(2021-12-20) 順序数崩壊関数

私は巨大数の研究を始めた当時から順序数へ関心を持ち続けていた。それが順序数崩壊関数として結実した。年の瀬なので成果を纏めようと思う。

共通定義

\( \mathrm{pCIC} + \mathrm{UA} + \mathrm{AC} \) で作業を行う。

\[ \newcommand{\paren}[1]{ \mathord{ \left ( { #1 } \right ) } } \newcommand{\bracket}[1]{ \mathord{ \left [ { #1 } \right ] } } \newcommand{\brace}[1]{ \mathord{ \left \{ { #1 } \right \} } } \newcommand{\midder}[1]{ \mathrel{ \left | \rule{0em}{#1} \right . } } \newcommand{\a}[2]{ { #1 } \paren{ #2 } } \newcommand{\p}[1]{ { \psi } _ { #1 } } \]

冪の型

\( \mathcal{P} \paren{ \_ } \) は冪の型である。 \( \mathcal{P} : { \mathrm{Type} } _ { i } \rightarrow { \mathrm{Type} } _ { i } \) である。

\[ \mathcal{P} \paren{ A } = A \rightarrow \mathrm{hProp} \]

有限個の直積

\( { A } ^ { n } \) は \( n \) 個の \( A \) の直積である。 \( { A } ^ { n } \) の要素は \( \bracket{ { x } _ { 2 }, { x } _ { 1 }, { x } _ { 0 } } \) という風に書かれる。

\( \_ \frown \_ \) は結合演算子である。 \( x \in { A } ^ { m } \) であるとして、 \( y \in { A } ^ { n } \) であるとして、 \( \paren{ x \frown y } \in { A } ^ { m + n } \) である。

\( { A } ^ { \_ < \omega } \) は \( \bigcup _ { n \in \mathbb{N} } { A } ^ { n } \) である。

集合の型

\( \mathrm{Set} \) は集合の型である。

順序数の型

\( \mathrm{On} \) は順序数の型である。

\( { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \) のインデックシングを次のように定義する。 \( x \in { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \) であるとして、 \( n \in \omega \) であるとして、 \( x \bracket{ n } \in \mathrm{On} \) である。

\[ a \bracket{ n } = \begin{cases} 0 & \paren{ 0 = n \land \bracket{ } = a } \\ { a } _ { p } & \paren{ 0 = n \land { a } _ { s } \frown \bracket{ { a } _ { p } } = a } \\ 0 & \paren{ { n } _ { p } + 1 = n \land \bracket{ } = a } \\ { a } _ { s } \bracket{ { n } _ { p } } & \paren{ { n } _ { p } + 1 = n \land { a } _ { s } \frown \bracket{ { a } _ { p } } = a } \\ \end{cases} \]

\( { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \) の上の比較は次のようになる。

\[ a < b \leftrightarrow \exists \paren{ n \in \omega } \ldotp \forall \paren{ x \in \omega } \ldotp \paren{ x > n \rightarrow a \bracket{ x } = b \bracket{ x } } \land \paren{ x = n \rightarrow a \bracket{ x } < b \bracket{ x } } \]

無限基数の型

\( \mathrm{Card} \) は無限基数の型である。

共終数

\( \mathrm{cf} \paren{ \_ } \) は共終数である。

\( \alpha \in \mathrm{On} \) であるとして、 \( \mathrm{cf} \paren{ \alpha } \in \mathrm{On} \) である。

\[ \mathrm{cf} \paren{ \alpha } = \min \brace{ \beta \in \mathrm{On} \midder{1ex} \exists \paren{ f \in \paren{ \beta \rightarrow \alpha } } \ldotp \forall \paren{ x \in \alpha } \ldotp \exists \paren{ y \in \beta } \ldotp x \leq f \paren{ y } } \]

\( \kappa \in \mathrm{Card} \) であるとして、 \( \mathrm{cf} \paren{ \kappa } \in \mathrm{Card} \) である。

\[ \mathrm{cf} \paren{ \kappa } = \min \brace{ \lambda \in \mathrm{Card} \midder{1ex} \exists \paren{ f \in \paren{ \lambda \rightarrow \kappa } } \ldotp \forall \paren{ x \in \kappa } \ldotp \exists \paren{ y \in \lambda } \ldotp x \leq f \paren{ y } } \]

