\( \newcommand\a{\alpha} \newcommand\b{\beta} \newcommand\g{\gamma} \newcommand\z{\zeta} \newcommand\x{\xi} \newcommand\k{\kappa} \newcommand\On{\text{On}} \newcommand\Reg{\text{Reg}} \newcommand\p{\psi} \newcommand\o{\omega} \newcommand\O{\Omega} \newcommand\vp{\varphi} \newcommand\I{\mathbb{I}} \newcommand\blue[1]{\color{blue}{#1}} \newcommand\Enum{\text{Enum}} \)
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前置き
このブログを読む前に、EBO以上の順序数の解説 (7)と
EBO以上の順序数の解説 (6.3)を
読むことをおすすめします。
\(I\)関数を順序数崩壊関数に入れる
前回で\(I\)関数を作成したので、さっそく(6.3)で作成した関数を強くしましょう。
定義の変更
変更する場所は
\begin{eqnarray} Cl_\k^0(\a) &:=& \begin{cases} I_\b \cup \{I_\b\} & ( \k = I_{\b + 1} ) \\ 1 & ( \k = I_0 )\\ \O_\b \cup \{\O_\b\} & ( \k = \O_{\b + 1} ) \end{cases} \end{eqnarray}
ここです。
\(\O\)と\(I\)は、それぞれ\(I_0(\a)\)と\(I_1(\a)\)で置き換えられます。
\begin{eqnarray} Cl_\k^0(\a) &:=& \begin{cases} \blue{ I_1(\b) \cup \{I_1(\b)\} } & \blue{ ( \k = I_1(\b + 1) ) }\\ 1 & ( \k = I_\a(0) ~ (\a < 2) )\\ \blue{ I_0(\b) \cup \{I_0(\b)\} } & \blue{ ( \k = I_0(\b + 1) ) } \end{cases} \end{eqnarray}
(\(\k = \O_1 = I_0(0)\)の定義が異なりますが、\(\o\)はヴェブレン関数で追加されるので問題ありません)
\(\blue{\text{青色}}\)の場所が重複しているので、まとめましょう。
\begin{eqnarray} Cl_\k^0(\a) &:=& \begin{cases} 1 & ( \k = I_\a(0) ~ (\a < 2) )\\ I_\a(\b) \cup \{I_\a(\b)\} & ( \k = I_\a(\b + 1) ~ (\a < 2) ) \end{cases} \end{eqnarray}
あとは\(\a\)の制限を取っ払えば完了です。
\begin{eqnarray} Cl_\k^0(\a) &:=& \begin{cases} 1 & ( \k = I_\a(0) )\\ I_\a(\b) \cup \{I_\a(\b)\} & ( \k = I_\a(\b + 1) ) \end{cases} \end{eqnarray}
\(I_\a\)を\(Cl\)に加える
\begin{eqnarray} \{\O_\g \mid \g \in Cl_\k^n(\a)\} \end{eqnarray}
\(\O_\g\)を\(I_\x(\z)\)に変えましょう。
\begin{eqnarray} \{I_\x(\z) \mid \x,\z \in Cl_\k^n(\a)\} \end{eqnarray}
弱イェーガーのψ関数
最終的な定義は以下のようになります。
定義
\(\Reg\)を非可算正則基数全体の集合とする。
\(\Enum[X]\)を集合\(X\)の数え上げ関数とする。
\(cl(X) = X \cup \{\a \mid 0 \neq \a = \sup(X \cap \a)\}\)とする。
\(I_\a = \Enum[cl(\{\k \in \Reg \mid \forall\b < \a ~ (\k = I_\b(\k))\})]\)とする。
\(\I = \min\{\a \mid \a = I_\a(0)\}\)とする。
\(R = \Reg \cap \I\)とする。
\(\pi,\k \in R\)とする。
\(\a,\b,\g \in \I\)とする。
集合\(Cl\)と関数\(\p,S\)を同時に以下で定める。
\begin{eqnarray} S(\g) &:=& \begin{cases} \{\g_0,\dots,\g_n\} & ( \g = \g_0 + \dots + \g_n \land n \in \o \land \g_0 \geq \dots \geq \g_n \land \g_0,\dots,\g_n \in \text{AP} ) \\ \{\a,\b\} & ( \g = \vp_\a(\b) \land \a,\b < \g ) \end{cases} \\[5pt] Cl_\k^0(\a) &:=& \begin{cases} 1 & ( \k = I_\a(0) )\\ I_\a(\b) \cup \{I_\a(\b)\} & ( \k = I_\a(\b + 1) ) \end{cases} \\ Cl_\k^{n + 1}(\a) &:=& \{\g \mid S(\g) \subseteq Cl_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{I_\x(\z) \mid \x,\z \in Cl_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{\g \mid \g < \pi < \k \land \pi \in Cl_\k^n(\a)\}\\ &&\cup \{\p_\pi(\x) \mid \pi,\x \in Cl_\k^n(\a) \land \x < \a\}\\ Cl_\k(\a) &:=& \bigcup_{n < \o}Cl_\k^n(\a)\\ \p_\k(\a) &:=& \min\{\x \mid \x \notin Cl_\k(\a)\} \end{eqnarray}
完成です!!
この\(\p\)関数はイェーガーのψ関数と類似します(本家とは\(S(\g),Cl_\k^0(\a)\)の定義や\(\a\)の制限が異なります)。