計算不可能関数を計るための道具として、チューリング次数という道具がある。
具体的には \( \alpha \) 次ビジービーバー関数は \( { \mathbf{0} } ^ { \mathord{\left( \alpha \right)} } \) になる。
この記法は順序数 \( \alpha \) を取って関数のクラス \( { \mathbf{0} } ^ { \mathord{\left( \alpha \right)} } \) を返すものである。ただし、 \( \alpha < { \omega } ^ { \mathrm{CK} } _ { 1 } \) でなければならない。
ビジービーバーQ&A: 計算不可能の鳥瞰図 では「つまり、たぶんふつうにクリーネの \( \mathcal{O} \) の \( { \Pi } ^ { 1 } _ { 1 } \)-パスから適当に急増大関数を作ってしまうと、全ての計算可能順序数 \( \alpha \) に対する \( \alpha \) 次ビジービーバー関数よりも急増大になることもあるのではないでしょうか」と書かれているが、これはおそらく \( F \mathord{\left[ { \omega } ^ { \mathrm{CK} } _ { 1 } \right]} \) が \( \bigcup _ { \alpha < { \omega } ^ { \mathrm{CK} } _ { 1 } } { \mathbf{0} } ^ { \mathord{\left( \alpha \right)} } \) になってしまうということだと思う。たぶん。
ちなみに、チューリングジャンプは \( { \mathbf{0} } ^ { \mathord{\left( \alpha \right)} } \) レベルの操作で、ハイパージャンプは \( { \omega } ^ { \mathrm{CK} } _ { \alpha } \) レベルの操作である。