正則基数の型

\( \mathrm{Reg} \) は正則基数の型である。

\[ \mathrm{Reg} = \brace{ \kappa \in \mathrm{Card} \midder{1ex} \mathrm{cf} \paren{ \kappa } = \kappa } \]

club クラスの型

\( \mathrm{Club} \) は club クラスの型である。

\[ x \in \mathrm{Club} \leftrightarrow \forall \paren{ \alpha \in \mathrm{On} } \ldotp \forall \paren{ f \in \paren{ \alpha \rightarrow x } } \ldotp \paren{ \sup _ { \beta \in \alpha } f \paren{ \beta } } \in x \]

\( \_ \paren{ \_ } \) は club クラスの適用である。 \( x \in \mathrm{Club} \) であるとして、 \( y \in \mathrm{On} \) であるとして、 \( x \paren{ y } \in \mathrm{On} \) である。

\[ x \paren{ y } = \mathrm{Enum} \paren{ x } \paren{ y } \]

\( \mathrm{Club} \) の上の比較は次のようになる。

\[ a < b \leftrightarrow a \supset b \]

閉包

\( \mathrm{cl} \paren{ \_ } \) は閉包演算子である。 \( x \in \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) であるとして、 \( \mathrm{cl} \paren{ x } \in \mathrm{Club} \) である。

\[ \mathrm{cl} \paren{ x } = \brace{ \alpha \in \mathrm{On} \midder{5ex} \forall \paren{ \beta \in \mathrm{On} } \ldotp \forall \paren{ f \in \paren{ \beta \rightarrow x } } \ldotp \paren{ \sup _ { \gamma \in \beta } f \paren{ \gamma } } = \alpha } \]

無限基数を数え上げる関数

\( { \omega } _ { \_ } \) は無限基数を数え上げる関数である。 \( \alpha \in \mathrm{On} \) として、 \( { \omega } _ { \alpha } \in \mathrm{On} \) である。 \( \alpha \in \mathrm{On} \) として、 \( { \omega } _ { \alpha } \in \mathrm{Card} \) である。

最小の非可算基数

\( \Omega \) は最小の非可算基数である。 \( \Omega \in \mathrm{On} \) である。 \( \Omega \in \mathrm{Card} \) である。

\[ \Omega = { \omega } _ { 1 } \]

無限基数による単純な順序数崩壊関数

無限基数による単純な順序数崩壊関数 (Simple Ordinal Collapsing Functions with an Infinite Cardinal, SOCFwaIC) は、最小の非可算基数だけを崩壊させる関数である。

無限基数による単純な順序数崩壊関数の定義

\( C \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( C \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow C \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Collapsing Target
   1. \( \Omega \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
5. Recursion
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ C \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } \]

無限基数による単純な順序数崩壊関数の解析

1. \( 0 \)
2. \( 1 \)
   1. \( 0 \)
3. \( \a{ \p{ \Omega } }{ 0 } \)
   1. \( 0 \)
   2. \( 1 + 0 \)
   3. \( 1 + 1 + 0 \)
   4. ...
4. \( \a{ \p{ \Omega } }{ 0 } + 1 \)
   1. \( \a{ \p{ \Omega } }{ 0 } \)
5. \( \a{ \p{ \Omega } }{ 0 } + \a{ \p{ \Omega } }{ 0 } \)
   1. \( \a{ \p{ \Omega } }{ 0 } + 0 \)
   2. \( \a{ \p{ \Omega } }{ 0 } + 1 + 0 \)
   3. \( \a{ \p{ \Omega } }{ 0 } + 1 + 1 + 0 \)
   4. ...
6. \( \a{ \p{ \Omega } }{ 1 } \)
   1. \( 0 \)
   2. \( \a{ \p{ \Omega } }{ 0 } + 0 \)
   3. \( \a{ \p{ \Omega } }{ 0 } + \a{ \p{ \Omega } }{ 0 } + 0 \)
   4. ...

無限基数を数え上げる関数による単純な順序数崩壊関数

無限基数を数え上げる関数による単純な順序数崩壊関数 (Simple Ordinal Collapsing Functions with a Function for Counting Infinite Cardinals, SOCFwaFfCIC) は、無限基数を数え上げる関数を崩壊させる関数である。

無限基数を数え上げる関数による単純な順序数崩壊関数の定義

\( C \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( C \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow C \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Collapsing Target
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow { \omega } _ { \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
5. Recursion
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ C \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } \]

無限基数を数え上げる二変数関数による単純な順序数崩壊関数

無限基数を数え上げる二変数関数による単純な順序数崩壊関数 (Simple Ordinal Collapsing Functions with a Bivariate Function for Counting Infinite Cardinals, SOCFwaBFfCIC) は、無限基数を数え上げる二変数関数を崩壊させる関数である。

