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\(\beta\) を順序数とする。 \(\beta\) 以下の全ての順序数に対して基本列が定められているとする。また、 \(N\) を自然数全体の集合とする。\(m,n\) が自然数、 \(A\) が \(\beta\) 以下の順序数の有限個の配列、\(\alpha_{m}\) が配列 \(A\) のm番目の要素の時、写像 \(f:A\times N \rightarrow N\) , \((\alpha_{m},n) \mapsto f_{\alpha_{m}}(n)\) を弱ブーフホルツ急増加関数と呼び、以下に定義する。
非負整数 \(n,m,i,j\) について \(0\leqq i\leqq n, 1\leqq n \) とする。このとき \(\alpha_{i}\) を順序数とし、 \(x_{i}\) を非負整数とする。順序数 \(\alpha_{i}\) が極限順序数の時、その基本列の \(m\) 番目を \(\alpha_{i}[m]\) と書くことにする。また、順序数の有限個の配列 \(A\) は、関数fに対し以下のように定義される。
\[f_{\alpha_{0}}(f_{\alpha_{1}}(\cdots f_{\alpha_{n}}(x)\cdots))のときA=\{\alpha_{0},\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}\}\]
つまり、\(f_{\alpha}(x)\)の場合\(A=\{\alpha\}\)であり、\(f_{\alpha}^{\circ y}(x)\)の場合\(A=\{\alpha,\alpha,\cdots,\alpha\}\)、\([y個の\alpha]\)となる。関数が定義に沿って変形されるごとにAの要素は変形された関数に従って再格納される。つまり配列を与えれば関数の入れ子を与えたことになる。
- \(A=\{\alpha\}\)のとき(\(f_{\alpha}(x)\)のとき)
- \(\alpha=0\) のとき、 \(f_{\alpha}(x)=x+1\)。このとき\(A=\{\}\)となる。
- \(\alpha=\alpha'+1\) のとき( \(\alpha\) が後続順序数の時、 \(\alpha'\) を \(\alpha\) より小さい最大の順序数として) \(f_{\alpha}(x)=f_{\alpha'}(f_{\alpha+x}(x))\)。
- \(\alpha\) が極限順序数の時 \(f_{\alpha}(x)=f_{\alpha[x]}^{\circ x}(x)\)。
- \(A=\{\alpha_{0},\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}\}\) 、 \(1\leqq n\) のとき(\(f_{\alpha_{0}}(f_{\alpha_{1}}(\cdots f_{\alpha_{n}}(x)\cdots))\)のとき)
- \(\alpha_{n}=0\) のとき \(f_{\alpha_{0}}(f_{\alpha_{1}}(\cdots f_{\alpha_{n}}(x)\cdots))=f_{\alpha_{0}}(f_{\alpha_{1}}(\cdots f_{\alpha_{n-1}}(x+1)\cdots))\)
- \(\alpha_{n}=\alpha'+1\) のとき( \(\alpha_{n}\) が後続順序数の時、 \(\alpha'\) を \(\alpha_{n}\) より小さい最大の順序数として)
- \(\alpha_{j} \leqq \alpha_{n}\) である最大の \(j\) が \(0\leqq j\leqq n\) に存在する時、\(j+1\leqq k\leqq n-1\) 、 \(C(\:\bullet\:):=f_{\alpha_{j+1}}(\cdots f_{\alpha_{k}}(\cdots f_{\alpha_{n-1}}(f_{\alpha'}(\:\bullet\:))\cdots)\cdots)\) として、 \(f_{\alpha_{0}}(f_{\alpha_{1}}(\cdots f_{\alpha_{n}}(x)\cdots))=f_{\alpha_{0}}(f_{\alpha_{1}}(\cdots f_{\alpha'}(C(C(\cdots C(x)\cdots)))\cdots))\) 。ただし \(C(\:\bullet\:)\) は \(x\) 個。
- そのような \(j\) が存在しない時、\(0\leqq k\leqq n-1\) 、 \(C(\:\bullet\:):=f_{\alpha_{0}}(\cdots f_{\alpha_{k}}(\cdots f_{\alpha_{n-1}}(f_{\alpha'}(\:\bullet\:))\cdots)\cdots)\) として、 \(f_{\alpha_{0}}(f_{\alpha_{1}}(\cdots f_{\alpha_{n}}(x)\cdots))=f_{\alpha_{0}}(f_{\alpha_{1}}(\cdots f_{\alpha'}(C(C(\cdots C(x)\cdots)))\cdots))\) 。ただし \(C(\:\bullet\:)\) は \(x\) 個。
- \(\alpha_{n}\) が極限順序数の時 \(f_{\alpha_{0}}(f_{\alpha_{1}}(\cdots f_{\alpha_{n}}(x)\cdots))=f_{\alpha_{0}}(f_{\alpha_{1}}(\cdots f_{\alpha_{n}[x]}(x)\cdots))\) 。
期待[]
もしwell-definedだったら、基本列が同じという条件下かつ十分大きなnについて、急増加関数 \(FGH_{\omega^{\omega^{...^{\omega}}}}(n)[n個の\omega]\)と \(f_{\omega}(n)\) が同じぐらいになるといいな......