(2021-12-11) 弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数

その場に留まるためには全力で走り続けなければならない。

私は順序数崩壊関数の頂を目指して弱マーロ基数の領域に足を踏み入れる。

"順序数崩壊関数 (2021-12-20) § 弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数の定義" に最新版を記載している。

前説

順序数崩壊関数は、順序数解析の研究において現れ、そして巨大数論に入ってきた。それらは順序数表記と急増加関数と結びつき関数の増大速度を計る強力な物差しとなった。しかし、拡張ブーフホルツ関数を超える領域において順序数崩壊関数の使用率は少ない。なぜだろうか？

その理由の一つは力不足であることだろう。拡張ブーフホルツ関数の先では、バシク行列システムやタラノフスキーの順序数表記や超越整数などの魑魅魍魎が跋扈している。だが、それでも部分的な解析に使うことは出来るはずである。それも行われないのは、なぜだろうか？

その最大の理由は UNOCF の蔓延である。 UNOCF は簡単である。 UNOCF は拡張可能である。それが人々を引き付ける。しかし、そこには定義などない。 UNOCF のネスト構造が正しくても、その大きさがラティエンの小プサイ関数よりも小さいことは十分に在り得る。では、なぜ UNOCF は人気なのか？

それは、拡張ブーフホルツ関数を超える順序数崩壊関数が軒並み難しいからである。だが、それは解決できないだろう。それは本質的な難しさがあるからである。しかし、本質的ではない難しさを取り除いて本質的な難しさだけを浮かび上がらせることは出来ないだろうか。そうすれば、順序数崩壊関数への理解を深めることが出来るはずである。そして、順序数崩壊関数の使用率を上げることが出来るだろう。では、本質的ではない難しさとは？

たとえば、イェーガーのプサイ関数はヴェブレン階層を含んでいる。これは証明論の要請によるものである。ただ、順序数崩壊関数を作りたいだけなら必要ないものなのである。だから、これをオメガ冪に置き換えても良い。

私は、このような関数を増大関数と呼ぶことにした。順序数崩壊関数の性質を良くするために、この関数に要求される条件は 2 つある。一つ目は正規関数であることである。二つ目は値域が加素順序数であることである。これを満たす最小の関数は \( 1 \) である。

増大関数をヴェブレン階層などにすることによる値の挙動は、増大関数を \( 1 \) にすれば無くなるため、証明論への応用を考えない時は、本質的ではない難しさである。

また、たとえば、 \( \nu \) を正則基数に制限することもある。これは \( \nu \) が正則基数である時のみが標準形であるためである。しかし、それでは \( \nu \) が正則基数ではない時の動きが分からなくなってしまう。それよりも、私は例外の値まで整合的になるように作る方を好む。これは、 \( \nu \in C \mathrm{\left( \alpha, \xi \right)} \) などでも同様である。

例外の値まで整合的になるように作るというのは本質的な難しさが何であるのか見誤らないためのスタンスである。たとえば、有限個の例だけを見ても挙動を勘違いしてしまうが、無限個の例を見れば挙動を理解できる。それと同じように、標準形の挙動だけを見るのではなく、非標準形の挙動も見るのである。そして、何が本質的なのか本質的ではないのか理解したい。

このような設計原理に立脚して弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数は作られている。

名前

「弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数」である。

"Simple Ordinal Collapsing Functions with A Club Class for counting Weakly Mahlo Cardinals" である。

"SOCFwACCfcWMC" である。

定義

\[ \newcommand{\paren}[1]{ \mathord{ \left ( #1 \right ) } } \newcommand{\bracket}[1]{ \mathord{ \left [ #1 \right ] } } \newcommand{\brace}[1]{ \mathord{ \left \{ #1 \right \} } } \newcommand{\midder}[1]{ \mathrel{ \left | \rule{0em}{#1} \right . } } \]

体系

型理論である。

冪の型

\( \mathcal{P} \paren{ \alpha } \) は \( \alpha \rightarrow \mathrm{hProp} \) である。

集合の型

\( \mathrm{Set} \) は集合の型である。

順序数の型

\( \mathrm{On} \) は順序数の型である。

正則基数の型

\( \mathrm{Reg} \) は正則基数の型である。 \( \omega \in \mathrm{Reg} \) であることに注意してもらいたい。

\[ \alpha \in \mathrm{Reg} \leftrightarrow \textrm{\( \alpha \) is infinite} \land \textrm{\( \alpha \) is regular} \]

club クラスの型

\( \mathrm{Club} \) は \( \mathrm{On} \) に対して club 的なクラスの型である。

\[ x \in \mathrm{Club} \leftrightarrow \textrm{\( \mathrm{Enum} \paren{ x } \) is normal} \]

\( x \in \mathrm{Club} \) とする。 \( \alpha \in \mathrm{On} \) とする。 \( x \paren{ \alpha } \in \mathrm{On} \) である。

\[ x \paren{ \alpha } = \mathrm{Enum} \paren{ x } \paren{ \alpha } \]

公理

弱マーロ基数は上界なく存在するとする。

\[ \forall \paren{ \alpha \in \mathrm{On} } \ldotp \exists \paren{ \beta \in \mathrm{On} } \ldotp \alpha < \beta \land \textrm{\( \beta \) is weakly Mahlo} \]

弱マーロ基数の club クラス

\( M \) は弱マーロ基数の club クラスである。

\[ M = \mathrm{cl} \paren{ \brace{ \omega } \cup \brace{ \alpha \in \mathrm{On} \midder{1ex} \textrm{\( \alpha \) in weakly Mahlo} } } \]

χ 関数

\( C \) 関数は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow \xi \in B \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in B \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in B \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in B \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in B \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in B \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Lowering
   1. \( \xi \in B \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \xi \paren{ \zeta } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)

\( B \) 関数は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{Club} } \) である。

1. Collapsing Target
   1. \( M \in \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Recursion
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow \chi \paren{ \xi } \in B \paren{ \alpha, \beta } \)

\( \chi \) 関数は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{Club} \) である。

\[ \chi \paren{ \alpha } = \mathrm{cl} \paren{ \brace{ \omega } \cup \bigcup _ { \nu \in M } \paren{ \mathrm{Reg} \cap \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ C \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } } } \]

ψ 関数

\( C \) 関数は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow \xi \in B \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in B \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in B \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in B \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in B \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in B \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Collapsing Target
   1. \( \xi \in B \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \xi \paren{ \zeta } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
5. Recursion
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)

\( B \) 関数は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{Club} } \) である。

1. Collapsing Target
   1. \( M \in \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Uppering
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \chi \paren{ \xi } \in B \paren{ \alpha, \beta } \)

\( \psi \) 関数は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ C \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } \]

解析

チートシートを用意してある。

1. チートシート
2. チートシート 2