\( \newcommand\a{\alpha} \newcommand\b{\beta} \newcommand\g{\gamma} \newcommand\z{\zeta} \newcommand\x{\xi} \newcommand\k{\kappa} \newcommand\On{\text{On}} \newcommand\Reg{\text{Reg}} \newcommand\AP{\text{AP}} \newcommand\p{\psi} \newcommand\o{\omega} \newcommand\O{\Omega} \newcommand\vp{\varphi} \newcommand\G{\Gamma} \newcommand\I{\mathbb{I}} \newcommand\red[1]{\color{red}{#1}} \)
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前置き[]
このブログを読む前に、
EBO以上の順序数の解説 (6.1) イェーガー・ブーフホルツのψ関数の改造 (1)
EBO以上の順序数の解説 (6.2) イェーガー・ブーフホルツのψ関数の改造 (2)
を読んでおくことをおすすめします。
改改造したイェーガー・ブーフホルツのψ関数を強くする[]
まず、前回の改改造したイェーガー・ブーフホルツのψ関数の定義を再掲します。
関数\(S\)と集合\(Cl_\k\)と関数\(\p_\k\)を以下で定義する。
\begin{eqnarray} S(\g) &:=& \begin{cases} \{\g_0,\dots,\g_n\} & ( \g = \g_0 + \dots + \g_n \land n \in \o \land \g_0 \geq \dots \geq \g_n \land \g_0,\dots,\g_n \in \AP ) \\ \{\a,\b\} & ( \g = \vp_\a(\b) \land \a,\b < \g ) \end{cases} \\[5pt] Cl_\k^0(\a) &:=& \begin{cases} \{0,\I\} & ( \k = \I ) \\ \O_\a \cup \{\O_\a,\I\} & ( \k = \O_{\a + 1} ) \end{cases} \\ Cl_\k^{n + 1}(\a) &:=& \{\g \mid S(\g) \subseteq Cl_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{\O_\x \mid \x \in Cl_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{\g \mid \g < \pi < \k \land \pi \in Cl_\k^n(\a) \cap \Reg_\I\}\\ &&\cup \{\p_\pi(\x) \mid \pi,\x \in Cl_\k^n(\a) \land \x < \a \land \pi \in \Reg_\I\}\\ Cl_\k(\a) &:=& \bigcup_{n < \o}Cl_\k^n(\a)\\ \p_\k(\a) &:=& \min\{\x \in \On \mid \x \notin Cl_\k(\a)\} \end{eqnarray}
この関数は最小の弱到達不能基数までの基数を崩壊できます。
もちろん、2番目の弱到達不能基数を入れればさらに伸びます。
改改改造したイェーガー・ブーフホルツのψ関数[]
\(\red{\I_2}\)を2番目の弱到達不能基数とする。
\(\Reg_{\red{\I_2}}\)を\(\I_2\)未満の正則基数全体の集合とする。
クラス関数\(\p:\Reg_{\red{\I_2}} \times \On \rightarrow \On\)と\(\k \in \Reg_{\red{\I_2}}\)と順序数の集合\(Cl_\k(\a)\)を同時に以下で定義する。
\begin{eqnarray} Cl_\k^0(\a) &:=& \begin{cases} \{0,\I,\red{\I_2}\} & ( \k = \I ) \\ \O_\a \cup \{\O_\a,\I,\red{\I_2}\} & ( \k = \O_{\a + 1} ) \end{cases} \\ Cl_\k^{n + 1}(\a) &:=& \{\g \mid S(\g) \subseteq Cl_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{\O_\x \mid \x \in Cl_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{\g \mid \g < \pi < \k \land \pi \in Cl_\k^n(\a) \cap \Reg_{\red{\I_2}}\}\\ &&\cup \{\p_\pi(\x) \mid \pi,\x \in Cl_\k^n(\a) \land \x < \a \land \pi \in \Reg_{\red{\I_2}}\}\\ Cl_\k(\a) &:=& \bigcup_{n < \o}Cl_\k^n(\a)\\ \p_\k(\a) &:=& \min\{\x \in \On \mid \x \notin Cl_\k(\a)\} \end{eqnarray}
変更点を\(\red{\text{赤色}}\)で表示しています。
早速計算してみましょう!
計算[]
- \(\p_{\O_{\I + 1}}(0) = \G_{\I + 1}\)
- \(\p_{\O_{\I + 2}}(0) = \G_{\O_{\I + 1}}\)
- \(\p_{\O_{\O_{\I + 1} + 1}}(0) = \G_{\O_{\O_{\I + 1}}}\)
- \(\p_{\I_2}(0)\)は\(Cl_{\I_2}^0\)の定義がないのでなし
なんてこった、すぐに修正しなければ!