無限基数を数え上げる二変数関数による単純な順序数崩壊関数の定義

\( B \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( B \paren{ a, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow B \paren{ a, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in B \paren{ a, \beta } \)
   2. \( \xi \in B \paren{ a, \beta } \land \zeta \in B \paren{ a, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in B \paren{ a, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in B \paren{ a, \beta } \)
4. Recursion
   1. \( x \in B \paren{ a, \beta } \land \xi \in B \paren{ a, \beta } \land x < a \rightarrow \Phi \paren{ x, \xi } \in B \paren{ a, \beta } \)

\( \Phi \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ \Phi \paren{ a, \alpha } = \mathrm{Enum} \paren{ \brace{ \xi \in \mathrm{Card} \midder{1ex} B \paren{ a, \xi } \subseteq \xi } } \paren{ \alpha } \]

\( C \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( C \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow C \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Collapsing Target
   1. \( x \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \Phi \paren{ x, \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
5. Recursion
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ C \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } \]

無限基数を数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数

無限基数を数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数 (Simple Ordinal Collapsing Functions with a Multivariate Function for Counting Infinite Cardinals, SOCFwaMFfCIC) は、無限基数を数え上げる多変数関数を崩壊させる関数である。

無限基数を数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数の定義

\( B \paren{ \_, \_ } \) は \( { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( B \paren{ a, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow B \paren{ a, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in B \paren{ a, \beta } \)
   2. \( \xi \in B \paren{ a, \beta } \land \zeta \in B \paren{ a, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in B \paren{ a, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in B \paren{ a, \beta } \)
4. Recursion
   1. \( x \in { B \paren{ a, \beta } } ^ { \_ < \omega } \land \xi \in B \paren{ a, \beta } \land x < a \rightarrow \Phi \paren{ x, \xi } \in B \paren{ a, \beta } \)

\( \Phi \paren{ \_, \_ } \) は \( { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \times \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ \Phi \paren{ a, \alpha } = \mathrm{Enum} \paren{ \brace{ \xi \in \mathrm{Card} \midder{1ex} B \paren{ a, \xi } \subseteq \xi } } \paren{ \alpha } \]

\( C \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( C \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow C \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Collapsing Target
   1. \( x \in { C \paren{ \alpha, \beta } } ^ { \_ < \omega } \land \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \Phi \paren{ x, \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
5. Recursion
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ C \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } \]

到達不能基数による単純な順序数崩壊関数

到達不能基数による単純な順序数崩壊関数 (Simple Ordinal Collapsing Function with an Inaccessible Cardinal, SOCFwaIC) は、到達不能基数を崩壊させる関数です。

到達不能基数による単純な順序数崩壊関数の定義

\( B \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( B \paren{ \alpha } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow B \paren{ \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in B \paren{ \beta } \)
   2. \( \xi \in B \paren{ \beta } \land \zeta \in B \paren{ \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in B \paren{ \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in B \paren{ a, \beta } \)
   2. \( \xi \in B \paren{ \beta } \rightarrow { \omega } _ { \xi } \in B \paren{ \beta } \)

\( I \) は \( \mathrm{On} \) である。

\[ I = \min \brace{ \xi \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} B \paren{ \xi } \subseteq \xi } \]

\( C \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( C \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow C \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Collapsing Target
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow { \omega } _ { \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( I \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
5. Recursion
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ C \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } \]

到達不能基数を数え上げる関数による単純な順序数崩壊関数

到達不能基数を数え上げる関数による単純な順序数崩壊関数 (Simple Ordinal Collapsing Function with a Function for Counting Inaccessible Cardinals, SOCFwaFfCIC) は、到達不能基数を数え上げる関数を崩壊させる関数である。

到達不能基数を数え上げる関数による単純な順序数崩壊関数の定義

\( B \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( B \paren{ \alpha } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow B \paren{ \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in B \paren{ \beta } \)
   2. \( \xi \in B \paren{ \beta } \land \zeta \in B \paren{ \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in B \paren{ \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in B \paren{ a, \beta } \)

\( I \) は \( \mathrm{Club} \) である。

\[ I = \mathrm{cl} \paren{ \brace{ \omega } \cup \brace{ \xi \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} B \paren{ \xi } \subseteq \xi } } \]

\( C \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( C \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow C \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Collapsing Target
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow { \omega } _ { \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow I \paren{ \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
5. Recursion
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ C \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } \]

到達不能基数を数え上げる二変数関数による単純な順序数崩壊関数

到達不能基数を数え上げる二変数関数による単純な順序数崩壊関数 (Simple Ordinal Collapsing Functions with a Bivariate Function for Counting Inaccessible Cardinals, SOCFwaBFfCIC) は、到達不能基数を数え上げる二変数関数を崩壊させる関数である。

