(2021-11-28) 到達不能基数を数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数

限界を超えるためには限界を知らなければならない。

私は順序数崩壊関数の定義における自身の限界にチャレンジすることにした。

名前

到達不能基数を数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数である。

Simple Ordinal Collapsing Functions with Multivariate Functions for counting Inaccessible Cardinals である。

SOCFwMFfcIC である。

定義

体系

\( \mathsf{MK} \) の上で作業をする。

集合のクラス

\( \mathrm{Set} \) を集合のクラスとする。

順序数のクラス

\( \mathrm{On} \) を順序数のクラスとする。

正則基数のクラス

\( \mathrm{Reg} \) を次のように定義する。 \( \omega \in \mathrm{Reg} \) であることに注意してもらいたい。

\[ \alpha \in \mathrm{Reg} = \textrm{\( \alpha \) is infinite} \land \textrm{\( \alpha \) is regular} \]

有限個の直積

\( n \in \mathbb{N} \) に対して \( { A } ^ { n } \) を \( n \) 個の \( A \) の直積とする。

その要素は \( \mathord{\left[ { x } _ { 2 }, { x } _ { 1 }, { x } _ { 0 } \right]} \) という風に書くことにする。

\( { A } ^ { m } \) と \( { A } ^ { n } \) を結合して \( { A } ^ { m + n } \) とする演算子を \( \_ \frown \_ \) と書くことにする。

\( { A } ^ { \_ < \omega } \) を \( \bigcup _ { n \in \mathbb{N} } { A } ^ { n } \) とする。

\( { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \) のインデックシングを次のように定義する。

\[ a \mathord{\left[ n \right]} = \begin{cases} 0 & \mathord{\left( 0 = n \land \mathord{\left[ \right]} = a \right)} \\ { a } _ { p } & \mathord{\left( 0 = n \land { a } _ { s } \frown \mathord{\left[ { a } _ { p } \right]} = a \right)} \\ 0 & \mathord{\left( { n } _ { p } + 1 = n \land \mathord{\left[ \right]} = a \right)} \\ { a } _ { s } \mathord{\left[ { n } _ { p } \right]} & \mathord{\left( { n } _ { p } + 1 = n \land { a } _ { s } \frown \mathord{\left[ { a } _ { p } \right]} = a \right)} \\ \end{cases} \]

\( { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \) の上の整礎関係を次のように定義する。

\[ a \prec b = \exists \mathord{\left( n \in \omega \right)} \ldotp \forall \mathord{\left( x \in \omega \right)} \ldotp \mathord{\left( x > n \rightarrow a \mathord{\left[ x \right]} = b \mathord{\left[ x \right]} \right)} \land \mathord{\left( x = n \rightarrow a \mathord{\left[ x \right]} < b \mathord{\left[ x \right]} \right)} \]

到達不能基数を数え上げる多変数関数

\( B \colon \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{Set} \) と \( \mathbf{I} \colon { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) を相互再帰により定義する。

\( B \) 関数は次の条件を満たす最小の集合である。

• 土台
  • \( \xi \in \beta \rightarrow \xi \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \)
• 加法
  • \( 0 \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \)
  • \( \xi \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \land \zeta \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \rightarrow \mathord{\left( \xi + \zeta \right)} \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \)
• 増大関数
  • \( 1 \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \)
• 再帰
  • \( x \in { B \mathord{\left( a, \beta \right)} } ^ { _ < \mathrm{On} } \land \xi \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \land x \prec a \rightarrow \mathrm{I} \mathord{\left( x \right)} \mathord{\left( \xi \right)} \in B \mathord{\left( a, \beta \right)} \)

\( \mathbf{I} \) 関数は次のように定義される。

\[ \mathrm{I} \mathord{\left( a \right)} \mathord{\left( \alpha \right)} = \mathrm{Enum} \mathord{\left( \mathrm{cl} \mathord{\left( \mathrm{Reg} \cap \mathord{\left( \mathord{\{ \omega \}} \cup \mathord{\left\{ \xi \in \mathrm{On} \mathrel{\left|\rule{0em}{1.0ex}\right.} B \mathord{\left( a, \xi \right)} \subseteq \xi \right\}} \right)} \right)} \right)} \mathord{\left( \alpha \right)} \]

公理

\( \mathbf{I} \) が全域関数であることを公理とする。

順序数崩壊関数

\( C \colon \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{Set} \) と \( \psi \colon \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) を相互再帰により定義する。

\( C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} \) は次の条件を満たす最小の集合である。

1. 土台
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow \xi \in C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} \)
2. 加法
   1. \( 0 \in C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} \)
   2. \( \xi \in C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} \land \zeta \in C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} \rightarrow \mathord{\left( \xi + \zeta \right)} \in C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} \)
3. 増大関数
   1. \( 1 \in C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} \)
4. 崩壊対象
   1. \( \xi \in { C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} } ^ { \_ < \omega } \land \zeta \in C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} \rightarrow \mathbf{I} \mathord{\left( \xi \right)} \mathord{\left( \zeta \right)} \in C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} \)
5. 再帰
   1. \( \xi \in C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} \land \mu \in C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \mathord{\left( \xi \right)} \in C \mathord{\left( \alpha, \beta \right)} \)

\( { \psi } _ { \nu } \mathord{\left( \alpha \right)} \) は順序数崩壊関数である。

\[ { \psi } _ { \nu } \mathord{\left( \alpha \right)} = \min \mathord{\left\{ \xi \in \mathrm{On} \mathrel{\left|\rule{0em}{1.0ex}\right.} \mathord{\left( C \mathord{\left( \alpha, \xi \right)} \cap \nu \right)} \subseteq \xi \right\}} \]

予想

超限変数プサイ関数の可算限界は、 SOCFwMFfcIC を使うと、 \( { \psi } _ { \mathbf{I} \mathord{\left( \mathord{\left[ \right]} \right)} \mathord{\left( 1 \right)} } \mathord{\left( { \psi } _ { \mathbf{I} \mathord{\left( \mathord{\left[ 1, 0 \right]} \right)} \mathord{\left( 1 \right)} } \mathord{\left( 0 \right)} \right)} \) と表される。

SOCFwMFfcIC の可算限界は、 Rathjen's 1990 function を使うと、 \( { \psi } _ { { \chi } _ { 0 } \mathord{\left( 0 \right)} } \mathord{\left( { \psi } _ { { \chi } _ { { \varphi } _ { 0 } \mathord{\left( { \varphi } _ { 0 } \mathord{\left( \mathrm{M} + 1 \right)} \right)} } \mathord{\left( 1 \right)} } \mathord{\left( 0 \right)} \right)} \) と表される。

謝辞

p-進大好き bot さんには記事の改善において多大な貢献をしていただいた。この場で感謝の意を表する。これらを指摘するにあたって、 p-進大好き bot さんは間違いと断定して直接的に指摘するのではなく質問でもって明らかにする方法を取っており、スムーズに受け入れて改善に繋げることが出来た。

• \( \_ \prec \_ \) の定義の誤字の発見
• \( \mathsf{MK} \) 集合論でのスーパークラスの取り扱いの困難さの指摘
• SOCFwMFfcIC の可算限界の Rathjen's 1990 function による予想の改善
• \( \mathbf{I} \) の定義の大きな間違いの発見