改改改造したイェーガー・ブーフホルツのψ関数(修正版)[]
\(\I_2\)を2番目の弱到達不能基数とする。
\(\Reg_{\I_2}\)を\(\I_2\)未満の正則基数全体の集合とする。
クラス関数\(\p:\Reg_{\I_2} \times \On \rightarrow \On\)と\(\k \in \Reg_{\I_2}\)と順序数の集合\(Cl_\k(\a)\)を同時に以下で定義する。
\begin{eqnarray} Cl_\k^0(\a) &:=& \begin{cases} \{0,\I,\I_2\} & ( \k = \I ) \\ \red{ \I \cup \{\I,\I_2\} } & \red{ ( \k = \I_2 ) }\\ \O_\a \cup \{\O_\a,\I,\I_2\} & ( \k = \O_{\a + 1} ) \end{cases} \\ Cl_\k^{n + 1}(\a) &:=& \{\g \mid S(\g) \subseteq Cl_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{\O_\x \mid \x \in Cl_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{\g \mid \g < \pi < \k \land \pi \in Cl_\k^n(\a) \cap \Reg_{\I_2}\}\\ &&\cup \{\p_\pi(\x) \mid \pi,\x \in Cl_\k^n(\a) \land \x < \a \land \pi \in \Reg_{\I_2}\}\\ Cl_\k(\a) &:=& \bigcup_{n < \o}Cl_\k^n(\a)\\ \p_\k(\a) &:=& \min\{\x \in \On \mid \x \notin Cl_\k(\a)\} \end{eqnarray}
変更点を\(\red{\text{赤色}}\)で表示しています。
- \(\p_{\I_2}(0) = \min\{\a \gt \I \mid \a = \O_\a\} \)
ふう、問題は解決しました。
もっと強くする[]
それなら大量の弱到達不能基数を追加すればokです。
ただし、どれだけの\(\I\)が追加されるかわからないので、\(\Reg\)の定義は変える必要があります。
改改改改造したイェーガー・ブーフホルツのψ関数[]
\(\red{I_\a}\)を\(\a\)番目の弱到達不能基数とする。
\(\red{\I}\)を\(\red{\a = I_\a}\)を満たす最小の非加算正則基数とする。
\(\red{R}\)を\(\red{\I}\)未満の正則基数全体の集合とする。
クラス関数\(\p:\red{R} \times \On \rightarrow \On\)と\(\k \in \red{R}\)と順序数の集合\(Cl_\k(\a)\)を同時に以下で定義する。
\begin{eqnarray} Cl_\k^0(\a) &:=& \begin{cases} \red{ I_\b \cup \{I_\b\} } & \red{ ( \k = I_{\b + 1} ) }\\ \red{ 1 } & \red{ ( \k = I_0 ) }\\ \O_\b \cup \{\O_\b\} & ( \k = \O_{\b + 1} ) \end{cases} \\ Cl_\k^{n + 1}(\a) &:=& \{\g \mid S(\g) \subseteq Cl_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{\O_\x \mid \x \in Cl_\k^n(\a)\}\\ &&\red{ \cup \{I_\x \mid \x \in Cl_\k^n(\a)\} }\\ &&\cup \{\g \mid \g < \pi < \k \land \pi \in Cl_\k^n(\a) \cap \red{R}\}\\ &&\cup \{\p_\pi(\x) \mid \pi,\x \in Cl_\k^n(\a) \land \x < \a \land \pi \in \red{R}\}\\ Cl_\k(\a) &:=& \bigcup_{n < \o}Cl_\k^n(\a)\\ \p_\k(\a) &:=& \min\{\x \in \On \mid \x \notin Cl_\k(\a)\} \end{eqnarray}
変更点を\(\red{\text{赤色}}\)で表示しています。
完成です!!!
計算[]
- \(\p_{\O_{I_2 + 1}}(0) = \G_{I_2 + 1}\)
- \(\p_{I_3}(0) = \min\{\a \gt I_2 \mid \a = \O_\a\}\)
- \(\p_{I_{\o + 1}}(0) = \min\{\a \gt I_\o \mid \a = \O_\a\}\)
この関数で表せない最小の順序数は\(\p_{\O_1}(\min\{\a \mid \a = I_\a\})\)となります。