到達不能基数を数え上げる二変数関数による単純な順序数崩壊関数の定義

\( { B } _ { 1 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \)
   2. \( \xi \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \land \zeta \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \)
4. Recursion
   1. \( \xi \in { B } _ { 2 } \paren{ a, \beta } \land \zeta \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \rightarrow \xi \paren{ \zeta } \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \)

\( { B } _ { 2 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{Club} } \) である。 \( { B } _ { 2 } \paren{ a, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Recursion
   1. \( x \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \land x < a \rightarrow I \paren{ x } \in { B } _ { 2 } \paren{ a, \beta } \)

\( I \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{Club} \) である。

\[ I \paren{ a } = \mathrm{cl} \paren{ \brace{ \omega } \cup \brace{ \xi \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} { B } _ { 1 } \paren{ a, \xi } \subseteq \xi } } \]

\( C \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( C \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow C \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Collapsing Target
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow I \paren{ \xi } \paren{ \zeta } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
5. Recursion
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ C \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } \]

到達不能基数を数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数

到達不能基数を数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数 (Simple Ordinal Collapsing Functions with a Multivariate Function for Counting Inaccessible Cardinals, SOCFwaMFfCIC) は、到達不能基数を数え上げる多変数関数を崩壊させる関数である。

\( { B } _ { 1 } \paren{ \_, \_ } \) は \( { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \)
   2. \( \xi \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \land \zeta \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \)
4. Recursion
   1. \( \xi \in { B } _ { 2 } \paren{ a, \beta } \land \zeta \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \rightarrow \xi \paren{ \zeta } \in { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } \)

\( { B } _ { 2 } \paren{ \_, \_ } \) は \( { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{Club} } \) である。 \( { B } _ { 2 } \paren{ a, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Recursion
   1. \( x \in { { B } _ { 1 } \paren{ a, \beta } } ^ { \_ < \omega } \land x < a \rightarrow I \paren{ x } \in { B } _ { 2 } \paren{ a, \beta } \)

\( I \paren{ \_ } \) は \( { \mathrm{On} } ^ { \_ < \omega } \rightarrow \mathrm{Club} \) である。

\[ I \paren{ a } = \mathrm{cl} \paren{ \brace{ \omega } \cup \brace{ \xi \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} { B } _ { 1 } \paren{ a, \xi } \subseteq \xi } } \]

\( C \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( C \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow C \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Collapsing Target
   1. \( \xi \in { C \paren{ \alpha, \beta } } ^ { \_ < \omega } \land \zeta \in C \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow I \paren{ \xi } \paren{ \zeta } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)
5. Recursion
   1. \( \xi \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in C \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in C \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ C \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } \]

弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数

弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数 (Simple Ordinal Collapsing Functions with a Club Class for Counting Weakly Mahlo Cardinals, SOCFwaCCfCWMC) は、弱マーロ基数を数え上げる club クラスを崩壊させる関数である。

弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数の定義

\( M \) は \( \mathrm{Club} \) である。

\[ M = \mathrm{cl} \paren{ \brace{ \omega } \cup \brace{ \alpha \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} \textrm{\( \brace{ \beta \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} \beta < \alpha } \) is stationary in \( \alpha \)} } } \]

\( { B } _ { 1 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Recursion
   1. \( \xi \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \xi \paren{ \zeta } \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { B } _ { 2 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{Club} } \) である。 \( { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Recursion
   1. \( \xi \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \chi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( M \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \chi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{Club} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{Club} \) である。

\[ { \chi } _ { \nu } \paren{ a } = \mathrm{cl} \paren{ \bigcup _ { \mu \in \nu } \brace{ \xi \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} \xi < \mu \land \paren{ { B } _ { 1 } \paren{ a, \xi } \cap \mu } \subseteq \xi } } \]

\( { C } _ { 1 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Collapsing Target
   1. \( \xi \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \xi \paren{ \zeta } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
5. Recursion
   1. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { C } _ { 2 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{Club} } \) である。 \( { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Collapsing Target
   1. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow { \chi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( M \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } \]

弱マーロ基数を数え上げる club クラスを数え上げる関数による単純な順序数崩壊関数

弱マーロ基数を数え上げる club クラスを数え上げる関数による単純な順序数崩壊関数 (Simple Ordinal Collapsing Functions with a Function for Counting Club Classes for Counting Weakly Mahlo Cardinals, SOCFwaFfCCCfCWMC) は、弱マーロ基数を数え上げる club クラスを数え上げる関数を崩壊させる関数です。

