、パイロットを以下で定める。

1. もし\(\a_n\neq 1~(n\leq k)\)がプライムでなければ、パイロットは\(\a_n\)である。
2. そうでなければ、パイロットは存在しない。

副操縦士

配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に対し、副操縦士を以下で定める。

1. もしパイロット\(\a_n\)が存在するかつ\(\a_{1n}=0\)ならば、副操縦士は\(\a_{n-1}\)である。
2. そうでなければ、副操縦士は存在しない。

乗客

配列\(\a=\{b(\a_{10})\a_0\dots(\a_{1k})\a_k\}\)に対し、乗客を以下で定める。

1. ここでパイロット\(\a_n\)が存在するとする。
   1. もし副操縦士\(\a_m\)が存在するならば、乗客は基数または\(\a_l~(l\lt m)\)である。
   2. もし副操縦士が存在しないならば、乗客は基数または\(\a_l~(l\lt n)\)である。

変換写像

写像

\begin{eqnarray} C:AR\times\{0,1,2,3\}\times(S\cup\N)&\rightarrow& AR\\ (\a,n,\b)&\mapsto& C(\a,n,\b) \end{eqnarray}

を以下で定める。ただし、プライムを\(p\)とする。

1. もし\(n=0\)ならば、\(C(\a,n,\b)\)は\(\a\)のプライムを\(\b\)に置き換えた配列である。
2. もし\(n=1\)ならば、\(C(\a,n,\b)\)は\(\a\)のパイロットを\(\b\)に置き換えた配列である。
3. もし\(n=2\)かつ\(\a\)の副操縦士が存在するならば、\(C(\a,n,\b)\)は\(\a\)の副操縦士を\(\b\)に置き換えた配列である。
4. もし\(n=3\)かつ\(\b\in\N\cup\{X\}\land p\in\N\)ならば、\(C(\a,n,\b)\)は\(\a\)の基数以外のすべての乗客\(\a_l\)を\(\a_{1l}\ar\b[p]\)に置き換えた配列である。

展開写像

写像

\begin{eqnarray} u:AR&\rightarrow&\N\cup S\\ \a&\mapsto&u(\a) \end{eqnarray}

を以下で定める。ただし、\(\a\)のプライムおよびパイロットは正整数または後続構造である。
\(\a\)の基数を\(b\)、プライムを\(pr\)、パイロットを\(pi\)、副操縦士(もしいれば)を\(c\)とする。

1. もしパイロットが存在しなければ、\(u(\a)=b^p\)である。
2. もし\(p=1\)ならば、\(u(\a)=b\)である。
3. 上記すべてに当てはまらなければ、
   1. もし副操縦士が存在するならば、\(u(\a)=C(C(C(\a,1,P(pi)),2,C(\a,0,P(pr))),3,b)\)である。
   2. もし副操縦士が存在しないならば、\(u(\a)=C(C(\a,1,P(pi)),3,b)\)である。

構造

• \(\a\in\N\cup\{0\}\)なら、\(\a\)は構造である。
• \(\a\)が\(0\)以外の構造なら、\(X^\a\)は構造である。
• \(\a\)が構造なら、\(\a~\&~X^1\)は構造である。
• \(\a\)が配列かつ基数が\(X^1\)なら、\(\a\)は構造である。
• \(\a_0,\dots,\a_k~(0\lt k\lt\infty)\)が構造なら、\(\a+\dots+\a_k\)は構造である。
• \(\a\)が後続構造であるとは、\(\a=1\)または\(\a=\a_0+1\)を満たす構造\(\a_0\)が存在することである。
• \(\a\)が極限構造であるとは、\(\a\)は\(0\)でも後続構造でもないことである。
• \(\a\)が単構造であるとは、\(\a=\a_0+\a_1\)を満たす構造\(\a_0,\a_1\)が存在しないことである。

2以上の正整数\(n\)と構造\(\a\notin\N\)に対し\(\underbrace{\a+\dots+\a}_{\a\text{が}n\text{個}}\)を\(n\a\)と略記し、
\(X^1\)を\(X\)と略記する。

構造全体の集合を\(S\)とし、
後続構造全体の集合を\(SS\)とし、
極限構造全体の集合を\(LS\)とし、
単構造全体の集合を\(TS\)とする。

前置

写像

\begin{eqnarray} P:\N\cup SS&\rightarrow&\N\cup S\\ \a&\mapsto&P(\a) \end{eqnarray}

を以下で定める。

1. もし\(\a\in\N\setminus\{1\}\)ならば、\(P(\a)=\a-1\)である。
2. ここで\(\a\in SS\)とする。
   1. もし\(\a=1\)ならば、\(P(\a)=0\)である。
   2. もし\(\a\neq 1\)ならば、\(P(\a)\)は\(\a=\a_0+1\)を満たす\(\a_0\in S\)である。

配列次元演算子

写像

\begin{eqnarray} \&:S\times(\N\cup{X}) &\rightarrow& S\cup\N\\ (\a,\b)&\mapsto& \a\ar\b \end{eqnarray}

を以下のように定める。

1. もし\(\a=0\)ならば、\(\a\ar\b=1\)である。
2. もし\(\a=1\)ならば、\(\a\ar\b=\b\)である。
3. もし\(\a=\a_0+\a_1~(\a_0\in S\land\a_1\in TS)\)ならば、\(\a\ar\b=\{\a_0\ar\b(\a_0)\a_1\ar\b\}\)である。
4. もし\(\a\in TS\land\b\in\N\)ならば、\(\a\ar\b=\a[\b]\ar\b\)である。

写像

\begin{eqnarray} \&[]:S\times\N\times\N &\rightarrow& S\cup\N\\ (\a,b,p)&\mapsto& \a\ar b[p] \end{eqnarray}

を以下のように定める。

1. もし\(\a=0\)ならば、\(\a\ar b[p]=1\)である。
2. もし\(\a=1\)ならば、\(\a\ar b[p]=b\)である。
3. もし\(\a=\a_0+\a_1~(\a_0\in S\land\a_1\in TS)\)ならば、\(\a\ar b[p]=\{\a_0\ar b[p](\a_0)\a_1\ar b[p]\}\)である。
4. もし\(\a\in TS\)ならば、\(\a\ar b[p]=\a[p]\ar b\)である。

プライムブロック

構造\(X^\a\)と正整数\(p\)に対し、プライムブロック\(X^\a[p]\)を以下で定める。

1. もし\(\a=1\)ならば、\(X^\a[p]=p\)である。
2. もし\(\a\in SS\)ならば、\(X^\a[p]=p(X^{P(\a)})\)である。
3. もし\(\a\in LS\)ならば、\(X^\a[p]=X^{\a[p]}\)である。

配列\(\a=\{X(\a_0)\b_0\dots(\a_k)\b_k\}\)と正整数\(p\)に対し、プライムブロック\(\a[p]\)を以下で定める。
ただし、プライムを\(pr\)、パイロットを\(pi\)とする。

1. もしプライムが極限構造ならば、\(\a[p]=C(\a,0,pr[p])\)である。
2. 1.が当てはまらないかつパイロットが極限構造ならば、\(\a[p]=C(\a,1,pi[p])\)である。
3. 上記すべてが当てはまらないならば、\(\a[p]=u(\a)\)である。

構造\(\a\ar X\)と正整数\(p\)に対し、プライムブロック\((\a\ar X)[p]\)を以下で定める。

1. もし\(\a\in LS\)ならば、\((\a\ar X)[p]=\a[p]\ar X\)である。