弱マーロ基数を数え上げる club クラスを数え上げる関数による単純な順序数崩壊関数の定義

\( { D } _ { 1 } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { D } _ { 2 } \paren{ \alpha } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Recursion
   1. \( \xi \in { D } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \xi \paren{ \zeta } \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { D } _ { 2 } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{Club} } \) である。 \( { D } _ { 2 } \paren{ \alpha } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Recursion
   1. \( \xi \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow M \paren{ \xi } \in { D } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( M \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{Club} \) である。

\[ M \paren{ \alpha } = \mathrm{cl} \paren{ \brace{ \omega } \cup \brace{ \alpha \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} \forall \paren{ x \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } } \ldotp \textrm{\( \brace{ \beta \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} \beta < \alpha } \cap x \) is stationary in \( \alpha \)} } } \]

\( { B } _ { 1 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Recursion
   1. \( \xi \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \xi \paren{ \zeta } \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { B } _ { 2 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{Club} } \) である。 \( { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Recursion
   1. \( \xi \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \chi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow M \paren{ \xi } \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \chi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{Club} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{Club} \) である。

\[ { \chi } _ { \nu } \paren{ a } = \mathrm{cl} \paren{ \paren{ \bigcap \brace{ \mu \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \midder{1ex} \mu < \nu } } \cap \bigcup _ { \mu \in \nu } \brace{ \xi \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} \xi < \mu \land \paren{ { B } _ { 1 } \paren{ a, \xi } \cap \mu } \subseteq \xi } } \]

\( { C } _ { 1 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Collapsing Target
   1. \( \xi \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \xi \paren{ \zeta } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
5. Recursion
   1. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { C } _ { 2 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{Club} } \) である。 \( { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Collapsing Target
   1. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow { \chi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow M \paren{ \xi } \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } \]

弱マーロ基数を数え上げる club クラスを数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数

弱マーロ基数を数え上げる club クラスを数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数 (Simple Ordinal Collapsing Functions with a Multivariate Function for Counting Club Classes for Counting Weakly Mahlo Cardinals, SOCFwaMFfCCCfCWMC) は、弱マーロ基数を数え上げる club クラスを数え上げる多変数関数を崩壊させる関数です。

弱マーロ基数を数え上げる club クラスを数え上げる多変数関数による単純な順序数崩壊関数の定義

\( { D } _ { 1 } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { D } _ { 2 } \paren{ \alpha } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Recursion
   1. \( \xi \in { D } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \xi \paren{ \zeta } \in { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { D } _ { 2 } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{Club} } \) である。 \( { D } _ { 2 } \paren{ \alpha } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Recursion
   1. \( \xi \in { { D } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } } ^ { \_ < \omega } \land \xi < \alpha \rightarrow M \paren{ \xi } \in { D } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( M \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} ^ { \_ < \omega } \rightarrow \mathrm{Club} \) である。

\[ M \paren{ \alpha } = \mathrm{cl} \paren{ \brace{ \omega } \cup \brace{ \alpha \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} \forall \paren{ x \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } } \ldotp \textrm{\( \brace{ \beta \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} \beta < \alpha } \cap x \) is stationary in \( \alpha \)} } } \]

\( { B } _ { 1 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Recursion
   1. \( \xi \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \xi \paren{ \zeta } \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { B } _ { 2 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{Club} } \) である。 \( { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Recursion
   1. \( \xi \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \chi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow M \paren{ \xi } \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \chi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{Club} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{Club} \) である。

\[ { \chi } _ { \nu } \paren{ a } = \mathrm{cl} \paren{ \paren{ \bigcap \brace{ \mu \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \midder{1ex} \mu < \nu } } \cap \bigcup _ { \mu \in \nu } \brace{ \xi \in \mathrm{Reg} \midder{1ex} \xi < \mu \land \paren{ { B } _ { 1 } \paren{ a, \xi } \cap \mu } \subseteq \xi } } \]

\( { C } _ { 1 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \rightarrow { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \paren{ \xi + \zeta } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
4. Collapsing Target
   1. \( \xi \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \xi \paren{ \zeta } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
5. Recursion
   1. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \rightarrow { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { C } _ { 2 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathcal{P} \paren{ \mathrm{Club} } \) である。 \( { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Collapsing Target
   1. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow { \chi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow M \paren{ \xi } \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \rightarrow \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \paren{ { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \xi } \cap \nu } \subseteq \xi } \]